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1.如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，DE⊥BC于点E.若CE=6，则线段BE的长为
18
.答案
18
解析
【分析】
首先回忆等边三角形的性质：三边相等，每个内角都是60°。已知DE⊥BC，可得△DEC是直角三角形，结合∠C=60°，可推出∠EDC=30°，利用含30°角的直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，可先求出DC的长度；再根据D是AC的中点，求出AC的长度，也就得到等边三角形中BC的长度，最后用BC的长度减去CE的长度即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠C=60°
∵DE⊥BC
∴∠DEC=90°，则∠EDC=90°-∠C=30°
在Rt△DEC中，∠EDC=30°，30°角所对的直角边为CE
∴CE=½DC
∵CE=6
∴DC=2CE=12
∵D是AC的中点
∴AC=2DC=2×12=24
∴BC=AC=24
∴BE=BC-CE=24-6=18
【答案】
18
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握等边三角形和特殊直角三角形的边、角性质，找到线段之间的数量关系逐步推导即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先回忆等边三角形的性质：三边相等，每个内角都是60°。已知DE⊥BC，可得△DEC是直角三角形，结合∠C=60°，可推出∠EDC=30°，利用含30°角的直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，可先求出DC的长度；再根据D是AC的中点，求出AC的长度，也就得到等边三角形中BC的长度，最后用BC的长度减去CE的长度即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠C=60°
∵DE⊥BC
∴∠DEC=90°，则∠EDC=90°-∠C=30°
在Rt△DEC中，∠EDC=30°，30°角所对的直角边为CE
∴CE=½DC
∵CE=6
∴DC=2CE=12
∵D是AC的中点
∴AC=2DC=2×12=24
∴BC=AC=24
∴BE=BC-CE=24-6=18
【答案】
18
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握等边三角形和特殊直角三角形的边、角性质，找到线段之间的数量关系逐步推导即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，点D是AB的中点，过点D作$DE// BC$，交AC于点E，点M在DE上，且$ME=\frac{1}{3}DM$。当$AM⊥ BM$时，则BC的长为
8
。答案
8
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，由AM⊥BM可得△AMB是直角三角形，结合D是AB中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出DM的长度；其次，根据ME与DM的数量关系求出DE的总长度；最后，由DE//BC且D是AB中点，可知DE是△ABC的中位线，利用中位线定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AM⊥BM，
∴△AMB是直角三角形，
又
∵D是AB的中点，AB=6，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，得$ DM = \frac{1}{2}AB = 3 $，
∵$ ME=\frac{1}{3}DM $，
∴$ ME = \frac{1}{3}×3 = 1 $，
∴$ DE = DM + ME = 3 + 1 = 4 $，
∵DE//BC，D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴根据三角形中位线定理，$ BC = 2DE = 2×4 = 8 $。
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理，线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是灵活运用直角三角形的特殊性质和三角形中位线定理，题目设置的条件衔接性强，能较好地考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，由AM⊥BM可得△AMB是直角三角形，结合D是AB中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出DM的长度；其次，根据ME与DM的数量关系求出DE的总长度；最后，由DE//BC且D是AB中点，可知DE是△ABC的中位线，利用中位线定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AM⊥BM，
∴△AMB是直角三角形，
又
∵D是AB的中点，AB=6，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，得$ DM = \frac{1}{2}AB = 3 $，
∵$ ME=\frac{1}{3}DM $，
∴$ ME = \frac{1}{3}×3 = 1 $，
∴$ DE = DM + ME = 3 + 1 = 4 $，
∵DE//BC，D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴根据三角形中位线定理，$ BC = 2DE = 2×4 = 8 $。
【答案】
8
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理，线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是灵活运用直角三角形的特殊性质和三角形中位线定理，题目设置的条件衔接性强，能较好地考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若各边都扩大为原来的3倍，则$∠ A$的正弦值 （
A.也扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
C
）A.也扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆锐角正弦值的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。其次分析各边扩大3倍后该比值的变化情况：一方面，边长同时扩大相同倍数后，得到的新三角形与原三角形相似，∠A的大小不会改变，而锐角的三角函数值只和角的大小有关；另一方面也可以直接计算变化后的对边与斜边的比值，判断比值是否变化，即可得出结论。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义，$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$。
