10. 如图14.2-23，直线 $ l ⊥ BC $ 于点B，$ ∠ ACB = 90° $，点D为BC的中点，一条光线从点A射向点D，反射后与直线l交于点E.
（1）求证：$ BE = AC $.
（2）如图14.2-24，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，$ AC = BC $，AB平分$ ∠ EBC $，求证：$ CF ⊥ AD $.
图14.2-23
图14.2-24

证明：（1）过点D作$DM⊥BC$。由题意可得$∠EDM=∠ADM$，$∠BDM=∠CDM=90°$，$\therefore ∠BDE=∠ADC$。$\because$ 点D是BC的中点，$\therefore BD=CD$。在$△BDE$和$△CDA$中，
$\begin{cases} ∠EDB=∠ADC, \\ BD=CD, \\ ∠EBD=∠ACD=90°, \end{cases}$
$\therefore △BDE≌△CDA(ASA)$。$\therefore BE=AC$
（2）$\because AC=BC$，$BE=AC$，$\therefore BE=BC$。$\because AB$平分$∠EBC$，且$∠EBC=90°$，$\therefore ∠EBA=∠ABC=45°$。在$△CBF$和$△EBF$中，
$\begin{cases} BC=BE, \\ ∠CBF=∠EBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore △CBF≌△EBF$（SAS）。$\therefore ∠BED=∠BCF$。$\because △BDE≌△CDA$，$\therefore ∠BED=∠DAC=∠BCF$。$\because ∠DAC+∠ADC=90°=∠BCF+∠ADC$，$\therefore ∠CHD=90°$，$\therefore CF⊥AD$

【分析】
（1）要证线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先根据光的反射规律，入射角等于反射角，可推导得到∠BDE=∠ADC；再由点D是BC中点得BD=CD，结合已知的两个直角∠EBD=∠ACD=90°，即可通过ASA判定△BDE≌△CDA，进而得到BE=AC。
（2）要证CF⊥AD，只需证明AD与CF的夹角为90°，即证∠BCF+∠ADC=90°。首先结合（1）的结论BE=AC和已知AC=BC，可得BE=BC；再由AB平分∠EBC，可通过SAS判定△CBF≌△EBF，得到∠BED=∠BCF；结合（1）中全等三角形的性质得∠BED=∠DAC，等量代换得∠BCF=∠DAC，最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可推出∠CHD=90°，得到垂直关系。
【解析】
（1）过点D作$DM⊥BC$，由光的反射规律可得$∠EDM=∠ADM$，又$∠BDM=∠CDM=90°$，因此$∠BDM-∠EDM=∠CDM-∠ADM$，即$∠BDE=∠ADC$。
∵点D是BC的中点，
∴$BD=CD$。
∵直线$l⊥BC$，$∠ACB=90°$，
∴$∠EBD=∠ACD=90°$。
在$△BDE$和$△CDA$中：
$\begin{cases} ∠EDB=∠ADC, \\ BD=CD, \\ ∠EBD=∠ACD=90°, \end{cases}$
∴$△BDE≌△CDA(ASA)$，
∴$BE=AC$。
（2）
∵$AC=BC$，由（1）得$BE=AC$，
∴$BE=BC$。
∵AB平分$∠EBC$，且$∠EBC=90°$，
∴$∠EBA=∠ABC=45°$。
在$△CBF$和$△EBF$中：
$\begin{cases} BC=BE, \\ ∠CBF=∠EBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴$△CBF≌△EBF(SAS)$，
∴$∠BED=∠BCF$。
由（1）中$△BDE≌△CDA$可得$∠BED=∠DAC$，因此$∠DAC=∠BCF$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠DAC+∠ADC=90°$，等量代换得$∠BCF+∠ADC=90°$。
在$△CHD$中，$∠CHD=180°-(∠BCF+∠ADC)=90°$，
∴$CF⊥AD$。
【答案】
（1）$BE=AC$得证；
（2）$CF⊥AD$得证。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合光的反射规律考查三角形全等的相关应用，解题的核心是找准对应全等三角形，通过边与角的等量转化推导所需结论，有助于提升逻辑推理能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6

11. 如图14.2 - 25，已知△ABC≌△DEF，边BC与EF，DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，OB=OE. 求证：△MOF≌△NOC.

图14.2 - 25

$\because △ABC≌△DEF$，$\therefore BC=EF$，$∠F=∠C$。$\because OB=OE$，$\therefore BC-OB=EF-OE$，即$OC=OF$。在$△MOF$和$△NOC$中，
$\begin{cases} ∠MOF=∠NOC, \\ OC=OF, \\ ∠F=∠C, \end{cases}$
$\therefore △MOF≌△NOC$（ASA）

【分析】
要证明△MOF≌△NOC，首先回顾三角形全等的判定定理，观察待证的两个三角形可得，∠MOF与∠NOC是对顶角，天然相等；接下来需要再找一组对应角相等和一组对应边相等。已知△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得到对应角∠F=∠C，对应边BC=EF；再结合已知的OB=OE，通过线段的和差运算就能推出OC=OF，至此凑齐了ASA判定全等的三个条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because △ABC≌△DEF$，
$\therefore BC=EF$，$∠F=∠C$。
$\because OB=OE$，
$\therefore BC-OB=EF-OE$，即$OC=OF$。
在$△MOF$和$△NOC$中：
$\begin{cases} ∠MOF=∠NOC, \\ OC=OF, \\ ∠F=∠C, \end{cases}$
$\therefore △MOF≌△NOC$（ASA）。
【答案】
$\because △ABC≌△DEF$，$\therefore BC=EF$，$∠F=∠C$。$\because OB=OE$，$\therefore BC-OB=EF-OE$，即$OC=OF$。在$△MOF$和$△NOC$中，
$\begin{cases} ∠MOF=∠NOC, \\ OC=OF, \\ ∠F=∠C, \end{cases}$
$\therefore △MOF≌△NOC$（ASA）
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形ASA判定；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础综合题，解题核心是从已知的全等三角形中挖掘所需的等角、等边，再通过线段和差推导得到待证全等三角形的对应边相等，结合对顶角相等即可完成证明，解题时要注意对应条件的逻辑顺序，符合判定定理的要求。
【难度系数】
0.8