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1. 下列方程变形正确的是 （
A.若 $ x + 2 = 1 $，则 $ x = 1 + 2 $
B.若 $ 2x = 6 $，则 $ x = 6 - 2 $
C.若 $ 6x = 3 $，则 $ x = 2 $
D.若 $ \frac{2}{3}x = 7 $，则 $ x = 7 ÷ ( \frac{2}{3} ) $
D
）A.若 $ x + 2 = 1 $，则 $ x = 1 + 2 $
B.若 $ 2x = 6 $，则 $ x = 6 - 2 $
C.若 $ 6x = 3 $，则 $ x = 2 $
D.若 $ \frac{2}{3}x = 7 $，则 $ x = 7 ÷ ( \frac{2}{3} ) $
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题时先明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一判断：
A选项：方程$x + 2 = 1$，要消去左边的$+2$，需两边同时减2，得$x=1-2$，选项变形错误；
B选项：方程$2x = 6$，要将$x$的系数化为1，需两边同时除以2，得$x=6÷2$，选项变形错误；
C选项：方程$6x = 3$，两边同时除以6，得$x=3÷6=\frac{1}{2}$，选项变形错误；
D选项：方程$\frac{2}{3}x = 7$，要将$x$的系数化为1，需两边同时除以$\frac{2}{3}$，得$x = 7 ÷ ( \frac{2}{3} )$，选项变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等式性质的灵活运用，解题时需注意移项要变号、系数化为1时要明确运算规则，避免出现运算方法混淆的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查等式性质的应用，解题时先明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一判断：
A选项：方程$x + 2 = 1$，要消去左边的$+2$，需两边同时减2，得$x=1-2$，选项变形错误；
B选项：方程$2x = 6$，要将$x$的系数化为1，需两边同时除以2，得$x=6÷2$，选项变形错误；
C选项：方程$6x = 3$，两边同时除以6，得$x=3÷6=\frac{1}{2}$，选项变形错误；
D选项：方程$\frac{2}{3}x = 7$，要将$x$的系数化为1，需两边同时除以$\frac{2}{3}$，得$x = 7 ÷ ( \frac{2}{3} )$，选项变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等式性质的灵活运用，解题时需注意移项要变号、系数化为1时要明确运算规则，避免出现运算方法混淆的错误。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法正确的是 （
A.在等式$ab=ac$两边除以$a$,可得$b=c$
B.在等式$a=b$两边除以$(c^2+1)$,可得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$
C.在等式$\frac{b}{a}=\frac{c}{a}$两边除以$a$,可得$b=c$
D.在等式$2x=2a-b$两边同时除以$2$,可得$x=a-b$
B
）A.在等式$ab=ac$两边除以$a$,可得$b=c$
B.在等式$a=b$两边除以$(c^2+1)$,可得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$
C.在等式$\frac{b}{a}=\frac{c}{a}$两边除以$a$,可得$b=c$
D.在等式$2x=2a-b$两边同时除以$2$,可得$x=a-b$
答案
2. B
解析
【分析】
解题的核心是熟练掌握等式的性质，特别是等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0的前提条件。解题思路为：先回顾等式性质2的内容，再逐一判断每个选项中除以的数是否可能为0、运算规则是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：若要在等式$ab=ac$两边除以$a$，需保证$a≠0$，但题中未说明$a$不为0，当$a=0$时，$b$和$c$可以为任意数，不一定相等，因此A错误。
2. 分析选项B：因为任意数的平方都是非负数，即$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，恒不为0，根据等式性质2，等式$a=b$两边同时除以不为0的$c^2+1$，可得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，因此B正确。
3. 分析选项C：等式$\frac{b}{a}=\frac{c}{a}$成立的前提是$a≠0$，要得到$b=c$，应该在等式两边同时乘$a$，若除以$a$会得到$\frac{b}{a^2}=\frac{c}{a^2}$，不符合要求，因此C错误。
4. 分析选项D：在等式$2x=2a-b$两边同时除以2时，等式每一项都要除以2，计算得$x=a-\frac{b}{2}$，而非$x=a-b$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、平方的非负性
【点评】
