1. (2024·宜宾中考节选)如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于点$A(-1,0)$和点$B$,与y轴交于点$C(0,-4)$,其顶点为$D$.
(1)求抛物线的表达式及顶点$D$的坐标.
(2)在$y$轴上是否存在一点$M$,使得$△ BDM$的周长最小?若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)由于抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过点 $A(-1,0)$ 和点 $C(0,-4)$,$\therefore \begin{cases} 1-b+c=0,\\ c=-4, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} b=-3,\\ c=-4, \end{cases}$$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=x^2-3x-4=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$,$\therefore$ 顶点 $D$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$.
(2)存在.$\because$ 点 $A(-1,0)$,对称轴为直线 $x=\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 $B(4,0)$.
$\because B(4,0),D(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4})$,$\therefore BD$ 长为定值,,作点 $B$ 关于原点的对称点 $B'$,则 $B'(-4,0)$,连接 $B'D$ 交 $y$ 轴于点 $M$,则 $B'M=BM$,$\therefore DM+BM=DM+B'M=DB'$,此时 $△ BDM$ 的周长最小,设直线 $DB'$ 的表达式为 $y=kx+n$,则$\begin{cases} -4k+n=0,\\ \dfrac{3}{2}k+n=-\dfrac{25}{4}, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-\dfrac{25}{22},\\ n=-\dfrac{50}{11}, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $DB'$ 的表达式为 $y=-\dfrac{25}{22}x-\dfrac{50}{11}$.令 $x=0$,则$y=-\dfrac{50}{11}$,$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(0,-\dfrac{50}{11})$.

2. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,1)、(1,2),经过A,B两点作y轴的垂线,垂足分别为点D,C,得到正方形ABCD,抛物线$y=x^2+bx+c$经过A,C两点,点P为抛物线上一点(不与点A重合),过点P分别作$PF// x$轴交y轴于点F,$PE// y$轴交x轴于点E,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当P点在第一象限,矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l.
①若$x≥ m$时,函数$y=x^2+bx+c$的最小值为2m,求m的值;
②当$m＜2$时,求l与m之间的函数表达式.

(1)$\because B(1,2),BC⊥ y$ 轴于点 $C$,$\therefore C(0,2)$,将点 $A(1,1)$,$C(0,2)$ 代入 $y=x^2+bx+c$ 中得 $\begin{cases} 1+b+c=1,\\ c=2, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} b=-2,\\ c=2, \end{cases}$$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=x^2-2x+2$.
(2)①$\because y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,1)$.$\because$ 点 $P$ 在抛物线上,$\therefore P(m,m^2-2m+2)$.当 $m＞1$ 时,函数最小值为 $P$ 点的纵坐标,即 $m^2-2m+2=2m$,解得 $m_1=2+\sqrt{2}$,$m_2=2-\sqrt{2}$(舍).当 $0＜m≤ 1$ 时,函数最小值为顶点的纵坐标,即 $2m=1$,解得 $m=\dfrac{1}{2}$.$\therefore m=2+\sqrt{2}$或$m=\dfrac{1}{2}$.
②$\because$ 点 $P$ 的横坐标为 $m$,点 $P$ 为第一象限内抛物线上的点且不与点 $A$ 重合,$\therefore P(m,m^2-2m+2)$($m＞0$ 且 $m≠ 1$).$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形,且 $A(1,1)$,$\therefore D(0,1)$,$B(1,2)$,$F(0,m^2-2m+2)$,$\therefore PF=m$,$FD=m^2-2m+2-1=m^2-2m+1$,,根据点 $P$ 在点 $A$ 的左右,分两种情况:当 $0＜m＜1$ 时,$l=2×(PF+FD)=2×(m+m^2-2m+1)=2m^2-2m+2$;当 $1＜m＜2$ 时,$l=2×(AD+FD)=2×(1+m^2-2m+1)=2m^2-4m+4$.