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8. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度。在某高速公路上，常用的计算公式是$v^2=256df$，其中$v$表示车速（单位：km/h），$d$表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），$f$表示动摩擦因数，$f=1.2$。在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得$d=19.2$ m，则出事故的汽车的速度大约是多少？
答案
8. 解:将 d=19.2 m,f=1.2 代入 $v^2=256df$，得 $v^2=256×19.2×1.2=5\ 898.24$，所以 $v=76.8$ km/h(负值已舍去)。答:出事故的汽车的速度大约是 76.8 km/h。
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的计算公式和已知量：已知公式$v^2=256df$，且给出了$d=19.2\ \mathrm{m}$、$f=1.2$两个已知条件，要求车速$v$。第一步先将已知的$d$和$f$的数值代入公式，计算得到$v^2$的结果；第二步结合实际意义，车速$v$一定是正数，因此对$v^2$取算术平方根即可得到$v$的值。
【解析】
解：将$d=19.2\ \mathrm{m}$，$f=1.2$代入公式$v^2=256df$，得：
$\begin{aligned}v^2&=256×19.2×1.2\\&=256×23.04\\&=5898.24\end{aligned}$
因为车速$v$为正数，所以对$v^2$开平方取算术平方根，得$v=\sqrt{5898.24}=76.8\ \mathrm{km/h}$（负值已舍去）。
【答案】
出事故的汽车的速度大约是$\boldsymbol{76.8\ \mathrm{km/h}}$。
【知识点】
代数式代入求值；算术平方根的实际应用
【点评】
本题是数学运算在交通场景中的实际应用，解题的核心是准确代入数值计算，同时要注意结合实际问题的意义，舍去不符合实际的负根，主要考查学生的基础计算能力和对算术平方根实际含义的理解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的计算公式和已知量：已知公式$v^2=256df$，且给出了$d=19.2\ \mathrm{m}$、$f=1.2$两个已知条件，要求车速$v$。第一步先将已知的$d$和$f$的数值代入公式，计算得到$v^2$的结果；第二步结合实际意义，车速$v$一定是正数，因此对$v^2$取算术平方根即可得到$v$的值。
【解析】
解：将$d=19.2\ \mathrm{m}$，$f=1.2$代入公式$v^2=256df$，得：
$\begin{aligned}v^2&=256×19.2×1.2\\&=256×23.04\\&=5898.24\end{aligned}$
因为车速$v$为正数，所以对$v^2$开平方取算术平方根，得$v=\sqrt{5898.24}=76.8\ \mathrm{km/h}$（负值已舍去）。
【答案】
出事故的汽车的速度大约是$\boldsymbol{76.8\ \mathrm{km/h}}$。
【知识点】
代数式代入求值；算术平方根的实际应用
【点评】
本题是数学运算在交通场景中的实际应用，解题的核心是准确代入数值计算，同时要注意结合实际问题的意义，舍去不符合实际的负根，主要考查学生的基础计算能力和对算术平方根实际含义的理解。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 设 $ S_1=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}, S_2=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}, S_3=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}, \dots, S_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2} $，请你应用所学知识，回答以下问题。
(1) 求 $ \sqrt{S_1}, \sqrt{S_2}, \sqrt{S_3}, \sqrt{S_4} $ 的值；
(2) 求 $ \sqrt{S_n} $ 的值；
(3) $ \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\dots+\sqrt{S_{24}} $ 的值为多少？
9. 设 $ S_1=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}, S_2=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}, S_3=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}, \dots, S_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2} $，请你应用所学知识，回答以下问题。
(1) 求 $ \sqrt{S_1}, \sqrt{S_2}, \sqrt{S_3}, \sqrt{S_4} $ 的值；
(2) 求 $ \sqrt{S_n} $ 的值；
(3) $ \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\dots+\sqrt{S_{24}} $ 的值为多少？
答案
9. 解:(1) $\sqrt{S_1} = \sqrt{1+1+\frac{1}{4}} = \frac{3}{2}$，$\sqrt{S_2} = \sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\frac{7}{6}$，$\sqrt{S_3}=\sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}=\frac{13}{12}$，$\sqrt{S_4}=\sqrt{1+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}}=\frac{21}{20}$。(2)观察(1)中计算结果,总结出规律：$\sqrt{S_1}=1+\frac{1}{1×2}=\frac{3}{2}$，$\sqrt{S_2}=1+\frac{1}{2×3}=\frac{7}{6}$，$\sqrt{S_3}=1+\frac{1}{3×4}=\frac{13}{12}$，$\sqrt{S_4}=1+\frac{1}{4×5}=\frac{21}{20}$，所以 $\sqrt{S_n}=1+\frac{1}{n×(n+1)}$。(3)由(2)可知 $\sqrt{S_n}=1+\frac{1}{n×(n+1)}$，所以 $\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \dots + \sqrt{S_{24}} = (1+\frac{1}{1×2}) + (1+\frac{1}{2×3})+\dots+(1+\frac{1}{24×25}) =(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(1+\frac{1}{24}-\frac{1}{25}) =1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+1+\frac{1}{24}-\frac{1}{25} =24+1-\frac{1}{25} =\frac{624}{25}$。
