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7. 不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“－”号：
$\frac{-3x+1}{-x^2+7x-2}=$
$\frac{-3x+1}{-x^2+7x-2}=$
$\frac{3x-1}{x^2-7x+2}$
。答案
7. $\frac{3x-1}{x^2-7x+2}$
解析
【分析】
解题时先明确目标：不改变分式的值，让分子、分母首项系数都为正。首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时结合分式符号规律：分子、分母、分式本身的符号，改变任意两个，分式的值不变。本题中分子首项系数为-3，分母首项系数为-1，均为负，因此可以给分子、分母整体分别提取负号，两个负号抵消后分式值不变，提取负号时注意分子、分母的每一项都要同步变号，不能只改首项符号。
【解析】
根据分式的基本性质，对分子、分母分别提取负号：
分子：$-3x + 1 = -(3x - 1)$
分母：$-x^2 + 7x - 2 = -(x^2 - 7x + 2)$
将变形后的分子、分母代入原式，负号抵消可得：
$\frac{-3x+1}{-x^2+7x-2}=\frac{-(3x-1)}{-(x^2-7x+2)}=\frac{3x-1}{x^2-7x+2}$
【答案】
$\frac{3x-1}{x^2-7x+2}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的符号变形
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心考查对分式基本性质和符号变化规则的应用，解题时需注意给分子、分母整体变号，避免出现仅改变首项符号、其余项符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确目标：不改变分式的值，让分子、分母首项系数都为正。首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时结合分式符号规律：分子、分母、分式本身的符号，改变任意两个，分式的值不变。本题中分子首项系数为-3，分母首项系数为-1，均为负，因此可以给分子、分母整体分别提取负号，两个负号抵消后分式值不变，提取负号时注意分子、分母的每一项都要同步变号，不能只改首项符号。
【解析】
根据分式的基本性质，对分子、分母分别提取负号：
分子：$-3x + 1 = -(3x - 1)$
分母：$-x^2 + 7x - 2 = -(x^2 - 7x + 2)$
将变形后的分子、分母代入原式，负号抵消可得：
$\frac{-3x+1}{-x^2+7x-2}=\frac{-(3x-1)}{-(x^2-7x+2)}=\frac{3x-1}{x^2-7x+2}$
【答案】
$\frac{3x-1}{x^2-7x+2}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的符号变形
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心考查对分式基本性质和符号变化规则的应用，解题时需注意给分子、分母整体变号，避免出现仅改变首项符号、其余项符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
8.【问题背景】
科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为$x$的盐水，然后随机抽三名同学配制好的盐水进行混合，探究混合后的盐水浓度是否改变.（盐水浓度=$\frac{盐的质量}{盐的质量+水的质量}×100\%$）
【实验操作】
这三名同学分别按要求配制好盐水后，记录所需的盐的质量和水的质量（单位：g），并填入实验数据表格.
【解决问题】
（1）若同学甲记录数据：$a=1$，$b=3$.
①请直接写出同学甲配制的盐水浓度：$x=$
②同学乙、同学丙想配制与同学甲配制的盐水浓度相同的盐水，若同学乙准备水的质量$d=4.5\ \mathrm{g}$，同学丙准备盐的质量$e=2\ \mathrm{g}$，请求出$c$和$f$的值.
最后，小组组长将同学甲、乙、丙的盐水混合后，计算混合后盐水的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的盐水混合后，浓度不变.
（2）请你用数学的知识解决问题：任意三瓶浓度一样的盐水混合后，浓度不变，即已知$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}=\frac{e}{e+f}=x$，其中$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$均为正数，求证：$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=x$.
科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为$x$的盐水，然后随机抽三名同学配制好的盐水进行混合，探究混合后的盐水浓度是否改变.（盐水浓度=$\frac{盐的质量}{盐的质量+水的质量}×100\%$）
【实验操作】
这三名同学分别按要求配制好盐水后，记录所需的盐的质量和水的质量（单位：g），并填入实验数据表格.
