4. 如图14.2-16，$BE=CD$，$∠ B=∠ D$，则下列结论错误的是().

A.$△ BEF≌△ DCF$
B.$△ ABC≌△ ADE$
C.$AB=AD$
D.$DF=AC$

4. D

【分析】
解题时先从已知条件出发，先定位有相等边角的三角形：首先看△BEF和△DCF，已知∠B=∠D、BE=CD，还有一组对顶角∠BFE=∠DFC，可先判定这两个三角形全等；再利用全等的性质得到边相等，结合公共角∠A推导△ABC和△ADE的全等关系，最后结合全等性质逐一判断各选项正误即可。
【解析】
1. 判断选项A：在$△ BEF$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}∠B=∠D \\∠BFE=∠DFC（对顶角相等） \\BE=CD\end{cases}$
$\therefore △ BEF≌△ DCF(\mathrm{AAS})$，故A选项正确，不符合题意。
2. 由$△ BEF≌△ DCF$可得：$BF=DF$，$EF=CF$，$\therefore BF+CF=DF+EF$，即$BC=DE$。
3. 判断选项B：在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠B=∠D \\∠A=∠A（公共角） \\BC=DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{AAS})$，故B选项正确，不符合题意。
4. 由$△ ABC≌△ ADE$可得：$AB=AD$，$AC=AE$，故C选项正确，不符合题意。
5. 判断选项D：由前面推导仅能得到$DF=BF$、$AC=AE$，没有条件能证明$DF=AC$，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题考查三角形全等的判定与性质的综合应用，解题时要注意挖掘对顶角、公共角这类隐含的相等条件，先证明小三角形全等，再推导大三角形全等，结合全等的对应边、角相等的性质判断选项即可。
【难度系数】
0.7

5. 如图14.2-17，点C，D分别在线段OA，OB上，AD与BC相交于点E，若OC=OD，∠A=∠B，则图中有（）对全等三角形.

A.5
B.4
C.3
D.2

5. B

【分析】
要找出图中的全等三角形，可从已知条件入手，先利用已知的等角、等边结合公共角、对顶角等隐含条件判断第一组全等，再借助全等三角形对应边、对应角相等的性质，推导其他相等的边角，进而判断其余的全等三角形，注意不要漏数。
【解析】
我们逐对推导全等三角形：
1. 证明$△ OAD ≌ △ OBC$：
在$△ OAD$和$△ OBC$中，
$\begin{cases}∠ O = ∠ O \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ A = ∠ B \quad (\mathrm{已知}) \\OD = OC \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ OAD ≌ △ OBC \ (\mathrm{AAS})$。
由全等性质可得：$OA=OB$，$AD=BC$。
又
∵$OA-OC=OB-OD$，
∴$AC=BD$。
2. 证明$△ ACE ≌ △ BDE$：
在$△ ACE$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ B \quad (\mathrm{已知}) \\∠ AEC = ∠ BED \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\AC = BD \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$△ ACE ≌ △ BDE \ (\mathrm{AAS})$。
由全等性质可得：$CE=DE$，$AE=BE$。
3. 证明$△ OCE ≌ △ ODE$：
在$△ OCE$和$△ ODE$中，
$\begin{cases}OC = OD \quad (\mathrm{已知}) \\OE = OE \quad (\mathrm{公共边}) \\CE = DE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$△ OCE ≌ △ ODE \ (\mathrm{SSS})$。
4. 证明$△ OAE ≌ △ OBE$：
在$△ OAE$和$△ OBE$中，
$\begin{cases}OA = OB \quad (\mathrm{已证}) \\OE = OE \quad (\mathrm{公共边}) \\AE = BE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$△ OAE ≌ △ OBE \ (\mathrm{SSS})$。
综上，图中共有4对全等三角形。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题需要结合已知条件和隐含的公共边、公共角、对顶角相等的条件，按顺序推导全等三角形，易错点是容易漏找某一组全等，解题时要逐一验证不要遗漏。
【难度系数】
0.6

6. 如图14.2-18，AC=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是.(只需写出一个条件即可)

6. ∠B=∠E（或∠C=∠D或AB=AE）

【分析】
首先从已知条件出发，已知∠1=∠2，在两个角上同时加上公共角∠BAD，可推导出∠BAC=∠EAD，又已知AC=AD，此时要判定△ABC≌△AED，已经有一组对应边相等、一组对应角相等。结合三角形全等的判定定理：若用SAS判定，需添加夹等角的另一组边相等，即AB=AE；若用ASA判定，需添加另一组对应角相等，即∠C=∠D；若用AAS判定，需添加第三组角相等，即∠B=∠E，任选其一即可。
【解析】
解：
∵ ∠1=∠2
∴ ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD
又已知AC=AD，分情况补充条件：
1. 补充∠B=∠E时：
在$△ ABC$和$△ AED$中
$\begin{cases}∠B=∠E \\∠BAC=∠EAD \\AC=AD\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ AED$（AAS）
2. 补充∠C=∠D时：
在$△ ABC$和$△ AED$中
$\begin{cases}∠C=∠D \\AC=AD \\∠BAC=∠EAD\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ AED$（ASA）
3. 补充AB=AE时：
在$△ ABC$和$△ AED$中
$\begin{cases}AB=AE \\∠BAC=∠EAD \\AC=AD\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ AED$（SAS）
综上，以上三个条件任选其一均可。
【答案】
∠B=∠E（或∠C=∠D或AB=AE）
【知识点】
全等三角形的判定，角的和差运算
【点评】
本题是开放性基础题，考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时需要先挖掘已知条件中的隐含等角，再结合全等判定规则补充缺少的对应边或对应角即可，注意不要混淆全等判定的适用条件。
【难度系数】
0.8