解析
【分析】
(1) 第一问直接将n=1、2、3、4分别代入$S_n$的表达式，先计算每个$S_n$的数值，再开算术平方根即可得到结果。
(2) 第二问可先观察(1)中四个算术平方根的结果，发现分子比分母大1，分母为对应n和n+1的乘积，也可以通过对$S_n$的代数式变形凑完全平方式，推导得出$\sqrt{S_n}$的通用表达式。
(3) 第三问利用第二问得到的$\sqrt{S_n}$的表达式，将分式$\frac{1}{n(n+1)}$拆分为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（裂项法），代入求和后中间的分数项会相互抵消，简化计算即可得到最终结果。
【解析】
(1) 分别代入计算：
$\sqrt{S_1} = \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} = \sqrt{1+1+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
$\sqrt{S_2} = \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$
$\sqrt{S_3} = \sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$
$\sqrt{S_4} = \sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{441}{400}} = \frac{21}{20}$
(2) 观察(1)的结果可发现规律：
$\sqrt{S_1}=1+\frac{1}{1×2}=\frac{3}{2}$，$\sqrt{S_2}=1+\frac{1}{2×3}=\frac{7}{6}$，$\sqrt{S_3}=1+\frac{1}{3×4}=\frac{13}{12}$，$\sqrt{S_4}=1+\frac{1}{4×5}=\frac{21}{20}$
推导验证：$S_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{[n(n+1)+1]^2}{n^2(n+1)^2}$，因此$\sqrt{S_n}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
(3) 利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，代入求和：
$\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\dots+\sqrt{S_{24}} = (1+\frac{1}{1×2}) + (1+\frac{1}{2×3})+\dots+(1+\frac{1}{24×25})$
$=(1+1-\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(1+\frac{1}{24}-\frac{1}{25})$
$=24 + (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{24}-\frac{1}{25})$
$=24 + 1 - \frac{1}{25} = \frac{624}{25}$
【答案】
(1) $\sqrt{S_1}=\frac{3}{2}$，$\sqrt{S_2}=\frac{7}{6}$，$\sqrt{S_3}=\frac{13}{12}$，$\sqrt{S_4}=\frac{21}{20}$；
(2) $\sqrt{S_n}=1+\frac{1}{n(n+1)}$；
(3) $\frac{624}{25}$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题属于规律探究类综合题，从特殊值计算入手，逐步推导一般规律，再应用规律解决求和问题，既考察了二次根式的运算能力，也考察了观察归纳能力和裂项简化运算的技巧，是代数运算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问直接将n=1、2、3、4分别代入$S_n$的表达式，先计算每个$S_n$的数值，再开算术平方根即可得到结果。
(2) 第二问可先观察(1)中四个算术平方根的结果，发现分子比分母大1，分母为对应n和n+1的乘积，也可以通过对$S_n$的代数式变形凑完全平方式，推导得出$\sqrt{S_n}$的通用表达式。
(3) 第三问利用第二问得到的$\sqrt{S_n}$的表达式，将分式$\frac{1}{n(n+1)}$拆分为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（裂项法），代入求和后中间的分数项会相互抵消，简化计算即可得到最终结果。
【解析】
(1) 分别代入计算：
$\sqrt{S_1} = \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} = \sqrt{1+1+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
$\sqrt{S_2} = \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$
$\sqrt{S_3} = \sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$
$\sqrt{S_4} = \sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{441}{400}} = \frac{21}{20}$
(2) 观察(1)的结果可发现规律：
$\sqrt{S_1}=1+\frac{1}{1×2}=\frac{3}{2}$，$\sqrt{S_2}=1+\frac{1}{2×3}=\frac{7}{6}$，$\sqrt{S_3}=1+\frac{1}{3×4}=\frac{13}{12}$，$\sqrt{S_4}=1+\frac{1}{4×5}=\frac{21}{20}$
推导验证：$S_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{[n(n+1)+1]^2}{n^2(n+1)^2}$，因此$\sqrt{S_n}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
(3) 利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，代入求和：