【解决问题】
（1）若同学甲记录数据：$a=1$，$b=3$.
①请直接写出同学甲配制的盐水浓度：$x=$
25%
.②同学乙、同学丙想配制与同学甲配制的盐水浓度相同的盐水，若同学乙准备水的质量$d=4.5\ \mathrm{g}$，同学丙准备盐的质量$e=2\ \mathrm{g}$，请求出$c$和$f$的值.
最后，小组组长将同学甲、乙、丙的盐水混合后，计算混合后盐水的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的盐水混合后，浓度不变.
（2）请你用数学的知识解决问题：任意三瓶浓度一样的盐水混合后，浓度不变，即已知$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}=\frac{e}{e+f}=x$，其中$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$均为正数，求证：$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=x$.
答案
8. （1）①25% ②依题意得，$\frac{c}{c+d}=\frac{1}{4}$，
∴当d=4.5时，$\frac{c}{c+4.5}=\frac{1}{4}$，解得c=1.5。
∵$\frac{e}{e+f}=\frac{1}{4}$，
∴当e=2时，$\frac{2}{2+f}=\frac{1}{4}$，解得f=6 （2）
∵$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}=\frac{e}{e+f}=x$，其中a，b，c，d，e，f均为正数，
∴a=(a+b)x，c=(c+d)x，e=(e+f)x，
∴a+c+e=(a+b)x+(c+d)x+(e+f)x，
∴$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=\frac{(a+b)x+(c+d)x+(e+f)x}{a+b+c+d+e+f}=x$，即$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=x$
∴当d=4.5时，$\frac{c}{c+4.5}=\frac{1}{4}$，解得c=1.5。
∵$\frac{e}{e+f}=\frac{1}{4}$，
∴当e=2时，$\frac{2}{2+f}=\frac{1}{4}$，解得f=6 （2）
∵$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}=\frac{e}{e+f}=x$，其中a，b，c，d，e，f均为正数，
∴a=(a+b)x，c=(c+d)x，e=(e+f)x，
∴a+c+e=(a+b)x+(c+d)x+(e+f)x，
∴$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=\frac{(a+b)x+(c+d)x+(e+f)x}{a+b+c+d+e+f}=x$，即$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=x$
解析
【分析】
（1）①直接利用题目给出的盐水浓度公式，将甲的盐质量a=1、水质量b=3代入计算即可得到浓度x。②已知乙、丙配制的盐水浓度与甲相同，将乙的水质量d=4.5、丙的盐质量e=2分别代入浓度公式，得到关于c和f的分式方程，解方程即可求出对应值。
（2）要证明三瓶同浓度盐水混合后浓度不变，首先根据已知的三个浓度相等的条件，将a、c、e分别用含x的式子表示，再将三个式子相加，对分子提取公因式x后，分子分母约去公共的整式，即可推导出混合后的浓度等于x。
【解析】
（1）①根据盐水浓度公式可得：
$x=\frac{a}{a+b}×100\%=\frac{1}{1+3}×100\%=25\%$
②依题意，乙、丙的盐水浓度均为$25\%=\frac{1}{4}$：
对同学乙，代入浓度公式得$\frac{c}{c+d}=\frac{1}{4}$，将$d=4.5$代入得：
$\frac{c}{c+4.5}=\frac{1}{4}$
去分母得$4c=c+4.5$，解得$c=1.5$，经检验符合题意。
对同学丙，代入浓度公式得$\frac{e}{e+f}=\frac{1}{4}$，将$e=2$代入得：
$\frac{2}{2+f}=\frac{1}{4}$
去分母得$8=2+f$，解得$f=6$，经检验符合题意。
（2）证明：
∵$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}=\frac{e}{e+f}=x$，且$a,b,c,d,e,f$均为正数，
∴$a=(a+b)x$，$c=(c+d)x$，$e=(e+f)x$，
三式相加得：$a+c+e=(a+b)x+(c+d)x+(e+f)x$，
提取公因式得：$a+c+e=(a+b+c+d+e+f)x$，
两边同时除以$a+b+c+d+e+f$得：
$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=x$，即证。
