9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$D$为边$BC$上一点，$CD=AB$，连结$AD$。
(1)求证:$△ ADC$是等腰三角形。
(2)若$∠ C=38°$，求$∠ BAD$的度数。

9. 解:(1)证明:因为$∠B=∠C$,所以$AB=AC$。
因为$CD=AB$,所以$CD=AC$,
所以$△ADC$是等腰三角形。
(2)因为$∠C=38°$,所以$∠B=∠C=38°$。
因为$CA=CD$,
所以$∠CAD=∠CDA=\frac{180°-∠C}{2}=71°$。
因为$∠CDA$是$△ABD$的一个外角,
所以$∠BAD=∠CDA-∠B=71°-38°=33°$。

10. 如图,已知D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=6,BC=4,则BD的长为 ()

A.1
B.1.5
C.2
D.2.5

第10题图 第11题图

10. A

11. 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点D作DE//AB，交AC于点E，则∠ADC=°；△ADC与△EDC的周长分别为11和9，则DE的长为。

11. 100 2 【解析】因为$∠B=40°,∠C=20°$,
所以$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-20°=120°$。
因为AD平分$∠BAC$,
所以$∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在$△ADC$中,$∠DAC=60°,∠C=20°$,
所以$∠ADC=180°-60°-20°=100°$。
因为$DE// AB$,所以$∠BAD=∠EDA=∠DAE$,
所以$△ADE$是等边三角形,所以$AD=DE=AE$。
因为$△ADC$与$△EDC$的周长分别为11和9,
所以$AD+DC+AC-(DC+CE+DE)=11-9=2$,
所以$AD+DC+AE+EC-DC-CE-DE=2$,
所以$DE=2$。

12. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D,E,F$分别是射线$BA,CB,AC$上的点，且$AD=BE=CF$，连结$DE,EF,DF$。
(1)求证：$∠ BDE=∠ CEF$。
(2)试判断$△ DEF$的形状，并说明理由。

12. 解:(1)证明:因为$△ABC$为等边三角形,且$AD=BE=CF$,
所以$∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°$,
所以$∠EBD=∠FCE$,$DB=CE$。
在$△BED$与$△CFE$中,
因为$\begin{cases} DB=EC, \\ ∠EBD=∠FCE, \\ BE=CF, \end{cases}$
所以$△BED≌△CFE(SAS)$,
所以$∠BDE=∠CEF$。
(2)$△DEF$为等边三角形,理由如下:
由(1)同理可得,$△ADF≌△BED≌△CFE$,
所以$DF=ED=EF$,
所以$△DEF$是等边三角形。

13. 如图,在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ。
(1)求证:△ABP≌△ACQ。
(2)请判断△APQ是什么形状的三角形,并说明你的理由。

13. 解:(1)证明:因为$△ABC$为等边三角形,
所以$AB=AC$。
在$△ABP$和$△ACQ$中,
因为$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABP=∠ACQ, \\ BP=CQ, \end{cases}$
所以$△ABP≌△ACQ(SAS)$。
(2)$△APQ$为等边三角形。理由如下:
因为$△ABP≌△ACQ$,
所以$∠BAP=∠CAQ$,$AP=AQ$。
因为$∠BAP+∠CAP=60°$,
所以$∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=60°$,
所以$△APQ$是等边三角形。