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10.在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则
cosC=
cosC=
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$或$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$或$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
题目给出直角三角形ABC，但未明确直角顶点，且已知2AB=AC即AC＞AB，首先排除不可能的直角情况：若∠C为直角，则斜边AB＞AC，与已知条件矛盾，因此仅需分两种情况讨论：①∠B为直角；②∠A为直角。再结合勾股定理求出对应边长，最后根据余弦的定义（锐角的邻边与斜边的比值）计算cosC即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，且2AB=AC，即AC＞AB，
∴直角不可能为∠C（直角所对的边为斜边，是三角形最长边，若∠C为直角则AB为斜边，AB＞AC，与已知矛盾），分以下两种情况讨论：
情况1：当∠B=90°时，设AB=x，则AC=2x，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
根据余弦定义，$\cos C=\frac{∠C的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
情况2：当∠A=90°时，设AB=x，则AC=2x，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
根据余弦定义，$\cos C=\frac{∠C的邻边}{斜边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综上，$\cos C$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$或$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略直角顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解；解题时需先结合已知边长的大小关系排除不可能的直角情况，再分别计算，确保结果不重不漏。
【难度系数】
0.6
题目给出直角三角形ABC，但未明确直角顶点，且已知2AB=AC即AC＞AB，首先排除不可能的直角情况：若∠C为直角，则斜边AB＞AC，与已知条件矛盾，因此仅需分两种情况讨论：①∠B为直角；②∠A为直角。再结合勾股定理求出对应边长，最后根据余弦的定义（锐角的邻边与斜边的比值）计算cosC即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，且2AB=AC，即AC＞AB，
∴直角不可能为∠C（直角所对的边为斜边，是三角形最长边，若∠C为直角则AB为斜边，AB＞AC，与已知矛盾），分以下两种情况讨论：
情况1：当∠B=90°时，设AB=x，则AC=2x，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
根据余弦定义，$\cos C=\frac{∠C的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
情况2：当∠A=90°时，设AB=x，则AC=2x，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
根据余弦定义，$\cos C=\frac{∠C的邻边}{斜边}=\frac{AC}{BC}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综上，$\cos C$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$或$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略直角顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解；解题时需先结合已知边长的大小关系排除不可能的直角情况，再分别计算，确保结果不重不漏。
【难度系数】
0.6
11.(贵州省中考)某小区在设计时,计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图②所示,已知$BD=28m$,$CD=21m$,该地冬至正午太阳高度角$α$为$35°$.如果你是建筑设计师,请结合示意图和已知条件完成下列任务.(参考数据:
$\sin35°\approx0.57$,$\cos35°\approx0.82$,$\tan35°\approx0.70$.结果保留到小数点后一位)
任务一:计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离$AB$的长；
任务二:为符合建筑规范对日照的要求,让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光,需将活动中心沿$BD$方向移动一定的距离(活动中心高度不变),求该活动中心移动了多少米？
$\sin35°\approx0.57$,$\cos35°\approx0.82$,$\tan35°\approx0.70$.结果保留到小数点后一位)
任务一:计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离$AB$的长；
任务二:为符合建筑规范对日照的要求,让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光,需将活动中心沿$BD$方向移动一定的距离(活动中心高度不变),求该活动中心移动了多少米？
答案
解:任务一:过 A 作 $AE⊥ CD$ 于点 E,$\therefore∠ AEC=90°$,结合题意可得:四边形 AEDB 为矩形,$\because BD=28\mathrm{m}$,$CD=21\mathrm{m}$,$\therefore AE=BD=28\mathrm{m}$,$AB=DE$,$\because∠ CAE=α=35°$,$\therefore CE=AE·\tanα\approx28×0.7=19.6(\mathrm{m})$,$\therefore AB=DE\approx21-19.6=1.4(\mathrm{m})$;
