2. 如图14.2-41，在$△ ABC$中，$P$是边$AB$的中点. 按下列步骤尺规作图：以点$B$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$；以点$P$为圆心，$BD$的长为半径画弧，交线段$AP$于点$F$；以点$F$为圆心，$DE$的长为半径画弧，交前一条弧于点$G$；作直线$PG$，交线段$AC$于点$Q$. 则下列说法不一定正确的是（）.

A.$AF=PD$
B.$PG=QG$
C.$∠ B+∠ BPQ=180°$
D.$∠ C=∠ AQP$

2. B

【分析】
首先识别尺规作图的类型：本题的作图步骤是作一个角等于已知角，可得∠APQ=∠B，由此推出PQ//BC；再结合已知条件逐一分析每个选项的正确性即可。
①选项A：由作图得PF=BD，又P是AB中点故AP=PB，因此AP-PF=PB-BD，即AF=PD，A正确。
②选项B：G是两弧的交点，仅能确定G在直线PQ上，无条件证明G是PQ中点，故PG不一定等于QG，B不一定正确。
③选项C：由PQ//BC，同旁内角互补，可得∠B+∠BPQ=180°，C正确。
④选项D：由PQ//BC，同位角相等，可得∠C=∠AQP，D正确。
【解析】
1. 推导平行关系：根据作图步骤，可知所作∠APQ=∠B，因此$PQ// BC$（同位角相等，两直线平行）。
2. 分析选项A：
∵P是AB中点，
∴$AP=PB$；
由作图规则得$PF=BD$，
∴$AP-PF=PB-BD$，即$AF=PD$，故A不符合题意。
3. 分析选项B：
G是尺规作角时两弧的交点，仅能确定点G在直线PQ上，没有条件能证明G是PQ的中点，因此$PG=QG$不一定成立，故B符合题意。
4. 分析选项C：
∵$PQ// BC$，
∴$∠B+∠BPQ=180°$（两直线平行，同旁内角互补），故C不符合题意。
5. 分析选项D：
∵$PQ// BC$，
∴$∠C=∠AQP$（两直线平行，同位角相等），故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
尺规作角；平行线的判定与性质
【点评】
本题结合尺规作图考查平行线的相关性质，解题关键是先根据作图步骤判断出两个角相等，进而得到两条直线平行，再结合平行线的性质逐个判断选项即可。
【难度系数】
0.7

3. 小嘉先画出了$△ ABC$，再利用尺规作图画出了$△ ADE$，使$△ ADE ≌ △ ABC$。图14.2-42～图14.2-44是其作图过程。
(1) 以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N。
图14.2-42
(2) 以点N为圆心，以MN长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线AP。

图14.2-43
(3) 以点A为圆心，先以AB长为半径画弧，与边AC交于点D，再以AC长为半径画弧，与射线AP交于点E，连接DE。
图14.2-44
在小嘉的作法中，可直接判定$△ ADE ≌ △ ABC$的依据是（）。
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

3. B

【分析】
解题时首先明确每一步尺规作图的作用：步骤（1）（2）是作一个角等于已知角，可得∠DAE=∠BAC；步骤（3）通过以定长为半径画弧，可得AD=AB、AE=AC。此时观察两个三角形的条件：两组对应边相等，且相等的角是这两组边的夹角，对应全等三角形判定定理即可确定答案。
【解析】
根据尺规作图的性质推导：
1. 由步骤（1）（2）可知，所作∠DAE = ∠BAC；
2. 由步骤（3），以点A为圆心AB长为半径画弧交AC于点D，得AD = AB；以点A为圆心AC长为半径画弧交射线AP于点E，得AE = AC。
在△ADE和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB \\∠ DAE=∠ BAC \\AE=AC\end{array} $
因此△ADE ≌ △ABC（SAS），故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 全等三角形SAS判定
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形全等判定定理的应用，解题核心是从作图步骤中提取对应相等的边与角，再匹配对应的全等判定依据，是几何基础类题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图14.2-45，小明作业本上画的一个三角形被墨迹污染了，他想画出另一个与原来完全一样的三角形. 请你帮助小明用尺规作图画一个和原三角形全等的三角形.

图14.2-45

根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形，如答图4 

【分析】
要画出与原三角形完全相同的全等三角形，首先观察未被污染的图形部分：可以得到完整的一条底边，以及底边两端对应的两个内角，也就是已知两角和它们的夹边。根据全等三角形的角边角（ASA）判定定理，只要新作出的三角形的两角及夹边与原三角形对应相等，两个三角形就全等，因此我们可以通过尺规作图，依次作出等长的夹边、两个相等的内角，即可得到符合要求的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 画一条线段$A'B'$，使$A'B'$的长度与原三角形的底边长度相等；
2. 分别以$A'$、$B'$为顶点，在$A'B'$的同侧作$∠ MA'B'$等于原三角形底边左端点的内角，作$∠ NB'A'$等于原三角形底边右端点的内角；
3. 射线$A'M$和射线$B'N$的交点记为$C'$，得到的$△ A'B'C'$就是和原三角形全等的三角形。
【答案】
根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形，如答图4
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 尺规作图
【点评】
本题考查全等三角形判定的实际应用，解题核心是从残缺图形中提取完整的边、角条件，匹配对应的全等判定方法指导作图，能帮助学生理解全等判定条件的实际意义。
【难度系数】
0.7