当各边都扩大为原来的3倍后，新三角形的三条边分别为$3BC$、$3AC$、$3AB$，此时$∠ A$的对边为$3BC$，斜边为$3AB$，则变化后的正弦值为：
$\sin A'=\frac{3BC}{3AB}=\frac{BC}{AB}=\sin A$。
同时，边长同倍数扩大后新三角形与原三角形相似，$∠ A$的大小不变，因此$∠ A$的正弦值不变。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是理解锐角三角函数值的本质：锐角的三角函数值只与角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关，解题时不要被边长变化的表象误导。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆锐角正弦值的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。其次分析各边扩大3倍后该比值的变化情况：一方面，边长同时扩大相同倍数后，得到的新三角形与原三角形相似，∠A的大小不会改变，而锐角的三角函数值只和角的大小有关；另一方面也可以直接计算变化后的对边与斜边的比值，判断比值是否变化，即可得出结论。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义，$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$。
当各边都扩大为原来的3倍后，新三角形的三条边分别为$3BC$、$3AC$、$3AB$，此时$∠ A$的对边为$3BC$，斜边为$3AB$，则变化后的正弦值为：
$\sin A'=\frac{3BC}{3AB}=\frac{BC}{AB}=\sin A$。
同时，边长同倍数扩大后新三角形与原三角形相似，$∠ A$的大小不变，因此$∠ A$的正弦值不变。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是理解锐角三角函数值的本质：锐角的三角函数值只与角的大小有关，与所在直角三角形的边长无关，解题时不要被边长变化的表象误导。
【难度系数】
0.8
4.如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，下列结论错误的是（
A.$\sin B=\dfrac{1}{3}$
B.$\sin C=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\tan B=\dfrac{1}{2}$
D.$\sin^2 B+\sin^2 C=1$
A
）A.$\sin B=\dfrac{1}{3}$
B.$\sin C=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\tan B=\dfrac{1}{2}$
D.$\sin^2 B+\sin^2 C=1$
答案
A
解析
【分析】
解这道题我们可以按以下思路思考：首先设每个小正方形边长为1，用勾股定理计算出△ABC三条边的长度，先判断三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义分别计算各选项对应的三角函数值，逐一验证选项的正误即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边长：
1. 计算边长：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
2. 判断三角形形状：
$\because AB^2+AC^2=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+2=10=BC^2$
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ A=90°$
3. 逐一判断选项：
A选项：$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}≠\frac{1}{3}$，该选项错误；
B选项：$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，该选项正确；
C选项：$\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，该选项正确；
D选项：$\sin^2 B+\sin^2 C=(\frac{\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$，该选项正确。
综上，结论错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，直角三角形判定
【点评】
本题是网格类三角函数的常见题型，解题核心是先通过勾股定理确定三角形边长，判断出直角三角形后再套用三角函数定义计算，难度较低，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
解这道题我们可以按以下思路思考：首先设每个小正方形边长为1，用勾股定理计算出△ABC三条边的长度，先判断三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义分别计算各选项对应的三角函数值，逐一验证选项的正误即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边长：
1. 计算边长：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
2. 判断三角形形状：
$\because AB^2+AC^2=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+2=10=BC^2$
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ A=90°$
3. 逐一判断选项：
A选项：$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}≠\frac{1}{3}$，该选项错误；
B选项：$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，该选项正确；
C选项：$\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，该选项正确；
D选项：$\sin^2 B+\sin^2 C=(\frac{\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$，该选项正确。
综上，结论错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，直角三角形判定
【点评】
本题是网格类三角函数的常见题型，解题核心是先通过勾股定理确定三角形边长，判断出直角三角形后再套用三角函数定义计算，难度较低，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$为$BC$上一点,连结$AD$,$∠ ADC=45°$,过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$.已知$BD=10$,$DE=\sqrt{10}$.
(1)求$\tan B$;
(2)求$AB$的长.
