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10.(西藏自治区中考)如图，AB是$\odot O$的弦，$OC⊥ AB$，垂足为C，$OD// AB$，$OC=\frac{1}{2}OD$，则$∠ ABD$的度数为（
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
D
）A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
答案
10.D
11.如图所示，$M(0,-3),N(0,-9)$，半径为5的$\odot A$经过点$M,N$，则点$A$的坐标为
$(-4,-6)$
答案
11.$(-4,-6)$
12.如图，$\odot O$的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为
3
，最大值为5
。答案
12.3 5
13.(易错题)如图,一下水管横截面为圆形,直径为100cm,下雨前水面宽为60cm,一场大雨过后,水面宽为80cm,则水位上升了
10或70
cm.答案
13.10或70
14.(教材第125页练习第1题变式)如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D.
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径$R=10$,小圆的半径$r=8$,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径$R=10$,小圆的半径$r=8$,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
答案
14. (1)证明:过点 O 作 $OE ⊥ AB$ 于点
E,则 $CE=DE,AE=BE, \therefore AE-$
$CE=BE-DE$, 即 $AC=BD.$ (2)
解:连接 $OC,OA. \because OE ⊥ AB,OE$
$⊥ CD, \therefore OE=6, \therefore CE=$
$\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7},$
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=$
$8, \therefore AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}.$
E,则 $CE=DE,AE=BE, \therefore AE-$
$CE=BE-DE$, 即 $AC=BD.$ (2)
解:连接 $OC,OA. \because OE ⊥ AB,OE$
$⊥ CD, \therefore OE=6, \therefore CE=$
$\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7},$
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=$
$8, \therefore AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}.$
15.(核心素养·应用意识)如图,已知$\odot O$的直径AB垂直弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且$CF\bot AD$.
(1)求证:E是OB的中点.
(2)若$AB=6$,求CD的长.
(1)求证:E是OB的中点.
(2)若$AB=6$,求CD的长.
答案
15. (1)解:证明:连接 AC. $\because AB ⊥ CD$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}. \therefore AC=AD. \because CF ⊥$
$AD, \therefore AF=DF$, 即 CF 是 AD 的
垂直平分线. $\therefore AC=CD. \therefore AC=$
$AD=CD. \therefore △ ACD$ 是等边三角
形. $\therefore ∠ FCD=30°$. 在 $\mathrm{Rt}△ COE$
中, $∠ OCE=30°, \therefore OE=\frac{1}{2}OC. \therefore$
$OE=\frac{1}{2}OB. \therefore E$ 是 OB 的中点.
(2) $\because AB=6, \therefore OC=\frac{1}{2}AB=3. \therefore$
$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{3}{2}. \therefore CE=$
$\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=$
$\frac{3}{2}\sqrt{3}. \because AB ⊥ CD, \therefore CD=2CE=$
$3\sqrt{3}.$
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}. \therefore AC=AD. \because CF ⊥$
$AD, \therefore AF=DF$, 即 CF 是 AD 的
垂直平分线. $\therefore AC=CD. \therefore AC=$
$AD=CD. \therefore △ ACD$ 是等边三角
形. $\therefore ∠ FCD=30°$. 在 $\mathrm{Rt}△ COE$
中, $∠ OCE=30°, \therefore OE=\frac{1}{2}OC. \therefore$
$OE=\frac{1}{2}OB. \therefore E$ 是 OB 的中点.
(2) $\because AB=6, \therefore OC=\frac{1}{2}AB=3. \therefore$
$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{3}{2}. \therefore CE=$
$\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=$
$\frac{3}{2}\sqrt{3}. \because AB ⊥ CD, \therefore CD=2CE=$
$3\sqrt{3}.$