$\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\dots+\sqrt{S_{24}} = (1+\frac{1}{1×2}) + (1+\frac{1}{2×3})+\dots+(1+\frac{1}{24×25})$
$=(1+1-\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(1+\frac{1}{24}-\frac{1}{25})$
$=24 + (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{24}-\frac{1}{25})$
$=24 + 1 - \frac{1}{25} = \frac{624}{25}$
【答案】
(1) $\sqrt{S_1}=\frac{3}{2}$，$\sqrt{S_2}=\frac{7}{6}$，$\sqrt{S_3}=\frac{13}{12}$，$\sqrt{S_4}=\frac{21}{20}$；
(2) $\sqrt{S_n}=1+\frac{1}{n(n+1)}$；
(3) $\frac{624}{25}$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题属于规律探究类综合题，从特殊值计算入手，逐步推导一般规律，再应用规律解决求和问题，既考察了二次根式的运算能力，也考察了观察归纳能力和裂项简化运算的技巧，是代数运算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
10. 某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的正方形场地改建成面积为9 000 m²的长方形场地，且其长、宽的比为5:2。
(1)求改建后的长方形场地的长和宽分别为多少米。
(2)如果把原来面积为10 000 m²的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为长方形新场地的围墙，这些金属栅栏是否够用？为什么？
(1)求改建后的长方形场地的长和宽分别为多少米。
(2)如果把原来面积为10 000 m²的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为长方形新场地的围墙，这些金属栅栏是否够用？为什么？
答案
10. 解:(1)设长方形场地的长为 5x m,则其宽为 2x m,根据题意,得 $5x · 2x=9\ 000$，解得 $x=30$ 或 $x=-30$(舍去)，所以长为 $30×5=150(\mathrm{m})$,宽为 $30×2=60(\mathrm{m})$，所以改建后的长方形场地的长和宽分别为 150 m,60 m。(2)设原来正方形场地的边长为 y m,则 $y^2=10\ 000$，解得 $y=100$ 或 $y=-100$(舍去)，所以原来正方形场地的周长为 400 m。改建后的长方形场地的周长为$(150+60)×2=420(\mathrm{m})$，因为 $400＜420$，所以这些金属栅栏不够用。
解析
【分析】
(1) 已知长方形长和宽的比为5:2，可采用设参数的方法，设长为5x m，宽为2x m，再结合长方形面积公式“面积=长×宽”列方程求解，注意长度为正数，因此负根需要舍去，即可得到长和宽的具体数值。
(2) 判断金属栅栏是否够用，本质是比较原正方形场地的周长和新长方形场地的周长大小。首先根据正方形面积公式求出正方形的边长，进而算出其周长，再计算新长方形的周长，二者比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设改建后的长方形场地的长为$5x \, \mathrm{m}$，则宽为$2x \, \mathrm{m}$。
根据题意列方程得：
$5x · 2x = 9000$
化简得$10x^2=9000$，即$x^2=900$
解得$x=30$或$x=-30$，由于长度不能为负，故舍去$x=-30$。
因此长为$5 × 30 = 150 \, \mathrm{m}$，宽为$2 × 30 = 60 \, \mathrm{m}$。
(2) 这些金属栅栏不够用，理由如下：
设原正方形场地的边长为$y \, \mathrm{m}$。
根据正方形面积公式列方程得：
$y^2=10000$
解得$y=100$或$y=-100$，由于边长不能为负，故舍去$y=-100$。
原正方形场地的周长为$4 × 100 = 400 \, \mathrm{m}$。
改建后长方形场地的周长为$2 × (150 + 60) = 420 \, \mathrm{m}$。
因为$400 ＜ 420$，所以原有金属栅栏不够用。
【答案】
(1) 改建后的长方形场地长为150m，宽为60m；
(2) 这些金属栅栏不够用。
【知识点】
一元二次方程实际应用、算术平方根应用、周长面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查数学知识的应用，解题时需注意结合实际意义舍去方程的负根，核心是通过周长大小比较判断栅栏是否够用，整体思路清晰，重点考查审题能力和计算准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 已知长方形长和宽的比为5:2，可采用设参数的方法，设长为5x m，宽为2x m，再结合长方形面积公式“面积=长×宽”列方程求解，注意长度为正数，因此负根需要舍去，即可得到长和宽的具体数值。
(2) 判断金属栅栏是否够用，本质是比较原正方形场地的周长和新长方形场地的周长大小。首先根据正方形面积公式求出正方形的边长，进而算出其周长，再计算新长方形的周长，二者比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设改建后的长方形场地的长为$5x \, \mathrm{m}$，则宽为$2x \, \mathrm{m}$。
根据题意列方程得：
$5x · 2x = 9000$
化简得$10x^2=9000$，即$x^2=900$
解得$x=30$或$x=-30$，由于长度不能为负，故舍去$x=-30$。
因此长为$5 × 30 = 150 \, \mathrm{m}$，宽为$2 × 30 = 60 \, \mathrm{m}$。
(2) 这些金属栅栏不够用，理由如下：
设原正方形场地的边长为$y \, \mathrm{m}$。
根据正方形面积公式列方程得：
$y^2=10000$
解得$y=100$或$y=-100$，由于边长不能为负，故舍去$y=-100$。
原正方形场地的周长为$4 × 100 = 400 \, \mathrm{m}$。
改建后长方形场地的周长为$2 × (150 + 60) = 420 \, \mathrm{m}$。
因为$400 ＜ 420$，所以原有金属栅栏不够用。
【答案】
(1) 改建后的长方形场地长为150m，宽为60m；
(2) 这些金属栅栏不够用。
【知识点】
一元二次方程实际应用、算术平方根应用、周长面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查数学知识的应用，解题时需注意结合实际意义舍去方程的负根，核心是通过周长大小比较判断栅栏是否够用，整体思路清晰，重点考查审题能力和计算准确性。
【难度系数】
0.7