【答案】
（1）①$\boxed{25\%}$；②$\boxed{c=1.5}$，$\boxed{f=6}$；（2）证明成立，过程如上。
【知识点】
1. 浓度公式应用
2. 解分式方程
3. 分式基本性质
【点评】
本题结合科学实验场景考查分式的相关应用，将数学知识与实际问题结合，能帮助学生更好地理解分式的实际意义，解题核心是熟练掌握浓度计算公式和分式的基本变形技巧，注重基础应用。
【难度系数】
0.75
（1）①直接利用题目给出的盐水浓度公式，将甲的盐质量a=1、水质量b=3代入计算即可得到浓度x。②已知乙、丙配制的盐水浓度与甲相同，将乙的水质量d=4.5、丙的盐质量e=2分别代入浓度公式，得到关于c和f的分式方程，解方程即可求出对应值。
（2）要证明三瓶同浓度盐水混合后浓度不变，首先根据已知的三个浓度相等的条件，将a、c、e分别用含x的式子表示，再将三个式子相加，对分子提取公因式x后，分子分母约去公共的整式，即可推导出混合后的浓度等于x。
【解析】
（1）①根据盐水浓度公式可得：
$x=\frac{a}{a+b}×100\%=\frac{1}{1+3}×100\%=25\%$
②依题意，乙、丙的盐水浓度均为$25\%=\frac{1}{4}$：
对同学乙，代入浓度公式得$\frac{c}{c+d}=\frac{1}{4}$，将$d=4.5$代入得：
$\frac{c}{c+4.5}=\frac{1}{4}$
去分母得$4c=c+4.5$，解得$c=1.5$，经检验符合题意。
对同学丙，代入浓度公式得$\frac{e}{e+f}=\frac{1}{4}$，将$e=2$代入得：
$\frac{2}{2+f}=\frac{1}{4}$
去分母得$8=2+f$，解得$f=6$，经检验符合题意。
（2）证明：
∵$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}=\frac{e}{e+f}=x$，且$a,b,c,d,e,f$均为正数，
∴$a=(a+b)x$，$c=(c+d)x$，$e=(e+f)x$，
三式相加得：$a+c+e=(a+b)x+(c+d)x+(e+f)x$，
提取公因式得：$a+c+e=(a+b+c+d+e+f)x$，
两边同时除以$a+b+c+d+e+f$得：
$\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}=x$，即证。
【答案】
（1）①$\boxed{25\%}$；②$\boxed{c=1.5}$，$\boxed{f=6}$；（2）证明成立，过程如上。
【知识点】
1. 浓度公式应用
2. 解分式方程
3. 分式基本性质
【点评】
本题结合科学实验场景考查分式的相关应用，将数学知识与实际问题结合，能帮助学生更好地理解分式的实际意义，解题核心是熟练掌握浓度计算公式和分式的基本变形技巧，注重基础应用。
【难度系数】
0.75
9. 若$a≠b$，则下列分式化简正确的是（
A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$
D
）.A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$
答案
9. D
解析
【分析】
本题考查分式化简的判断，解题核心是牢记分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先明确性质的适用前提是仅对分子分母做同乘或同除不为0的整式的运算，再逐一验证四个选项是否符合该性质，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析选项：
选项A：是对分子、分母同时加2，不属于同乘或同除运算，不符合分式基本性质。举例验证：取a=1，b=2，左边$\frac{1+2}{2+2}=\frac{3}{4}$，右边$\frac{1}{2}$，两边不相等，故A错误。
选项B：是对分子、分母同时减2，不属于同乘或同除运算，不符合分式基本性质。举例验证：取a=3，b=4，左边$\frac{3-2}{4-2}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{3}{4}$，两边不相等，故B错误。
选项C：是对分子、分母分别平方，不是同乘同一个整式，不符合分式基本性质。举例验证：取a=2，b=3，左边$\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$，右边$\frac{2}{3}$，两边不相等，故C错误。
选项D：分子、分母同时除以$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}≠0$，符合要求），根据分式基本性质可得$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确掌握分式基本性质的运算要求，注意区分分式性质和等式性质的差异，不要误将分子分母同加、同减同一个数的操作认作分式化简的合法运算。
【难度系数】
0.8
