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11. ★★ 在$\sqrt{1000}$，$\sqrt{1001}$，$\sqrt{1002}$，…，$\sqrt{2026}$这1027个二次根式中，与$\sqrt{5}$是同类二次根式的有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
D
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
11.D 【点拨】
∵$21\sqrt{5}=\sqrt{2205}＞\sqrt{2026}＞\sqrt{2000}=20\sqrt{5},14\sqrt{5}=\sqrt{980}＜\sqrt{1000}＜\sqrt{1125}=15\sqrt{5}$,
∴这1027个二次根式中与$\sqrt{5}$是同类二次根式的有$20\sqrt{5}$,$19\sqrt{5}$,$18\sqrt{5}$,$17\sqrt{5}$,$16\sqrt{5}$,$15\sqrt{5}$,共6个.
∵$21\sqrt{5}=\sqrt{2205}＞\sqrt{2026}＞\sqrt{2000}=20\sqrt{5},14\sqrt{5}=\sqrt{980}＜\sqrt{1000}＜\sqrt{1125}=15\sqrt{5}$,
∴这1027个二次根式中与$\sqrt{5}$是同类二次根式的有$20\sqrt{5}$,$19\sqrt{5}$,$18\sqrt{5}$,$17\sqrt{5}$,$16\sqrt{5}$,$15\sqrt{5}$,共6个.
12. [全国初中数学竞赛] 设$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则
$\frac{a^5 + a^4 - 2a^3 - a^2 - a + 2}{a^3 - a} = \_\_\_\_\_\_$
$\frac{a^5 + a^4 - 2a^3 - a^2 - a + 2}{a^3 - a} = \_\_\_\_\_\_$
答案
12.-2 【点拨】
∵$a^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1-a,∴a^2+a=1.∴原式=\frac{a^3(a^2+a)-2a^3-(a^2+a)+2}{a·a^2 -a}=\frac{a^3-2a^3-1+2}{a(1-a)-a}=\frac{-a^3+1}{-a^2}=\frac{-a^2·a +1}{a-1}=\frac{(a-1)a +1}{a-1}=\frac{a^2 -a +1}{a-1}=\frac{1-a -a +1}{a-1}=\frac{-2(a-1)}{a-1}=-2$.
∵$a^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1-a,∴a^2+a=1.∴原式=\frac{a^3(a^2+a)-2a^3-(a^2+a)+2}{a·a^2 -a}=\frac{a^3-2a^3-1+2}{a(1-a)-a}=\frac{-a^3+1}{-a^2}=\frac{-a^2·a +1}{a-1}=\frac{(a-1)a +1}{a-1}=\frac{a^2 -a +1}{a-1}=\frac{1-a -a +1}{a-1}=\frac{-2(a-1)}{a-1}=-2$.
13. 如图，在$△ ABC$中，$AB$的垂直平分线$EF$交$BC$于点$E$，交$AB$于点$F$，$D$是线段$CE$上一点，且满足条件：$CD=DE$，$∠ ADC=90°$。若$∠ B=36°$，$AB=\sqrt{5}+3$，$AC=\sqrt{5}+1$，则$AD^2=$
$2\sqrt{5}+5$
。答案
13.$2\sqrt{5}+5$ 【点拨】如图,连结AE.
∵EF是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
∴∠EAB=∠B=36°,
∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°.
∵ED=DC,∠ADC=90°,
∴AE=AC=$\sqrt{5}+1$,
∴∠C=∠AEC=72°,
∴∠BAC=180°−36°−72°=72°,
∴∠BAC=∠C,
∴BC=AB=$\sqrt{5}+3$,
∴EC=BC−BE=BC−AE=2,
∴CD=ED=1,
∴$AD^2=AC^2−CD^2=(\sqrt{5}+1)^2−1^2=2\sqrt{5}+5$.
14. 新视角规律探究题 若$[x]$表示不超过$x$的最大整数(如$[π]=3,[-2\frac{2}{3}]=-3$),则$[\frac{1}{2-\sqrt{1×2}}]+[\frac{1}{3-\sqrt{2×3}}]+[\frac{1}{4-\sqrt{3×4}}]+\dots+[\frac{1}{2027-\sqrt{2026×2027}}]=$
2026
答案
14.2026 【点拨】$\frac{1}{(n+1)-\sqrt{n(n+1)}}=\frac{(n+1)+\sqrt{n(n+1)}}{n^2+2n+1-n^2-n}=\frac{(n+1)+\sqrt{n(n+1)}}{n+1}=1+\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}$(n为正整数).
∵$1＜1+\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}＜1+\frac{\sqrt{(n+1)(n+1)}}{n+1}=2$,且[x]表示不超过x的最大整数,
∴$[1+\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}]=1$,
∴$[\frac{1}{2-\sqrt{1×2}}]+[\frac{1}{3-\sqrt{2×3}}]+[\frac{1}{4-\sqrt{3×4}}]+…+[\frac{1}{2027-\sqrt{2026×2027}}]=2026×1=2026$.
