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7.【定义】把一个两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
【操作与发现】已知$△ ABC$（如图14.2-48）.
（1）尺规作图求作四边形$ABCD$，且$AB=CD$，$BC=AD$.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）以上所得四边形$ABCD$是否为平行四边形，请说明理由.
【探索与延伸】（3）在四边形$ABCD$中，连接$BD$，记交点为$O$，观察、分析，在该平行四边形$ABCD$中，辨析以下结论：
①平行四边形的两组对角分别相等（$∠ BAD=∠ DCB$，$∠ ABC=∠ CDA$）.
②平行四边形的两条对角线互相平分（$AO=CO$，$BO=DO$）.
③平行四边形中连接两条对角线，图中全等的三角形是2对.
④$△ AOB$和$△ AOD$的面积相等.
其中正确的有
【操作与发现】已知$△ ABC$（如图14.2-48）.
（1）尺规作图求作四边形$ABCD$，且$AB=CD$，$BC=AD$.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）以上所得四边形$ABCD$是否为平行四边形，请说明理由.
【探索与延伸】（3）在四边形$ABCD$中，连接$BD$，记交点为$O$，观察、分析，在该平行四边形$ABCD$中，辨析以下结论：
①平行四边形的两组对角分别相等（$∠ BAD=∠ DCB$，$∠ ABC=∠ CDA$）.
②平行四边形的两条对角线互相平分（$AO=CO$，$BO=DO$）.
③平行四边形中连接两条对角线，图中全等的三角形是2对.
④$△ AOB$和$△ AOD$的面积相等.
其中正确的有
①②④
.（填写序号）答案
7. （2）四边形$ABCD$是平行四边形。理由：由（1）作图可知，$AB=CD$，$BC=AD$，
$\therefore \begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△CDA$（SSS）。$\therefore ∠BAC=∠DCA$，$∠ACB=∠CAD$，$\therefore AB// CD$，$AD// BC$，$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形
（3）①②④
$\therefore \begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△CDA$（SSS）。$\therefore ∠BAC=∠DCA$，$∠ACB=∠CAD$，$\therefore AB// CD$，$AD// BC$，$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形
（3）①②④
解析
【分析】
解题思路：（1）按照两组对边相等的要求，用尺规确定点D的位置：分别以A、C为圆心，BC、AB的长为半径画弧，两弧交点即为点D，连接AD、CD即可完成作图。（2）要判定四边形是平行四边形，根据题中给出的平行四边形定义，需证两组对边分别平行；已知两组对边相等，可连接公共边AC，用SSS证△ABC和△CDA全等，得到内错角相等，进而推出对边平行，即可完成判定。（3）逐个辨析结论：①借助全等三角形对应角相等可证两组对角相等；②证对角线分割出的小三角形全等，即可得对角线互相平分；③数全等三角形对数时要找全所有符合的组合；④根据等底同高的三角形面积相等判断面积关系，最终选出正确结论。
【解析】
（1）作图：分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长度为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求，保留作图痕迹即可。
（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
由作图可知$AB=CD$，$BC=AD$，
在$△ ABC$和$△ CDA$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDA$（SSS），
$\therefore ∠BAC=∠DCA$，$∠ACB=∠CAD$，
$\therefore AB// CD$，$AD// BC$（内错角相等，两直线平行），
根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
（3）逐个分析结论：
①由$△ ABC≌△ CDA$可得$∠ABC=∠CDA$，同理可证$△ ABD≌△ CDB$，得$∠BAD=∠DCB$，即平行四边形两组对角分别相等，①正确；
②$\because AB// CD$，$\therefore ∠OAB=∠OCD$，$∠OBA=∠ODC$，又$AB=CD$，$\therefore △ AOB≌△ COD$（ASA），$\therefore AO=CO$，$BO=DO$，即平行四边形对角线互相平分，②正确；
③图中全等三角形有$△ ABC≌△ CDA$、$△ ABD≌△ CDB$、$△ AOB≌△ COD$、$△ AOD≌△ COB$，共4对，③错误；
④由②得$BO=DO$，$△ AOB$和$△ AOD$以BO、OD为底时，高均为点A到直线BD的距离，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，故两个三角形面积相等，④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
（2）四边形$ABCD$是平行四边形，理由见解析；（3）$\boxed{①②④}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题以尺规作图为切入点，结合全等三角形的证明，考查平行四边形的判定及性质，整体偏向基础，侧重对核心概念、基础证明方法的考查，要求熟练掌握全等三角形判定定理，能灵活运用平行四边形性质解决辨析类问题。
【难度系数】
0.7
解题思路：（1）按照两组对边相等的要求，用尺规确定点D的位置：分别以A、C为圆心，BC、AB的长为半径画弧，两弧交点即为点D，连接AD、CD即可完成作图。（2）要判定四边形是平行四边形，根据题中给出的平行四边形定义，需证两组对边分别平行；已知两组对边相等，可连接公共边AC，用SSS证△ABC和△CDA全等，得到内错角相等，进而推出对边平行，即可完成判定。（3）逐个辨析结论：①借助全等三角形对应角相等可证两组对角相等；②证对角线分割出的小三角形全等，即可得对角线互相平分；③数全等三角形对数时要找全所有符合的组合；④根据等底同高的三角形面积相等判断面积关系，最终选出正确结论。
【解析】
（1）作图：分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长度为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求，保留作图痕迹即可。