(1)求$\tan B$;
(2)求$AB$的长.
答案
(1)解:在$\mathrm{Rt}△BDE$中,$\because BD=10$,$DE=\sqrt{10},\therefore BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=3\sqrt{10},\therefore \tan B=\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{1}{3}.$
(2)在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$∠ ADC=45°$,设$AC=CD=x$,$\therefore BC=CD+BD=x+10$,
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{x}{x+10}=\dfrac{1}{3}$,解得$x=5$,$\therefore AC=5$,$BC=BD+DC=15$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5\sqrt{10}.$
(2)在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$∠ ADC=45°$,设$AC=CD=x$,$\therefore BC=CD+BD=x+10$,
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{x}{x+10}=\dfrac{1}{3}$,解得$x=5$,$\therefore AC=5$,$BC=BD+DC=15$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5\sqrt{10}.$
解析
【分析】
(1) 要求$\tan B$，根据正切的定义，直角三角形中一个锐角的正切值是该角对边与邻边的比值。已知$DE⊥ AB$，即$△ BDE$是直角三角形，且已知$BD$和$DE$的长度，先通过勾股定理求出$BE$的长度，再代入正切公式即可求出$\tan B$。
(2) 要求$AB$的长，已知$∠ C=90°$，$∠ ADC=45°$，可得$△ ACD$是等腰直角三角形，即$AC=CD$。设$AC=CD=x$，即可表示出$BC$的长度，结合第(1)问求出的$\tan B$，利用$\mathrm{Rt}△ ABC$中$\tan B=\frac{AC}{BC}$列方程求出$x$，得到$AC$和$BC$的长度后，再用勾股定理即可求出$AB$的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE⊥ AB$，故$∠ BED=90°$。
已知$BD=10$，$DE=\sqrt{10}$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，
根据正切的定义可得：$\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{10}}=\frac{1}{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=45°$，因此$△ ACD$是等腰直角三角形，即$AC=CD$。
设$AC=CD=x$，则$BC=CD+BD=x+10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}$，代入得：
$\frac{x}{x+10}=\frac{1}{3}$，
交叉相乘解得$3x=x+10$，即$x=5$。
因此$AC=5$，$BC=5+10=15$，再由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+15^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$。
【答案】
(1) $\tan B=\dfrac{1}{3}$；
(2) $AB=5\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形的综合应用题，解题时先从已知边长的直角三角形入手求出三角函数值，再结合特殊角的性质建立边长等量关系，通过列方程求解未知边长，考查了对直角三角形相关性质的应用能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求$\tan B$，根据正切的定义，直角三角形中一个锐角的正切值是该角对边与邻边的比值。已知$DE⊥ AB$，即$△ BDE$是直角三角形，且已知$BD$和$DE$的长度，先通过勾股定理求出$BE$的长度，再代入正切公式即可求出$\tan B$。
(2) 要求$AB$的长，已知$∠ C=90°$，$∠ ADC=45°$，可得$△ ACD$是等腰直角三角形，即$AC=CD$。设$AC=CD=x$，即可表示出$BC$的长度，结合第(1)问求出的$\tan B$，利用$\mathrm{Rt}△ ABC$中$\tan B=\frac{AC}{BC}$列方程求出$x$，得到$AC$和$BC$的长度后，再用勾股定理即可求出$AB$的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$DE⊥ AB$，故$∠ BED=90°$。
已知$BD=10$，$DE=\sqrt{10}$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，
根据正切的定义可得：$\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{10}}=\frac{1}{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=45°$，因此$△ ACD$是等腰直角三角形，即$AC=CD$。
设$AC=CD=x$，则$BC=CD+BD=x+10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}$，代入得：
$\frac{x}{x+10}=\frac{1}{3}$，
交叉相乘解得$3x=x+10$，即$x=5$。
因此$AC=5$，$BC=5+10=15$，再由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+15^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$。
【答案】
(1) $\tan B=\dfrac{1}{3}$；
(2) $AB=5\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理；正切的定义；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形的综合应用题，解题时先从已知边长的直角三角形入手求出三角函数值，再结合特殊角的性质建立边长等量关系，通过列方程求解未知边长，考查了对直角三角形相关性质的应用能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
