10. 如图，点E,F分别在矩形ABCD的边CD,AB上，EF⊥AB，点G,H分别是BC,EF的中点，EH＞HG，除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1，则AB等于（）

A.$\sqrt{2}$
B.$1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
D.$1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

C 解析：由题意得$GC=\frac{1}{2}BC=0.5$.设$AB=CD=x$,$CE=y$,则$DE=x-y$.$\because$ 矩形$ABCD∽$ 矩形$EHGC$,$\therefore \frac{AB}{EH}=\frac{BC}{HG}$,即$\frac{x}{0.5}=\frac{1}{y}$ ①.$\because$ 矩形$ABCD∽$ 矩形$ADEF$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{1}{x}=\frac{x-y}{1}$ ②.联立①②,解得$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$.故选C.

11. 一题多变（1）如图①，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为。

（2）（枣庄中考）如图②，已知在矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形CEFD与矩形ABCD相似，则AD=。

(1)2:1 解析：设原矩形的长为x,宽为y,$\therefore$ 小矩形的长为y,宽为$\frac{x}{4}$.$\because$ 小矩形与原矩形相似,$\therefore \frac{\frac{x}{4}}{y}=\frac{y}{x}$,$\therefore x:y=2:1$.
(2)$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 解析：由折叠的性质可知,$AB=AF=1$,$\because$ 矩形CEFD与矩形ABCD相似,$\therefore \frac{FD}{CD}=\frac{CD}{AD}$,即$\frac{AD-1}{1}=\frac{1}{AD}$,整理得$AD^2-AD-1=0$,解得$AD=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$(舍去),$\therefore AD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

12. 彼此相似的正方形$A_1B_1C_1O, A_2B_2C_2C_1, A_3B_3C_3C_2$如图所示，，点$A_1, A_2, A_3$在直线$y=kx+b(k＞0)$上，点$C_1, C_2, C_3$在$x$轴上，点$B_3$的坐标是$( \dfrac{19}{4}, \dfrac{9}{4} )$，则$5k - bk$的值为。

2 解析：令x=0,则y=b,$\therefore OA_1=b$.$\because$ 点$B_3$的坐标是$(\frac{19}{4},\frac{9}{4})$,$\therefore$ 正方形$A_3B_3C_3C_2$的边长$A_3C_2=\frac{9}{4}$,$A_3(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$,$\therefore$ 正方形$A_2B_2C_2C_1$的边长为$\frac{5}{2}-b$.$\because$ 正方形$A_1B_1C_1O,A_2B_2C_2C_1,A_3B_3C_3C_2$是彼此相似的正方形,且点$A_1,A_2,A_3$在同一直线上,$\therefore \frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_2C_1}{A_3C_2}$,$\therefore \frac{b}{\frac{5}{2}-b}=\frac{\frac{5}{2}-b}{\frac{9}{4}}$,整理得$4b^2-29b+25=0$,解得$b_1=1,b_2=\frac{25}{4}$(舍去),$\therefore$ 直线的表达式为$y=kx+1$.把点$A_3(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$的坐标代入,得$\frac{5}{2}k+1=\frac{9}{4}$,解得$k=\frac{1}{2}$,$\therefore 5k-bk=5×\frac{1}{2}-1×\frac{1}{2}=2$.

13. 如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作EF//AB,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB = 6,且四边形ABCD∽四边形CEFD,求BC的长.

(1)$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠ FAE=∠ AEB$.$\because EF// AB$,$\therefore$ 四边形ABEF是平行四边形.$\because AE$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ FAE=∠ BAE$,$\therefore ∠ BAE=∠ AEB$,$\therefore AB=EB$,$\therefore$ 平行四边形ABEF是菱形,$\therefore BF$平分$∠ ABC$.
(2)$\because$ 四边形ABEF为菱形,$\therefore BE=EF=AB=6$.$\because$ 四边形$ABCD∽$ 四边形$CEFD$,$\therefore \frac{AB}{CE}=\frac{BC}{EF}$,即$\frac{6}{BC-6}=\frac{BC}{6}$,解得$BC=3+3\sqrt{5}$或$3-3\sqrt{5}$(舍去),$\therefore BC=3+3\sqrt{5}$.

14.（成都中考）已知菱形$A_1B_1C_1D_1$的边长为2，$∠ A_1B_1C_1 = 60°$，对角线$A_1C_1$，$B_1D_1$相交于点$O$，以点$O$为坐标原点，分别以$OA_1$，$OB_1$所在直线为$x$轴、$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系，以$B_1D_1$为对角线作菱形$B_1C_2D_1A_2 ∽$菱形$A_1B_1C_1D_1$，再以$A_2C_2$为对角线作菱形$A_2B_2C_2D_2 ∽$菱形$B_1C_2D_1A_2$，再以$B_2D_2$为对角线作菱形$B_2C_3D_2A_3 ∽$菱形$A_2B_2C_2D_2$，…，按此规律继续作下去，在$x$轴的正半轴上得到点$A_1$，$A_2$，$A_3$，…，$A_n$，则点$A_n$的坐标为。

$(3^{n-1},0)$ 解析：$\because$ 菱形$A_1B_1C_1D_1$的边长为2,$∠ A_1B_1C_1=60°$,$\therefore ∠ A_1B_1O=\frac{1}{2}∠ A_1B_1C_1=30°$,$\therefore OA_1=\frac{1}{2}A_1B_1=1$,$\therefore A_1(1,0)$,由勾股定理得,$OB_1=\sqrt{A_1B_1^2-OA_1^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.$\because$ 菱形$B_1C_2D_1A_2 ∽$ 菱形$A_1B_1C_1D_1$,$\therefore ∠ D_1A_2B_1=∠ B_1C_2D_1=∠ A_1B_1C_1=60°$,$\therefore ∠ OA_2B_1=\frac{1}{2}∠ D_1A_2B_1=30°$,$\therefore B_1A_2=2B_1O=2\sqrt{3}$,$OA_2=\sqrt{B_1A_2^2-OB_1^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$,$\therefore A_2(3,0)$,同理可得,$A_3(9,0)$,$A_4(27,0)$,$···$,$\therefore A_n(3^{n-1},0)$.
技法点拨 抓住“相似”与“对角线交替”:每次新菱形都相似于前一个,主对角线轮流在y轴、x轴上.

15.（南通中考）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG ∽菱形ABCD，连接EB，GD.
（1）求证：EB = GD；
（2）若∠DAB = 60°，AB = 2，AG = $\sqrt{3}$，求GD的长.

(1)$\because$ 菱形$AEFG∽$ 菱形ABCD, $\therefore ∠ EAG=∠ BAD$, $\therefore ∠ EAG+ ∠ GAB= ∠ BAD + ∠ GAB$, $\therefore ∠ EAB = ∠ GAD$.
$\because AE=AG$,$AB=AD$,
$\therefore △ AEB ≌ △ AGD (\mathrm{SAS})$,
$\therefore EB=GD$.
(2)如图,连接BD交AC于点P,则$BP⊥ AC$,$\because ∠ DAB=60°$,$\therefore ∠ PAB=30°$,$\therefore BP=\frac{1}{2}AB=1$,$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}$.$\because AE=AG=\sqrt{3}$,$\therefore EP=2\sqrt{3}$,$\therefore EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$,$\therefore$ 由(1)知$GD=EB=\sqrt{13}$.