登录
1. （2026·厦门期中）下列图形中的角是圆周角的是（
B
）答案
1. B 解析:圆周角是指顶点在圆上,并且两条边都与圆相交的角,据此可判断选项B的角是圆周角,故选B.
解析
【分析】
解题的核心是牢牢抓住圆周角的两个判定条件：①角的顶点必须在圆上；②角的两条边都要与圆相交（即除顶点外，每条边和圆还有另外一个公共点）。我们只需要对照这两个条件逐一排查选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，对各选项逐一判断：
1. 选项A：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
2. 选项B：角的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，两个条件均满足，是圆周角；
3. 选项C：角的两条边均仅和圆交于顶点这一个点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
4. 选项D：角的其中一条边仅和圆交于顶点这一个点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟记圆周角的两个判定要素，判断时要注意两个条件必须同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.9
解题的核心是牢牢抓住圆周角的两个判定条件：①角的顶点必须在圆上；②角的两条边都要与圆相交（即除顶点外，每条边和圆还有另外一个公共点）。我们只需要对照这两个条件逐一排查选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，对各选项逐一判断：
1. 选项A：角的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
2. 选项B：角的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，两个条件均满足，是圆周角；
3. 选项C：角的两条边均仅和圆交于顶点这一个点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
4. 选项D：角的其中一条边仅和圆交于顶点这一个点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟记圆周角的两个判定要素，判断时要注意两个条件必须同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.9
2. ★★ (2024·湖南中考)如图，AB,AC为$\odot O$的两条弦，连接OB,OC，若$∠ A=45°$，则$∠ BOC$的度数为 (
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$135°$
C
)A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$135°$
答案
2. C 解析:根据题意,圆周角$∠ A$ 和圆心角$∠ BOC$ 同对着$\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠A = \frac{1}{2}∠BOC$,$\because ∠A = 45°$,$\therefore ∠BOC = 2∠A = 2×45°=90°$.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察角的特征：∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，两个角共同对应弧$\overset{\frown}{BC}$，由此联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。已知圆周角∠A的度数，直接利用该定理即可求出圆心角∠BOC的度数。
【解析】
∵圆周角∠A和圆心角∠BOC同对弧$\overset{\frown}{BC}$，
根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ A$，
又
∵$∠ A=45°$，
∴$∠ BOC=2×45°=90°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确找到同一段弧对应的圆周角和圆心角，牢记二者的倍数关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察角的特征：∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，两个角共同对应弧$\overset{\frown}{BC}$，由此联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。已知圆周角∠A的度数，直接利用该定理即可求出圆心角∠BOC的度数。
【解析】
∵圆周角∠A和圆心角∠BOC同对弧$\overset{\frown}{BC}$，
根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ A$，
又
∵$∠ A=45°$，
∴$∠ BOC=2×45°=90°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确找到同一段弧对应的圆周角和圆心角，牢记二者的倍数关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. (2024·临夏中考)如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ E=35°$，则$∠ BOD=$ (