∵$1＜1+\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}＜1+\frac{\sqrt{(n+1)(n+1)}}{n+1}=2$,且[x]表示不超过x的最大整数,
∴$[1+\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n+1}]=1$,
∴$[\frac{1}{2-\sqrt{1×2}}]+[\frac{1}{3-\sqrt{2×3}}]+[\frac{1}{4-\sqrt{3×4}}]+…+[\frac{1}{2027-\sqrt{2026×2027}}]=2026×1=2026$.
15. 母题 教材$P_{15}$复习题$T_6$ 已知$a=3+\sqrt{3},b=3-\sqrt{3}$。
(1)求$a^2 + b^2 - 3ab$的值；
(2)若$m$为$a$的整数部分，$n$为$b$的小数部分，求$\frac{1}{m-n}$的值。
(1)求$a^2 + b^2 - 3ab$的值；
(2)若$m$为$a$的整数部分，$n$为$b$的小数部分，求$\frac{1}{m-n}$的值。
答案
15.【解】
(1)$\because a=3+\sqrt{3},b=3-\sqrt{3}$,
$\therefore a-b=2\sqrt{3},ab=6$.
$\therefore a^2 + b^2 - 3ab=(a-b)^2 -ab=(2\sqrt{3})^2 -6=12-6=6$.
(2)$\because m$为$a$的整数部分,$n$为$b$的小数部分,$a=3+\sqrt{3}$,$b=3-\sqrt{3}$,$\therefore m=4$,$n=2-\sqrt{3}$.
$\therefore \frac{1}{m-n}=\frac{1}{4-2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$.
16. 江苏竞赛 新考法 数形结合法 如图,在数轴上有两个长方形ABCD和长方形EFGH,这两个长方形的宽都是$2\sqrt{2}$个单位长度,长方形ABCD的长AD是$4\sqrt{2}$个单位长度,长方形EFGH的长EH是$8\sqrt{2}$个单位长度,点E在数轴上表示的数是$5\sqrt{2}$,且E,D两点之间的距离为$12\sqrt{2}$.
(1)点H在数轴上表示的数是
(2)若线段AD的中点为M,线段EH上有一点N,$EN=\frac{1}{4}EH$,M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动,N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动,设运动的时间为x s,问当x为多少时,原点O恰为线段MN的三等分点?
(1)点H在数轴上表示的数是
$13\sqrt{2}$
,点A在数轴上表示的数是$-11\sqrt{2}$
;(2)若线段AD的中点为M,线段EH上有一点N,$EN=\frac{1}{4}EH$,M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动,N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动,设运动的时间为x s,问当x为多少时,原点O恰为线段MN的三等分点?
答案
16.【解】
(1)$13\sqrt{2}$；$-11\sqrt{2}$
(2)由题意知,线段AD的中点为M,则M表示的数为$-9\sqrt{2}$,线段EH上有一点N,且$EN=\frac{1}{4}EH$,则N表示的数为$7\sqrt{2}$.
∵M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动,N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动,
∴经过$x$ s后,M点表示的数为$4x-9\sqrt{2}$,N点表示的数为$7\sqrt{2}-3x$,
①当$OM=2ON$时,有$|4x-9\sqrt{2}|=2|7\sqrt{2}-3x|$,
解得$x=\frac{23\sqrt{2}}{10}$(经检验,不符合题意,舍去)或$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
②当$ON=2OM$时,有$2|4x-9\sqrt{2}|=|7\sqrt{2}-3x|$,
解得$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$或$x=\frac{25\sqrt{2}}{11}$(经检验,不符合题意,舍去).
综上所述,当$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$时,原点O恰为线段MN的三等分点.
(1)$13\sqrt{2}$；$-11\sqrt{2}$
(2)由题意知,线段AD的中点为M,则M表示的数为$-9\sqrt{2}$,线段EH上有一点N,且$EN=\frac{1}{4}EH$,则N表示的数为$7\sqrt{2}$.
∵M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动,N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动,
∴经过$x$ s后,M点表示的数为$4x-9\sqrt{2}$,N点表示的数为$7\sqrt{2}-3x$,
①当$OM=2ON$时,有$|4x-9\sqrt{2}|=2|7\sqrt{2}-3x|$,
解得$x=\frac{23\sqrt{2}}{10}$(经检验,不符合题意,舍去)或$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
②当$ON=2OM$时,有$2|4x-9\sqrt{2}|=|7\sqrt{2}-3x|$,
解得$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$或$x=\frac{25\sqrt{2}}{11}$(经检验,不符合题意,舍去).
综上所述,当$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$时,原点O恰为线段MN的三等分点.