任务二:如图
,过 B 作 AC 的平行线,过 C 作 BD 的平行线,两线交于点 Q,BQ,AE 交于点 T,过 Q 作 $QK⊥ BD$ 于 K,$\therefore∠ QBK=∠ ATB=∠ CAE=35°$,四边形 CDKQ 为矩形,$\therefore QK=CD=21\mathrm{m}$,$\therefore BK=\dfrac{QK}{\tan35°}\approx\dfrac{21}{0.7}=30.0(\mathrm{m})$,$\therefore DK=BK-BD\approx30.0-28=2.0(\mathrm{m})$.$\therefore$ 该活动中心沿 BD 方向移动了 2.0 米.解析
【分析】
任务一：要计算AB的长，可通过构造直角三角形和矩形转化线段：过点A作AE⊥CD于点E，易得四边形AEDB是矩形，因此AB=DE，AE=BD=28m。在Rt△ACE中，已知∠CAE=35°，AE=28m，利用正切函数可求出CE的长度，再用CD的长度减去CE的长度，即可得到DE也就是AB的长度。
任务二：要让整栋住宅楼都能被阳光照射，即冬至正午的阳光光线恰好经过住宅楼底部B点和活动中心顶部C点。过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于Q，过Q作QK⊥BD于K，易得四边形CDKQ是矩形，QK=CD=21m。在Rt△BQK中，已知∠QBK=35°，QK=21m，利用正切函数求出BK的长度，BK减去原有BD的长度，就是活动中心需要沿BD方向移动的距离。
【解析】
任务一：过 A 作 $AE⊥ CD$ 于点 E，$\therefore∠ AEC=90°$，结合题意可得四边形 AEDB 为矩形。
$\because BD=28\mathrm{m}$，$CD=21\mathrm{m}$，$\therefore AE=BD=28\mathrm{m}$，$AB=DE$。
$\because∠ CAE=α=35°$，$\therefore CE=AE·\tanα\approx28×0.7=19.6(\mathrm{m})$。
$\therefore AB=DE\approx21-19.6=1.4(\mathrm{m})$。
任务二：如图，过 B 作 AC 的平行线，过 C 作 BD 的平行线，两线交于点 Q，BQ、AE 交于点 T，过 Q 作 $QK⊥ BD$ 于 K。
$\therefore∠ QBK=∠ ATB=∠ CAE=35°$，四边形 CDKQ 为矩形，$\therefore QK=CD=21\mathrm{m}$。
$\therefore BK=\dfrac{QK}{\tan35°}\approx\dfrac{21}{0.7}=30.0(\mathrm{m})$。
$\therefore DK=BK-BD\approx30.0-28=2.0(\mathrm{m})$。
【答案】
任务一：冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离$AB$长约为1.4m；
任务二：该活动中心沿BD方向移动了约2.0米。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合建筑日照规范的实际场景，考查了锐角三角函数与几何图形性质的综合应用，解题的核心是将实际问题转化为几何模型，通过构造直角三角形求解，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
任务一：要计算AB的长，可通过构造直角三角形和矩形转化线段：过点A作AE⊥CD于点E，易得四边形AEDB是矩形，因此AB=DE，AE=BD=28m。在Rt△ACE中，已知∠CAE=35°，AE=28m，利用正切函数可求出CE的长度，再用CD的长度减去CE的长度，即可得到DE也就是AB的长度。
任务二：要让整栋住宅楼都能被阳光照射，即冬至正午的阳光光线恰好经过住宅楼底部B点和活动中心顶部C点。过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于Q，过Q作QK⊥BD于K，易得四边形CDKQ是矩形，QK=CD=21m。在Rt△BQK中，已知∠QBK=35°，QK=21m，利用正切函数求出BK的长度，BK减去原有BD的长度，就是活动中心需要沿BD方向移动的距离。
【解析】
任务一：过 A 作 $AE⊥ CD$ 于点 E，$\therefore∠ AEC=90°$，结合题意可得四边形 AEDB 为矩形。
$\because BD=28\mathrm{m}$，$CD=21\mathrm{m}$，$\therefore AE=BD=28\mathrm{m}$，$AB=DE$。
$\because∠ CAE=α=35°$，$\therefore CE=AE·\tanα\approx28×0.7=19.6(\mathrm{m})$。
$\therefore AB=DE\approx21-19.6=1.4(\mathrm{m})$。
任务二：如图
，过 B 作 AC 的平行线，过 C 作 BD 的平行线，两线交于点 Q，BQ、AE 交于点 T，过 Q 作 $QK⊥ BD$ 于 K。$\therefore∠ QBK=∠ ATB=∠ CAE=35°$，四边形 CDKQ 为矩形，$\therefore QK=CD=21\mathrm{m}$。
$\therefore BK=\dfrac{QK}{\tan35°}\approx\dfrac{21}{0.7}=30.0(\mathrm{m})$。
$\therefore DK=BK-BD\approx30.0-28=2.0(\mathrm{m})$。
【答案】
任务一：冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离$AB$长约为1.4m；
任务二：该活动中心沿BD方向移动了约2.0米。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合建筑日照规范的实际场景，考查了锐角三角函数与几何图形性质的综合应用，解题的核心是将实际问题转化为几何模型，通过构造直角三角形求解，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