A.$80°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$110°$
D
)A.$80°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$110°$
答案
3. D 解析:$\because ∠E = 35°$,$\therefore ∠AOD = 2∠E = 70°$,$\therefore ∠BOD = 180°-70°=110°$.故选 D.
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆周角定理的内容，即同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。首先找到∠E是弧AD所对的圆周角，对应的圆心角是∠AOD，先利用圆周角定理求出∠AOD的度数，再根据AB是直径，∠AOD与∠BOD组成平角，用180°减去∠AOD的度数即可得到∠BOD的度数。
【解析】
∵∠E是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
已知∠E=35°，
∴∠AOD=2∠E=2×35°=70°，
又
∵AB是⊙O的直径，∠AOD与∠BOD互为邻补角，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-70°=110°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；邻补角的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，结合平角的性质即可快速求解，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确圆周角定理的内容，即同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。首先找到∠E是弧AD所对的圆周角，对应的圆心角是∠AOD，先利用圆周角定理求出∠AOD的度数，再根据AB是直径，∠AOD与∠BOD组成平角，用180°减去∠AOD的度数即可得到∠BOD的度数。
【解析】
∵∠E是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
已知∠E=35°，
∴∠AOD=2∠E=2×35°=70°，
又
∵AB是⊙O的直径，∠AOD与∠BOD互为邻补角，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-70°=110°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；邻补角的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，结合平角的性质即可快速求解，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
4. (2026·合肥模拟)如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$∠ A=50°$,则$∠ B$等于 (
A.$65°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$130°$
A
)A.$65°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$130°$
答案
4. A 解析:$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$\therefore ∠B = ∠C$,$\therefore ∠B = ∠C = \frac{1}{2}( 180°-∠A) = \frac{1}{2}×( 180°-50°) = 65°$.故选 A.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：同圆中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据圆的性质，同圆内相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ C$，因此$△ ABC$是等腰三角形。再结合已知的顶角度数，利用三角形内角和为$180°$，即可计算出底角$∠ B$的度数。
【解析】
$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore$ 等弧所对的圆周角相等，即$∠ B = ∠ C$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
代入$∠ A=50°$，$∠ C=∠ B$得：
$∠ B = \frac{1}{2}(180°-∠ A) = \frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等弧对等圆周角；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类考题，将圆的基本性质与三角形的基础定理结合考察，解题关键是通过弧相等推出对应圆周角相等，得到等腰三角形后即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察已知条件：同圆中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据圆的性质，同圆内相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ C$，因此$△ ABC$是等腰三角形。再结合已知的顶角度数，利用三角形内角和为$180°$，即可计算出底角$∠ B$的度数。
【解析】
$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore$ 等弧所对的圆周角相等，即$∠ B = ∠ C$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
代入$∠ A=50°$，$∠ C=∠ B$得：
$∠ B = \frac{1}{2}(180°-∠ A) = \frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等弧对等圆周角；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类考题，将圆的基本性质与三角形的基础定理结合考察，解题关键是通过弧相等推出对应圆周角相等，得到等腰三角形后即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5. ★★★（宜宾中考改编）如图，已知点A，B，C在$\odot O$上，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点.若$∠ BAC = 35°$，则$∠ AOB =$
140
$°$.答案
5. 140 解析:连接 OC,$\because ∠BAC = 35°$,$\therefore ∠BOC = 2∠BAC = 70°$.$\because C$ 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$,$\therefore ∠AOC = ∠BOC = 70°$,$\therefore ∠AOB = ∠AOC+∠BOC = 140°$.
解析
【分析】
要求∠AOB的度数，已知圆周角∠BAC和弧中点的条件，可结合圆周角定理求解：首先作辅助线连接OC，先根据圆周角定理求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠BOC的度数；再利用C是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，得到$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$相等，对应的圆心角∠AOC和∠BOC相等，最后将两个圆心角度数相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
连接OC，
∵ ∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ BOC = 2∠ BAC = 2×35°=70°$，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ 两段等弧所对的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ BOC=70°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=70°+70°=140°$。
【答案】
140
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等弧对等圆心角
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，解题的关键是正确作出辅助线OC，结合圆周角定理和弧中点的角度性质转化角度关系，考查学生对圆的基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠AOB的度数，已知圆周角∠BAC和弧中点的条件，可结合圆周角定理求解：首先作辅助线连接OC，先根据圆周角定理求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠BOC的度数；再利用C是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，得到$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$相等，对应的圆心角∠AOC和∠BOC相等，最后将两个圆心角度数相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
连接OC，
∵ ∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ BOC = 2∠ BAC = 2×35°=70°$，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ 两段等弧所对的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ BOC=70°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=70°+70°=140°$。
【答案】
140
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等弧对等圆心角
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，解题的关键是正确作出辅助线OC，结合圆周角定理和弧中点的角度性质转化角度关系，考查学生对圆的基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
6. |教材P29练习T2变式（枣庄中考）如图，在$\odot O$中，弦AB，CD相交于点P.若$∠ A=48°$，$∠ APD=80°$，则$∠ B$的度数为（
A.$32°$
B.$42°$
C.$48°$
D.$52°$
A
）A.$32°$
B.$42°$
C.$48°$
D.$52°$
答案
6. A 解析:$\because ∠A = 48°$,$∠APD = 80°$,$\therefore ∠C = 80°-48° = 32°$.$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$,$\therefore ∠B = ∠C = 32°$.故选 A.