本题重点考查对等式性质的应用细节，需要注意使用等式两边同除一个数的性质时，必须先确认除数不为0，同时对整式进行除法运算时要避免漏除某一项的错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是熟练掌握等式的性质，特别是等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0的前提条件。解题思路为：先回顾等式性质2的内容，再逐一判断每个选项中除以的数是否可能为0、运算规则是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析选项：
1. 分析选项A：若要在等式$ab=ac$两边除以$a$，需保证$a≠0$，但题中未说明$a$不为0，当$a=0$时，$b$和$c$可以为任意数，不一定相等，因此A错误。
2. 分析选项B：因为任意数的平方都是非负数，即$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，恒不为0，根据等式性质2，等式$a=b$两边同时除以不为0的$c^2+1$，可得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，因此B正确。
3. 分析选项C：等式$\frac{b}{a}=\frac{c}{a}$成立的前提是$a≠0$，要得到$b=c$，应该在等式两边同时乘$a$，若除以$a$会得到$\frac{b}{a^2}=\frac{c}{a^2}$，不符合要求，因此C错误。
4. 分析选项D：在等式$2x=2a-b$两边同时除以2时，等式每一项都要除以2，计算得$x=a-\frac{b}{2}$，而非$x=a-b$，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、平方的非负性
【点评】
本题重点考查对等式性质的应用细节，需要注意使用等式两边同除一个数的性质时，必须先确认除数不为0，同时对整式进行除法运算时要避免漏除某一项的错误。
【难度系数】
0.7
3. 已知$x^2 - 3x - 12 = 0$，则式子$-x^2 + 3x + 5$的值是（
A.17
B.$-17$
C.7
D.$-7$
D
）A.17
B.$-17$
C.7
D.$-7$
答案
3. D
解析
【分析】
本题可利用整体代入的思想求解，无需计算未知数x的具体值。首先观察已知等式和所求代数式的结构，发现所求代数式中的$-x^2+3x$是已知等式中$x^2-3x$的相反数，因此先通过等式的性质对已知等式变形，求出$x^2-3x$的值，再将所求代数式变形后代入计算即可。
【解析】
已知$x^2 - 3x - 12 = 0$，根据等式的性质，移项可得：
$x^2 - 3x = 12$
对所求代数式$-x^2 + 3x + 5$变形，提取负号可得：
$-x^2 + 3x + 5 = -(x^2 - 3x) + 5$
将$x^2 - 3x = 12$代入上式：
原式$= -12 + 5 = -7$
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题解题的关键是观察出已知等式与所求代数式之间的内在联系，运用整体代入的方法简化计算，避免了求解高次方程的繁琐，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题可利用整体代入的思想求解，无需计算未知数x的具体值。首先观察已知等式和所求代数式的结构，发现所求代数式中的$-x^2+3x$是已知等式中$x^2-3x$的相反数，因此先通过等式的性质对已知等式变形，求出$x^2-3x$的值，再将所求代数式变形后代入计算即可。
【解析】
已知$x^2 - 3x - 12 = 0$，根据等式的性质，移项可得：
$x^2 - 3x = 12$
对所求代数式$-x^2 + 3x + 5$变形，提取负号可得：
$-x^2 + 3x + 5 = -(x^2 - 3x) + 5$
将$x^2 - 3x = 12$代入上式：
原式$= -12 + 5 = -7$
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题解题的关键是观察出已知等式与所求代数式之间的内在联系，运用整体代入的方法简化计算，避免了求解高次方程的繁琐，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.7
4.已知等式$3a=2b+5$，则下列等式中不一定成立的是 （
A.$3a -5 =2b$
B.$3a +1=2b +6$
C.$3ac=2bc +5$
D.$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$
C
）A.$3a -5 =2b$
B.$3a +1=2b +6$
C.$3ac=2bc +5$
D.$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：①等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来将原等式$3a=2b+5$按照各选项的变形要求逐一验证，判断变形是否符合等式性质，即可找出不一定成立的选项，需注意等式两边同乘一个数时，每一项都要乘，不能漏乘常数项。
【解析】
已知原等式为$3a=2b+5$，逐一分析选项：
A. 等式两边同时减去5，左边变为$3a-5$，右边变为$2b+5-5=2b$，可得$3a-5=2b$，该等式一定成立；
B. 等式两边同时加上1，左边变为$3a+1$，右边变为$2b+5+1=2b+6$，可得$3a+1=2b+6$，该等式一定成立；
C. 等式两边同时乘$c$，左边变为$3ac$，右边应为$(2b+5)c=2bc+5c$，选项中右边为$2bc+5$，仅当$c=1$时等式成立，$c≠1$时不成立，因此该等式不一定成立；