本题考查分式化简的判断，解题核心是牢记分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先明确性质的适用前提是仅对分子分母做同乘或同除不为0的整式的运算，再逐一验证四个选项是否符合该性质，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析选项：
选项A：是对分子、分母同时加2，不属于同乘或同除运算，不符合分式基本性质。举例验证：取a=1，b=2，左边$\frac{1+2}{2+2}=\frac{3}{4}$，右边$\frac{1}{2}$，两边不相等，故A错误。
选项B：是对分子、分母同时减2，不属于同乘或同除运算，不符合分式基本性质。举例验证：取a=3，b=4，左边$\frac{3-2}{4-2}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{3}{4}$，两边不相等，故B错误。
选项C：是对分子、分母分别平方，不是同乘同一个整式，不符合分式基本性质。举例验证：取a=2，b=3，左边$\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$，右边$\frac{2}{3}$，两边不相等，故C错误。
选项D：分子、分母同时除以$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}≠0$，符合要求），根据分式基本性质可得$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}b}=\frac{a}{b}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确掌握分式基本性质的运算要求，注意区分分式性质和等式性质的差异，不要误将分子分母同加、同减同一个数的操作认作分式化简的合法运算。
【难度系数】
0.8
10. 分式$-\dfrac{1}{1-x}$可变形为（
A.$-\dfrac{1}{x-1}$
B.$\dfrac{1}{x-1}$
C.$-\dfrac{1}{1+x}$
D.$\dfrac{1}{1+x}$
B
）.A.$-\dfrac{1}{x-1}$
B.$\dfrac{1}{x-1}$
C.$-\dfrac{1}{1+x}$
D.$\dfrac{1}{1+x}$
答案
10. B
解析
【分析】
本题考查分式的符号变形相关知识，解题思路如下：首先观察原式分母的结构，可将分母1-x变形为-(x-1)，再根据分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身这三个位置的符号，同时改变任意两个，分式的值保持不变，对原式进行化简，最终匹配正确选项即可。
【解析】
解：先对原式的分母进行变形：
$1-x=-(x-1)$
将其代入原式可得：
$-\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{-(x-1)}$
此时分式本身的负号和分母的负号同时改变，符合分式符号不变的规则，负负抵消后得：
$-\dfrac{1}{-(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
因此原式变形结果为$\dfrac{1}{x-1}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的符号法则；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式变形的基础题型，核心是熟练掌握分式符号的变化规律，解题时要注意不要漏看分式本身的符号，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的符号变形相关知识，解题思路如下：首先观察原式分母的结构，可将分母1-x变形为-(x-1)，再根据分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身这三个位置的符号，同时改变任意两个，分式的值保持不变，对原式进行化简，最终匹配正确选项即可。
【解析】
解：先对原式的分母进行变形：
$1-x=-(x-1)$
将其代入原式可得：
$-\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{-(x-1)}$
此时分式本身的负号和分母的负号同时改变，符合分式符号不变的规则，负负抵消后得：
$-\dfrac{1}{-(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
因此原式变形结果为$\dfrac{1}{x-1}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的符号法则；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式变形的基础题型，核心是熟练掌握分式符号的变化规律，解题时要注意不要漏看分式本身的符号，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