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，观察已知角的位置，∠APD是△APC的外角，可利用三角形外角的性质先求出∠C的度数；其次，∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ ∠APD是△APC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得
$∠ APD = ∠ A + ∠ C$
已知$∠ A=48°$，$∠ APD=80°$，代入得：
$∠ C = ∠ APD - ∠ A = 80° - 48° = 32°$
又
∵ $∠ B$和$∠ C$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ B = ∠ C = 32°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是三角形性质与圆周角性质的基础综合题，解题的核心是找准同弧对应的相等圆周角，结合三角形外角性质即可快速计算，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先，观察已知角的位置，∠APD是△APC的外角，可利用三角形外角的性质先求出∠C的度数；其次，∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ ∠APD是△APC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得
$∠ APD = ∠ A + ∠ C$
已知$∠ A=48°$，$∠ APD=80°$，代入得：
$∠ C = ∠ APD - ∠ A = 80° - 48° = 32°$
又
∵ $∠ B$和$∠ C$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ B = ∠ C = 32°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是三角形性质与圆周角性质的基础综合题，解题的核心是找准同弧对应的相等圆周角，结合三角形外角性质即可快速计算，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
7. ★★（兰州中考改编）如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$CD$是$\odot O$的直径，$∠ ACD=40°$，则$∠ B=$
50
°。答案
7. 50 解析:$\because CD$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠CAD = 90°$,$\therefore ∠ACD+∠D = 90°$.$\because ∠ACD=40°$,$\therefore ∠ADC = ∠B = 50°$.
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：CD是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得到△ACD是直角三角形，结合已知的∠ACD=40°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ADC的度数；再观察∠B和∠ADC的位置，二者都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD + ∠ ADC = 90°$，
已知$∠ ACD=40°$，
∴ $∠ ADC=90° - 40°=50°$，
又
∵ $∠ B$和$∠ ADC$都是弧$AC$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ B=∠ ADC=50°$。
【答案】
50
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，核心是通过直径构造直角三角形求角，再利用同弧圆周角相等完成角度转化，掌握圆周角相关推论是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：CD是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得到△ACD是直角三角形，结合已知的∠ACD=40°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ADC的度数；再观察∠B和∠ADC的位置，二者都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD + ∠ ADC = 90°$，
已知$∠ ACD=40°$，
∴ $∠ ADC=90° - 40°=50°$，
又
∵ $∠ B$和$∠ ADC$都是弧$AC$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ B=∠ ADC=50°$。
【答案】
50
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，核心是通过直径构造直角三角形求角，再利用同弧圆周角相等完成角度转化，掌握圆周角相关推论是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. ★★★ (2024·海南中考改编)如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，点P在$\overset{\frown}{CD}$上，若$∠ PCB=130°$，则$∠ PBA$等于________°。
答案
8. 100 解析:连接 OB,OC,$\because AD$ 是半圆 O 的直径,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 60°$,$\therefore △AOB$ 和 $△BOC$ 都是等边三角形,$\therefore ∠OBC = ∠OBA = 60°$,$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠BPC = \frac{1}{2}∠BOC = 30°$,$\because ∠PCB = 130°$,$\therefore ∠PBC = 180°-130°-30° = 20°$,$\therefore ∠PBO = 60°-20° = 40°$,$\therefore ∠PBA = 40°+60° = 100°$.
解析
【分析】
本题属于圆中角度计算问题，解题思路如下：首先AD是半圆的直径，半圆弧对应的圆心角为180°，已知三段弧相等，可推出每段弧对应的圆心角相等，因此先连接OB、OC构造圆心角；其次利用同弧所对圆周角是圆心角的一半求出∠BPC的度数，再结合三角形内角和为180°，算出△PBC中∠PBC的度数；最后根据圆心角为60°的等腰三角形是等边三角形，得到∠OBA、∠OBC的度数，结合已求的∠PBC的度数，即可推导得出∠PBA的大小。
【解析】
连接OB、OC。
∵AD是半圆O的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{1}{3}×180°=60°$。
又
∵OA=OB=OC，
∴△AOB和△BOC都是等边三角形，
∴$∠ OBA=60°$，$∠ OBC=60°$。
∵同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BPC$是圆心角$∠ BOC$的一半，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°$。
在△PCB中，$∠ PCB=130°$，
∴$∠ PBC=180°-∠ PCB-∠ BPC=180°-130°-30°=20°$。
