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11.已知$\odot O$的半径为1，$AO=d$，且关于$x$的方程$x^2 - 2dx + 1 = 0$有两个相等的实数根，则点$A$与$\odot O$的位置关系是（
A.点$A$在$\odot O$内
B.点$A$在$\odot O$外
C.点$A$在$\odot O$上
D.无法确定
C
）A.点$A$在$\odot O$内
B.点$A$在$\odot O$外
C.点$A$在$\odot O$上
D.无法确定
答案
C
12.(教材第115页例题变式)下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形.
其中,四个顶点在同一个圆上的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
其中,四个顶点在同一个圆上的有 （
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
13. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，已知$∠ BOC=70°$，$AD// OC$，则$∠ AOD$的度数为 （
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
A
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
A
14.如图,在$\odot O$中,直径$AB=6$,$BC$是弦,$∠ ABC=30°$,点$P$在$BC$上,点$Q$在$\odot O$上,且$OP⊥ PQ$.当$PQ// AB$时,$PQ$的长为________.
答案
$\sqrt{6}$
15. 如图,已知 CD 是$\odot O$的直径,$∠ DOE=78°$,AE 交$\odot O$于点 B,且$AB=OC$,求$∠ A$的度数.
答案
解: 连接 $OB$. $\because AB = OC, OB = OC, \therefore AB = OB, \therefore ∠ A = ∠ BOA.$
又$\because OB = OE, \therefore ∠ E = ∠ EBO = ∠ BOA + ∠ A = 2∠ A, \therefore ∠ DOE = ∠ E + ∠ A = 3∠ A.$ 又$\because ∠ DOE = 78°, \therefore 3∠ A = 78°, \therefore ∠ A = 26°.$
又$\because OB = OE, \therefore ∠ E = ∠ EBO = ∠ BOA + ∠ A = 2∠ A, \therefore ∠ DOE = ∠ E + ∠ A = 3∠ A.$ 又$\because ∠ DOE = 78°, \therefore 3∠ A = 78°, \therefore ∠ A = 26°.$
16.(教材第116页练习第4题变式)如图，BD，CE分别是$△ ABC$的高，M为BC的中点.求证:点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.
答案
证明:连接 ME,MD. $\because BD,CE$ 分别是 $△ ABC$ 的高, $\therefore ∠ BEC = ∠ BDC = 90°.$ 又$\because M$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore ME = MD = MC = MB = \frac{1}{2}BC. \therefore$ 点 $B,C,D,E$ 在以点 $M$ 为圆心的同一个圆上.
17.(核心素养·几何直观)如图,正方形ABCD在半圆O内部,顶点A,B在圆上,C,D在直径上.
(1)OD
(2)在正方形ABCD右侧再作一个小正方形ECGF,若正方形ABCD的边长为4,求正方形ECGF的边长.
(1)OD
=
(填“＞”“＜”或“=”)OC;(2)在正方形ABCD右侧再作一个小正方形ECGF,若正方形ABCD的边长为4,求正方形ECGF的边长.
答案
(1)=
(2)解:由题意可知 $BC=4,OC=2$,连接 $OB$,由勾股定理可得 $OB=2\sqrt{5}$,连接 $OF$,则 $OF=OB=2\sqrt{5}$,设正方形 $ECGF$ 的边长为 $x$,则 $GF=x=CG, \therefore OG=OC+CG=2+x.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OGF$ 中,$x^2+(x+2)^2=(2\sqrt{5})^2$,解得 $x_1=-4$(舍去),$x_2=2, \therefore$ 正方形 $ECGF$ 的边长为 2.
(2)解:由题意可知 $BC=4,OC=2$,连接 $OB$,由勾股定理可得 $OB=2\sqrt{5}$,连接 $OF$,则 $OF=OB=2\sqrt{5}$,设正方形 $ECGF$ 的边长为 $x$,则 $GF=x=CG, \therefore OG=OC+CG=2+x.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OGF$ 中,$x^2+(x+2)^2=(2\sqrt{5})^2$,解得 $x_1=-4$(舍去),$x_2=2, \therefore$ 正方形 $ECGF$ 的边长为 2.