5. 如图14.2-46，在$△ ABC$中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM//BC，点E是射线DM上一个定点. 尺规作图：在射线DM上方求作$∠ DEF$，使得$∠ DEF=∠ C$，与BA的延长线交于点F.（不用写作图步骤，保留作图痕迹）

图14.2-46

如答图5 

【分析】
要完成本题作图，首先明确作图要求：以点E为顶点，射线ED为一边，在DM上方作∠DEF=∠C，且EF与BA的延长线交于点F。我们可以直接使用尺规基本作图中“作一个角等于已知角”的方法来实现：先确定已知角∠C的尺寸，再在点E处复制出大小相同的角即可，作图时需注意符合“在射线DM上方”的位置要求，避免作错方向。
【解析】
运用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法操作：
1. 以点C为圆心，任意合适长度为半径画弧，分别交BC、AC于两点；
2. 以点E为圆心，相同长度为半径画弧，交射线ED于一点；
3. 以ED上的交点为圆心，∠C上截得的两点间距为半径画弧，两弧交于DM上方一点，过E与该交点作射线EF，交BA的延长线于F，所得∠DEF即为所求。
【答案】
如答图5
【知识点】
作一个角等于已知角，尺规基本作图
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，主要考查作等角的操作能力，解题时需留意题干对作图位置的限定，规范操作、保留完整作图痕迹即可正确完成。
【难度系数】
0.8

6. 已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm，一个内角为$40°$.
(1) 请你借助图14.2-47画出一个满足题设条件的三角形.
(2) 你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图14.2-47的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形.若不能，请说明理由. (小提示：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹)
(3) 如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为$40°$”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个.

6. （1）如答图6，在角的两边上截取OA=2 cm，OB=1 cm，则△AOB即为所求 
（2）如答图7，连接AB，即可得到符合题意的△ABO 
（3）4

【分析】
(1) 要画出满足条件的三角形，可先将已知的40°角作为1cm和2cm两条边的夹角，依据“SAS”可确定唯一三角形，只需在角的两条边上分别截取对应长度的线段，再连接端点即可。
(2) 由于“两边及其中一边的对角（SSA）”不能判定三角形全等，因此可将40°角作为2cm边的邻角，1cm边作为40°角的对边来作图，得到的三角形会和(1)中的不全等。作图时固定2cm的边，以其远离顶点的端点为圆心、1cm为半径画弧，和角的另一边相交即可得到符合要求的三角形。
(3) 求满足条件的不全等三角形个数时需分类讨论：①40°角是3cm和4cm两条边的夹角；②40°角的对边是3cm，邻边是4cm；③40°角的对边是4cm，邻边是3cm，分别统计每种情况的个数后相加即可。
【解析】
(1) 将已知的40°角记作∠O，在∠O的两条边上分别截取OA=2cm，OB=1cm，连接AB，得到的△AOB满足两边长为1cm、2cm，夹角为40°，即为所求三角形。
(2) 能画出不全等的三角形。作图方法：仍取40°角为∠O，在∠O的其中一条边上截取OA=2cm，以点A为圆心、1cm长为半径画弧，弧与∠O的另一条边交于点B，连接AB，得到的△ABO满足两边长1cm、2cm、一个内角为40°，且40°角不是两条已知边的夹角，与(1)中的三角形不全等。
(3) 分三类情况讨论：
① 当40°角是3cm和4cm两条边的夹角时，根据SAS判定规则，只能画出1个三角形；
② 当40°角的对边为3cm、其中一条邻边为4cm时，先作40°的角，在其中一条边上截取4cm的线段，以该线段远离角顶点的端点为圆心、3cm长为半径画弧，会和角的另一条边交于2个不同的点，因此可画出2个不全等的三角形；
③ 当40°角的对边为4cm、其中一条邻边为3cm时，先作40°的角，在其中一条边上截取3cm的线段，以该线段远离角顶点的端点为圆心、4cm长为半径画弧，只会和角的另一条边交于1个点，因此只能画出1个三角形；
综上，总共有$1+2+1=4$个彼此不全等的三角形。
【答案】
（1）如答图6，在角的两边上截取$OA=2\ \mathrm{cm}$，$OB=1\ \mathrm{cm}$，则$△ AOB$即为所求
（2）能，如答图7，连接AB，即可得到符合题意的$△ ABO$
（3）4
【知识点】
尺规作图、全等三角形判定、分类讨论
【点评】
本题主要考查三角形全等的判定条件，明确“两边及夹角（SAS）可判定三角形全等，而两边及其中一边的对角（SSA）无法判定三角形全等”是解题的核心，解决这类多情况问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6