D. 等式两边同时除以3，左边变为$3a÷3=a$，右边变为$(2b+5)÷3=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，可得$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，该等式一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，易错点为等式两边同乘含字母的式子时，容易漏乘常数项，解题时要注意变形的每一步都严格符合等式性质的要求。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：①等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来将原等式$3a=2b+5$按照各选项的变形要求逐一验证，判断变形是否符合等式性质，即可找出不一定成立的选项，需注意等式两边同乘一个数时，每一项都要乘，不能漏乘常数项。
【解析】
已知原等式为$3a=2b+5$，逐一分析选项：
A. 等式两边同时减去5，左边变为$3a-5$，右边变为$2b+5-5=2b$，可得$3a-5=2b$，该等式一定成立；
B. 等式两边同时加上1，左边变为$3a+1$，右边变为$2b+5+1=2b+6$，可得$3a+1=2b+6$，该等式一定成立；
C. 等式两边同时乘$c$，左边变为$3ac$，右边应为$(2b+5)c=2bc+5c$，选项中右边为$2bc+5$，仅当$c=1$时等式成立，$c≠1$时不成立，因此该等式不一定成立；
D. 等式两边同时除以3，左边变为$3a÷3=a$，右边变为$(2b+5)÷3=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，可得$a=\frac{2}{3}b+\frac{5}{3}$，该等式一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，易错点为等式两边同乘含字母的式子时，容易漏乘常数项，解题时要注意变形的每一步都严格符合等式性质的要求。
【难度系数】
0.8
5.若在等式$24(x+3)=3(x+3)$的两边同时除以$(x+3)$就会得到$24=3$，而我们知道$24≠3$，则由此可以猜测$x+3=$
0
。答案
5. 0
解析
【分析】
首先回忆等式的性质2的核心要求：等式两边同时除以同一个数或整式时，这个除数必须不为0，才能保证等式仍然成立。本题中对等式两边同时除以$(x+3)$后得到了明显错误的$24=3$，说明我们的除法操作违反了除数不为0的前提，由此可推断出作为除数的$(x+3)$就是不能作除数的0。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
对等式$24(x+3)=3(x+3)$两边除以$(x+3)$后得到不成立的$24=3$，说明除数$(x+3)$不满足“不为0”的要求，因此$x+3=0$。
【答案】
0
【知识点】
等式的性质，0不能作除数
【点评】
本题重点考查等式性质中除法运算的限制条件，属于易错题，解题的关键是牢记等式两边同时除以整式时，必须先确认该整式不为0，否则就会出现题目中的错误结论。
【难度系数】
0.7
首先回忆等式的性质2的核心要求：等式两边同时除以同一个数或整式时，这个除数必须不为0，才能保证等式仍然成立。本题中对等式两边同时除以$(x+3)$后得到了明显错误的$24=3$，说明我们的除法操作违反了除数不为0的前提，由此可推断出作为除数的$(x+3)$就是不能作除数的0。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
对等式$24(x+3)=3(x+3)$两边除以$(x+3)$后得到不成立的$24=3$，说明除数$(x+3)$不满足“不为0”的要求，因此$x+3=0$。
【答案】
0
【知识点】
等式的性质，0不能作除数
【点评】
本题重点考查等式性质中除法运算的限制条件，属于易错题，解题的关键是牢记等式两边同时除以整式时，必须先确认该整式不为0，否则就会出现题目中的错误结论。
【难度系数】
0.7
6.将方程$x+2y=6$变形为用含$y$的式子表示$x$，那么$x=$
6-2y
。答案
6. 6-2y
解析
【分析】
本题要求用含y的式子表示x，核心思路是利用等式的性质，将含x的项单独留在等号左侧，其余项移到等号右侧。解题时只需遵循等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立的规则，对原方程进行变形即可。
【解析】
已知方程$x+2y=6$，根据等式的性质1，等式两边同时减去$2y$，等号仍然成立：
左侧化简：$x+2y-2y=x$
右侧化简：$6-2y$
因此变形可得$x=6-2y$。
【答案】
$6-2y$
【知识点】
等式的性质；方程的变形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等式性质的基础应用，熟练掌握等式变形的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题要求用含y的式子表示x，核心思路是利用等式的性质，将含x的项单独留在等号左侧，其余项移到等号右侧。解题时只需遵循等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立的规则，对原方程进行变形即可。
【解析】
已知方程$x+2y=6$，根据等式的性质1，等式两边同时减去$2y$，等号仍然成立：
左侧化简：$x+2y-2y=x$
右侧化简：$6-2y$
因此变形可得$x=6-2y$。
【答案】
$6-2y$
【知识点】
等式的性质；方程的变形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等式性质的基础应用，熟练掌握等式变形的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 我们把“如果$a=b$，那么$b=a$”称为等式的对称性.