6. 在$△ ABC$中，若$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，则这个三角形一定是（
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
D
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
答案
D
解析
【分析】
解题时先根据已知的三角函数值，结合特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数，最后根据三个内角的大小判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵∠A是△ABC的内角，$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ A=45°$，
∵∠B是△ABC的内角，$\tan B=\sqrt{3}$，
∴$∠ B=60°$，
根据三角形内角和定理得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-60°=75°$，
∵$45°$、$60°$、$75°$均为锐角，即△ABC的三个内角都是锐角，
∴这个三角形是锐角三角形。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，只要牢记常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知的三角函数值，结合特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数，最后根据三个内角的大小判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵∠A是△ABC的内角，$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ A=45°$，
∵∠B是△ABC的内角，$\tan B=\sqrt{3}$，
∴$∠ B=60°$，
根据三角形内角和定理得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-60°=75°$，
∵$45°$、$60°$、$75°$均为锐角，即△ABC的三个内角都是锐角，
∴这个三角形是锐角三角形。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，只要牢记常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.8
7.计算：$2\sin30° - \sin^245° + \tan60° =$
$\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}$
.答案
$\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}$
解析
【分析】
这道题考查特殊角的三角函数值的应用与实数的混合运算，解题思路分两步：第一步先准确回忆30°、45°、60°三个特殊角的正弦、正切函数值；第二步将对应数值代入原式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2×\dfrac{1}{2} - (\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3}\\&=1 - \dfrac{1}{2} + \sqrt{3}\\&=\dfrac{1}{2} + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，运算时注意优先计算乘方项，避免因运算顺序错误或记错函数值失分。
【难度系数】
0.8
这道题考查特殊角的三角函数值的应用与实数的混合运算，解题思路分两步：第一步先准确回忆30°、45°、60°三个特殊角的正弦、正切函数值；第二步将对应数值代入原式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2×\dfrac{1}{2} - (\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3}\\&=1 - \dfrac{1}{2} + \sqrt{3}\\&=\dfrac{1}{2} + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，运算时注意优先计算乘方项，避免因运算顺序错误或记错函数值失分。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$，则$BC$的长是（
A.3
B.6
C.8
D.9
B
）A.3
B.6
C.8
D.9
答案
B
解析
【分析】
这是等腰三角形结合三角函数的计算问题，解题时先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再结合三角函数定义和勾股定理计算直角边长度，最终推导得到BC的长。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$于点D。
$\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，$AB=5$，
$\therefore AD=AB×\sin B=5×\frac{4}{5}=4$。
由勾股定理可得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
$\therefore BC=2BD=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，作高构造直角三角形是解决等腰三角形边长计算类问题的常用技巧，解题时要熟练运用等腰三角形的特殊性质简化计算。
【难度系数】
0.7
这是等腰三角形结合三角函数的计算问题，解题时先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再结合三角函数定义和勾股定理计算直角边长度，最终推导得到BC的长。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$于点D。
$\because AB=AC=5$，$AD⊥ BC$，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，$AB=5$，
$\therefore AD=AB×\sin B=5×\frac{4}{5}=4$。
由勾股定理可得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
$\therefore BC=2BD=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，作高构造直角三角形是解决等腰三角形边长计算类问题的常用技巧，解题时要熟练运用等腰三角形的特殊性质简化计算。
【难度系数】
0.7