∴$∠ PBO=∠ OBC-∠ PBC=60°-20°=40°$，
∴$∠ PBA=∠ OBA+∠ PBO=60°+40°=100°$。
【答案】
100
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形内角和的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造圆心角，结合等弧对应的圆心角相等、圆周角定理逐步推导所求角度，是圆中角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题属于圆中角度计算问题，解题思路如下：首先AD是半圆的直径，半圆弧对应的圆心角为180°，已知三段弧相等，可推出每段弧对应的圆心角相等，因此先连接OB、OC构造圆心角；其次利用同弧所对圆周角是圆心角的一半求出∠BPC的度数，再结合三角形内角和为180°，算出△PBC中∠PBC的度数；最后根据圆心角为60°的等腰三角形是等边三角形，得到∠OBA、∠OBC的度数，结合已求的∠PBC的度数，即可推导得出∠PBA的大小。
【解析】
连接OB、OC。
∵AD是半圆O的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{1}{3}×180°=60°$。
又
∵OA=OB=OC，
∴△AOB和△BOC都是等边三角形，
∴$∠ OBA=60°$，$∠ OBC=60°$。
∵同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BPC$是圆心角$∠ BOC$的一半，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°$。
在△PCB中，$∠ PCB=130°$，
∴$∠ PBC=180°-∠ PCB-∠ BPC=180°-130°-30°=20°$。
∴$∠ PBO=∠ OBC-∠ PBC=60°-20°=40°$，
∴$∠ PBA=∠ OBA+∠ PBO=60°+40°=100°$。
【答案】
100
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形内角和的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造圆心角，结合等弧对应的圆心角相等、圆周角定理逐步推导所求角度，是圆中角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
9. ★★★ 如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,$∠ ADB=∠ CDB$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明;
(2)若$AB=2\sqrt{2},AD=2$,求$CD$的长度.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明;
(2)若$AB=2\sqrt{2},AD=2$,求$CD$的长度.
答案
9. (1)$△ABC$ 是等腰直角三角形,证明如下:$\because AC$ 是$\odot O$ 的直径,则 $∠ABC = ∠ADC = 90°$,$\because ∠ADB = ∠CDB$,$∠ADB = ∠ACB$,$∠CDB = ∠CAB$,$\therefore ∠ACB = ∠CAB$,$\therefore △ABC$ 是等腰直角三角形.(2)$\because △ABC$ 是等腰直角三角形,$\therefore BC = AB = 2\sqrt{2}$,$\therefore AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = 4$,$Rt△ADC$ 中,$∠ADC = 90°$,$AD = 2$,$\therefore CD = \sqrt{AC^2-AD^2} = 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 判断△ABC的形状可按两步推导：首先由AC是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可先确定△ABC是直角三角形；再结合已知∠ADB=∠CDB，利用同弧所对圆周角相等的性质，将两个角分别转化为△ABC的两个内角，得到∠ACB=∠CAB，即可推出AB=BC，最终确定三角形形状。
(2) 求CD长度可分步计算：先利用(1)的等腰直角三角形结论，结合已知AB的长度，用勾股定理算出直径AC的长度；再由直径所对圆周角为直角，得到△ADC是直角三角形，已知AD和AC的长度，再次用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADB=∠ACB（同对弧AB），∠CDB=∠CAB（同对弧CB），
又
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴AB=BC，结合∠ABC=90°，可得△ABC是等腰直角三角形。
(2)
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=2√2，
∴BC=AB=2√2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=2，AC=4，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) △ABC是等腰直角三角形；(2) $CD=2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理及推论、等腰直角三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是利用圆周角的性质完成角的等量转化，结合勾股定理求解线段长度，能帮助学生巩固圆中角、线段的常见关联规律。
【难度系数】
0.7
(1) 判断△ABC的形状可按两步推导：首先由AC是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可先确定△ABC是直角三角形；再结合已知∠ADB=∠CDB，利用同弧所对圆周角相等的性质，将两个角分别转化为△ABC的两个内角，得到∠ACB=∠CAB，即可推出AB=BC，最终确定三角形形状。
(2) 求CD长度可分步计算：先利用(1)的等腰直角三角形结论，结合已知AB的长度，用勾股定理算出直径AC的长度；再由直径所对圆周角为直角，得到△ADC是直角三角形，已知AD和AC的长度，再次用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADB=∠ACB（同对弧AB），∠CDB=∠CAB（同对弧CB），
又
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴AB=BC，结合∠ABC=90°，可得△ABC是等腰直角三角形。
(2)
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=2√2，
∴BC=AB=2√2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4$，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=2，AC=4，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) △ABC是等腰直角三角形；(2) $CD=2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理及推论、等腰直角三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是利用圆周角的性质完成角的等量转化，结合勾股定理求解线段长度，能帮助学生巩固圆中角、线段的常见关联规律。
【难度系数】
0.7