（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
由作图可知$AB=CD$，$BC=AD$，
在$△ ABC$和$△ CDA$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ BC=DA, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDA$（SSS），
$\therefore ∠BAC=∠DCA$，$∠ACB=∠CAD$，
$\therefore AB// CD$，$AD// BC$（内错角相等，两直线平行），
根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
（3）逐个分析结论：
①由$△ ABC≌△ CDA$可得$∠ABC=∠CDA$，同理可证$△ ABD≌△ CDB$，得$∠BAD=∠DCB$，即平行四边形两组对角分别相等，①正确；
②$\because AB// CD$，$\therefore ∠OAB=∠OCD$，$∠OBA=∠ODC$，又$AB=CD$，$\therefore △ AOB≌△ COD$（ASA），$\therefore AO=CO$，$BO=DO$，即平行四边形对角线互相平分，②正确；
③图中全等三角形有$△ ABC≌△ CDA$、$△ ABD≌△ CDB$、$△ AOB≌△ COD$、$△ AOD≌△ COB$，共4对，③错误；
④由②得$BO=DO$，$△ AOB$和$△ AOD$以BO、OD为底时，高均为点A到直线BD的距离，根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，故两个三角形面积相等，④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
（2）四边形$ABCD$是平行四边形，理由见解析；（3）$\boxed{①②④}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题以尺规作图为切入点，结合全等三角形的证明，考查平行四边形的判定及性质，整体偏向基础，侧重对核心概念、基础证明方法的考查，要求熟练掌握全等三角形判定定理，能灵活运用平行四边形性质解决辨析类问题。
【难度系数】
0.7
8. 下面是“作一个角使其等于$∠ AOB$”的尺规作图方法.
（1）如图 14.2 - 49，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D.
（2）作射线 $O'A'$，以点 $O'$为圆心，OC 长为半径作弧，交 $O'A'$于点 $C'$. 以点 $C'$为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点 $D'$.
（3）过点 $D'$作射线 $O'B'$，则 $∠ A'O'B' = ∠ AOB$.
上述方法通过判定 $△ C'O'D' ≌ △ COD$ 得到 $∠ A'O'B' = ∠ AOB$，其中判定 $△ C'O'D' ≌ △ COD$ 的依据是（
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
（1）如图 14.2 - 49，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D.
（2）作射线 $O'A'$，以点 $O'$为圆心，OC 长为半径作弧，交 $O'A'$于点 $C'$. 以点 $C'$为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点 $D'$.
（3）过点 $D'$作射线 $O'B'$，则 $∠ A'O'B' = ∠ AOB$.
上述方法通过判定 $△ C'O'D' ≌ △ COD$ 得到 $∠ A'O'B' = ∠ AOB$，其中判定 $△ C'O'D' ≌ △ COD$ 的依据是（
A
）.A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
答案
8. A
解析
【分析】
要确定两个三角形全等的判定依据，首先需结合尺规作图的步骤，找出△C'O'D'和△COD的对应边相等关系：第一步作图可知OC、OD是同一个圆的半径，故OC=OD；第二步作图可知O'C'、O'D'都是以OC长为半径作的弧对应的半径，因此O'C'=OC，O'D'=OD；同时C'D'是以CD长为半径作弧得到的，故C'D'=CD。由此可得两个三角形的三组对应边都相等，对应全等判定定理即可得到答案。
【解析】
根据尺规作图的步骤，可得三组边对应相等：
$OC = O'C'$，$OD = O'D'$，$CD = C'D'$，
在$△ COD$和$△ C'O'D'$中：
$\begin{cases}OC = O'C' \\OD = O'D' \\CD = C'D'\end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ C'O'D'$（SSS，即三边分别相等的两个三角形全等），
因此判定依据对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 尺规作等角
2. SSS判定全等
3. 全等三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图操作考查三角形全等的判定，解题关键是从作图步骤中提取出边的相等关系，再匹配对应的全等判定定理，属于对基础概念的考查，需要熟练掌握各类全等判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
要确定两个三角形全等的判定依据，首先需结合尺规作图的步骤，找出△C'O'D'和△COD的对应边相等关系：第一步作图可知OC、OD是同一个圆的半径，故OC=OD；第二步作图可知O'C'、O'D'都是以OC长为半径作的弧对应的半径，因此O'C'=OC，O'D'=OD；同时C'D'是以CD长为半径作弧得到的，故C'D'=CD。由此可得两个三角形的三组对应边都相等，对应全等判定定理即可得到答案。
【解析】
根据尺规作图的步骤，可得三组边对应相等：
$OC = O'C'$，$OD = O'D'$，$CD = C'D'$，
在$△ COD$和$△ C'O'D'$中：
$\begin{cases}OC = O'C' \\OD = O'D' \\CD = C'D'\end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ C'O'D'$（SSS，即三边分别相等的两个三角形全等），
因此判定依据对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 尺规作等角
2. SSS判定全等
3. 全等三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图操作考查三角形全等的判定，解题关键是从作图步骤中提取出边的相等关系，再匹配对应的全等判定定理，属于对基础概念的考查，需要熟练掌握各类全等判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