7. 如图14.2-19，在△ACD中，∠CAD=90°，AC=6，AD=8，AB//CD，E是CD上一点，BE交AD于点F。当AB+CE=CD时，则图中阴影部分的面积为。

7. 24

【分析】
解题思路如下：1. 先观察图形，已知AB//CD，可推出两组内错角相等，为证明三角形全等准备角的条件；2. 结合AB+CE=CD，而CD由CE和ED组成，可推导得到AB=ED，得到全等的边的条件；3. 证明△ABF和△EDF全等后，二者面积相等，就可以将阴影部分的面积转化为直角三角形ACD的面积，最后代入数值计算即可。
【解析】
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠DEF，∠BAF=∠EDF。
∵AB+CE=CD，且CD=CE+ED，
∴AB=ED。
在△ABF和△EDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABF=∠ DEF\\ AB=ED\\ ∠ BAF=∠ EDF\end{array} $
∴△ABF≌△EDF（ASA），
∴$S_{△ ABF}=S_{△ EDF}$。
则阴影部分面积 = $S_{△ ABF} + S_{四边形ACEF}$ = $S_{△ EDF} + S_{四边形ACEF}$ = $S_{△ ACD}$。
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，AC=6，AD=8，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× AD=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
24
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查了全等三角形的判定和面积转化的思想，解题的关键是通过线段的数量关系找到相等的边，证明三角形全等，将不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形面积进行求解，难度适中。
【难度系数】
0.6

8. 生活中的数学：
（1）如图14.2-20，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的数学知识是。
（2）如图14.2-21，要测量池塘沿岸上两点A，E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB=CD，连接BC，AD交于点E，要想知道A，E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由。

8. （1）三角形的稳定性
（2）合适。理由：$\because AB// CD$，$\therefore ∠A=∠D$，$∠B=∠C$。在$△AEB$与$△DEC$中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DC, \\ ∠B=∠C, \end{cases}$
$\therefore △AEB≌△DEC(ASA)$。$\therefore AE=DE$

【分析】
（1）第一问中，窗户打开后，窗钩AB、窗框、窗户边框共同构成了三角形结构，结合三角形的特有性质即可得出对应的数学原理。
（2）第二问要判断测量DE得到AE长度的方法是否合适，核心是证明AE和DE相等，可通过证明两条边所在的三角形全等实现：首先根据AB//CD的条件，利用平行线的性质得到两组内错角相等，再结合已知AB=CD的条件，用角边角判定定理即可证明△AEB和△DEC全等，进而得到对应边AE=DE，即可说明方法可行。
【解析】
（1）窗户固定时，窗钩与窗户、窗框组成三角形结构，利用了三角形的稳定性。
（2）这样做合适，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠A=∠D$，$∠B=∠C$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ AEB$和$△ DEC$中：
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DC, \\ ∠B=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ DEC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=DE$，因此测出DE的长度即可得到A、E之间的距离。
【答案】
（1）三角形的稳定性
（2）合适。理由：$\because AB// CD$，$\therefore ∠A=∠D$，$∠B=∠C$。在$△AEB$与$△DEC$中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DC, \\ ∠B=∠C, \end{cases}$
$\therefore △AEB≌△DEC(ASA)$。$\therefore AE=DE$
【知识点】
三角形的稳定性；平行线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础知识的应用，既考察了学生对基础概念的记忆，也考察了学生运用全等三角形解决实际测量问题的能力，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.8

9. 如图14.2-22，在正方形OABC中，点C的坐标是（1，3），则点A的坐标是（）。

A.$(-1, 3)$
B.$(-2, 3)$
C.$(-3, 2)$
D.$(-3, 1)$

图14.2-22

9. D

【分析】
要确定正方形顶点A的坐标，结合正方形邻边相等、邻边互相垂直的性质，可通过向x轴作垂线构造全等三角形求解。首先过点A、点C分别向x轴作垂线得到两个直角三角形，利用同角的余角相等推出一组锐角相等，结合正方形边长相等可证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合点C的坐标即可求出点A的坐标。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ x$轴于点D，过点C作$CE⊥ x$轴于点E，
则$∠ ADO=∠ OEC=90°$，
$\therefore ∠ OCE+∠ COE=90°$。
$\because$四边形OABC是正方形，
$\therefore OA=OC$，$∠ AOC=90°$，
$\therefore ∠ AOD+∠ COE=90°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ OCE$。
在$△ AOD$和$△ OCE$中：
$\begin{cases}∠ ADO=∠ OEC \\∠ AOD=∠ OCE \\OA=OC\end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ OCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=OE$，$OD=CE$。
$\because$点C的坐标为$(1,3)$，
$\therefore OE=1$，$CE=3$，
$\therefore OD=3$，$AD=1$。
又$\because$点A在第二象限，
$\therefore$点A的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是坐标系与几何图形的综合题，构造“K”型全等是解决坐标系中正方形顶点坐标问题的常用思路，需掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6