9.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图1,某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图(点A,B,C,D均在同一平面内,AB⊥BC).已知斜坡CD长为20m,斜坡CD的坡角为60°,在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°,坡底与塔杆底的距离BC=30m,求该风力发电机塔杆AB的高度.(结果精确到个位;参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,√3≈1.73)
答案
解:过点 D 作 $DF ⊥ AB$ 于点 F,作$DH⊥ BE$于点 H. 由题意,得 $DC=20\mathrm{m}$,$∠ DCH=60°$. 在 $\mathrm{Rt}△ DCH$中,$\because \cos60°=\dfrac{CH}{CD}$,$\sin60°=\dfrac{DH}{CD}$,$\therefore CH=CD·\cos60°=10(\mathrm{m})$,$DH=CD·\sin60°=10\sqrt{3}\mathrm{m}\approx17.3(\mathrm{m})$.$\because∠ DFB=∠ B=∠ DHB=90°$,$\therefore$ 四边形 DFBH 为矩形,$\therefore BH=FD$,$BF=DH$.$\because BH=BC+CH=30+10=40(\mathrm{m})$,$\therefore FD=BH=40\mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 中,$\because \tan20°=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{AF}{40}\approx0.36$,$\therefore AF\approx40×0.36=14.4(\mathrm{m})$,$\therefore AB=AF+BF\approx14.4+17.3=31.7\approx32(\mathrm{m})$. 答:该风力发电机塔杆 AB 的高度约为 32m.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际测量题，要求塔杆AB的高度，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将AB拆分为两段分别计算：① 过D作DH⊥BE、DF⊥AB，先利用斜坡CD的长度和坡角60°，在Rt△DCH中算出DH和CH的长度；② 利用矩形的性质，得到BF=DH，DF=BC+CH；③ 再根据D处测A的仰角20°，在Rt△AFD中算出AF的长度，最后将AF与BF相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AB$于点F，作$DH ⊥ BE$于点H。
由题意可知$DC=20\mathrm{m}$，$∠ DCH=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCH$中：
$CH=CD·\cos60°=20×\frac{1}{2}=10(\mathrm{m})$，
$DH=CD·\sin60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx17.3(\mathrm{m})$。
$\because ∠ DFB=∠ B=∠ DHB=90°$，
$\therefore$ 四边形DFBH是矩形，
$\therefore BF=DH\approx17.3\mathrm{m}$，$FD=BH=BC+CH=30+10=40(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中，$∠ ADF=20°$，
$\because \tan20°=\frac{AF}{FD}$，
$\therefore AF=FD·\tan20°\approx40×0.36=14.4(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=AF+BF\approx14.4+17.3=31.7\approx32(\mathrm{m})$。
【答案】
该风力发电机塔杆AB的高度约为32m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 矩形的性质
3. 锐角三角函数
【点评】
本题结合风力发电机高度测量的实际场景，考查了利用直角三角形解决实际问题的能力，解题的核心是合理作辅助线，将未知线段拆分转化到直角三角形和特殊四边形中求解，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和矩形的相关性质。
【难度系数】
0.65
这是一道解直角三角形的实际测量题，要求塔杆AB的高度，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将AB拆分为两段分别计算：① 过D作DH⊥BE、DF⊥AB，先利用斜坡CD的长度和坡角60°，在Rt△DCH中算出DH和CH的长度；② 利用矩形的性质，得到BF=DH，DF=BC+CH；③ 再根据D处测A的仰角20°，在Rt△AFD中算出AF的长度，最后将AF与BF相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AB$于点F，作$DH ⊥ BE$于点H。
由题意可知$DC=20\mathrm{m}$，$∠ DCH=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCH$中：
$CH=CD·\cos60°=20×\frac{1}{2}=10(\mathrm{m})$，
$DH=CD·\sin60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx17.3(\mathrm{m})$。
$\because ∠ DFB=∠ B=∠ DHB=90°$，
$\therefore$ 四边形DFBH是矩形，
$\therefore BF=DH\approx17.3\mathrm{m}$，$FD=BH=BC+CH=30+10=40(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中，$∠ ADF=20°$，
$\because \tan20°=\frac{AF}{FD}$，
$\therefore AF=FD·\tan20°\approx40×0.36=14.4(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=AF+BF\approx14.4+17.3=31.7\approx32(\mathrm{m})$。
【答案】
该风力发电机塔杆AB的高度约为32m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 矩形的性质
3. 锐角三角函数
【点评】
本题结合风力发电机高度测量的实际场景，考查了利用直角三角形解决实际问题的能力，解题的核心是合理作辅助线，将未知线段拆分转化到直角三角形和特殊四边形中求解，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和矩形的相关性质。
【难度系数】
0.65