(1) 根据等式的对称性，由$m(a+b+c)=am+bm+cm$可得到等式：
(2) 利用(1)中的结论，求$−8.57×3.14+1.81×3.14−3.24×3.14$的值.
(1) 根据等式的对称性，由$m(a+b+c)=am+bm+cm$可得到等式：
$am+bm+cm=m(a+b+c)$
；(2) 利用(1)中的结论，求$−8.57×3.14+1.81×3.14−3.24×3.14$的值.
答案
7. (1)$am+bm+cm=m(a+b+c)$ (2)$-31.4$
解析
【分析】
(1) 首先明确等式对称性的含义：等式左右两边交换位置，等式仍然成立。已知给出的等式是$m(a+b+c)=am+bm+cm$，直接交换等号左右两边的式子即可得到结果。
(2) 观察所求的算式，三个乘法项中都含有相同的因数$3.14$，刚好符合(1)中得到的等式右边的形式，因此可以逆用乘法分配律，把$3.14$提取出来，先计算剩余几个数的和差，再与$3.14$相乘，就能大大简化计算过程，避免逐个计算乘法带来的复杂运算和出错可能。
【解析】
(1) 根据等式的对称性，将等式$m(a+b+c)=am+bm+cm$的左右两边互换位置，可得：$am+bm+cm=m(a+b+c)$。
(2) 根据(1)的结论，逆用乘法分配律对算式变形计算：
$\begin{aligned}&−8.57×3.14+1.81×3.14−3.24×3.14\\=&3.14×(-8.57 + 1.81 - 3.24)\\=&3.14×[(-8.57 - 3.24) + 1.81]\\=&3.14×(-11.81 + 1.81)\\=&3.14×(-10)\\=&-31.4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{am+bm+cm=m(a+b+c)}$；(2) $\boldsymbol{-31.4}$
【知识点】
等式的性质；乘法分配律的逆用
【点评】
本题结合新定义考查等式性质的应用和简便运算技巧，第一问侧重对新定义的直接理解应用，难度较低；第二问需要主动观察算式的结构特征，合理运用规律简化运算，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.85
(1) 首先明确等式对称性的含义：等式左右两边交换位置，等式仍然成立。已知给出的等式是$m(a+b+c)=am+bm+cm$，直接交换等号左右两边的式子即可得到结果。
(2) 观察所求的算式，三个乘法项中都含有相同的因数$3.14$，刚好符合(1)中得到的等式右边的形式，因此可以逆用乘法分配律，把$3.14$提取出来，先计算剩余几个数的和差，再与$3.14$相乘，就能大大简化计算过程，避免逐个计算乘法带来的复杂运算和出错可能。
【解析】
(1) 根据等式的对称性，将等式$m(a+b+c)=am+bm+cm$的左右两边互换位置，可得：$am+bm+cm=m(a+b+c)$。
(2) 根据(1)的结论，逆用乘法分配律对算式变形计算：
$\begin{aligned}&−8.57×3.14+1.81×3.14−3.24×3.14\\=&3.14×(-8.57 + 1.81 - 3.24)\\=&3.14×[(-8.57 - 3.24) + 1.81]\\=&3.14×(-11.81 + 1.81)\\=&3.14×(-10)\\=&-31.4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{am+bm+cm=m(a+b+c)}$；(2) $\boldsymbol{-31.4}$
【知识点】
等式的性质；乘法分配律的逆用
【点评】
本题结合新定义考查等式性质的应用和简便运算技巧，第一问侧重对新定义的直接理解应用，难度较低；第二问需要主动观察算式的结构特征，合理运用规律简化运算，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.85
