5.【例3】(创新意识)如图,有两个长度相等的滑梯BC与EF,滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等,试判断两个滑梯的倾斜角∠B与∠F之间的数量关系,并说明理由.

5. 解:∠B + ∠F = 90°. 理由如下:
由题意,得∠A = ∠EDF = 90°,BC = EF,AC = DF.
在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，$\begin{cases} BC = EF, \\ AC = DF, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
∴ ∠B = ∠DEF.
又
∵ ∠DEF + ∠F = 90°,
∴ ∠B + ∠F = 90°.

【分析】
要判断∠B和∠F的数量关系，首先观察图形可知△ABC和△DEF均为直角三角形，题干给出斜边BC=EF、直角边AC=DF，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此可先证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等量代换即可推出两个角的数量关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠B + ∠F = 90°}$，理由如下：
由题意得：$∠ A = ∠ EDF = 90°$，$BC = EF$，$AC = DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC = EF \\AC = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$（$\mathrm{HL}$）
∴ $∠ B = ∠ DEF$
又
∵ 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DEF + ∠ F = 90°$
∴ $∠ B + ∠ F = 90°$
【答案】
$\boldsymbol{∠B + ∠F = 90°}$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合生活中的滑梯场景命题，将实际问题转化为几何全等问题，解题的关键是准确提取题干中的边相等、角为直角的条件，证明三角形全等后通过角的等量代换得到结论，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

1. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,添加下列条件后,仍不能判断$△ CAD ≌ △ CBD$的 ()

A.$CA = CB$
B.$AD = BD$
C.$∠ A = ∠ B$
D.$CD = AD$

1. D

【分析】
已知CD⊥AB，可得△CAD和△CBD都是直角三角形，且有公共边CD、一组直角相等，即已经满足一组边相等、一组角相等的条件。解题时只需逐一分析每个选项添加的条件，结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），判断是否能证明两三角形全等，选出无法判定的选项即可。
【解析】
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°，且CD是△CAD和△CBD的公共边，即CD=CD。
选项A：添加CA=CB，在Rt△CAD和Rt△CBD中，$\{\begin{array}{l}CA=CB\\ CD=CD\end{array} $，根据HL可判定Rt△CAD≌Rt△CBD，不符合题意；
选项B：添加AD=BD，在△CAD和△CBD中，$\{\begin{array}{l}AD=BD\\ ∠ ADC=∠ BDC\\ CD=CD\end{array} $，根据SAS可判定△CAD≌△CBD，不符合题意；
选项C：添加∠A=∠B，在△CAD和△CBD中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ B\\ ∠ ADC=∠ BDC\\ CD=CD\end{array} $，根据AAS可判定△CAD≌△CBD，不符合题意；
选项D：添加CD=AD，仅能证明△CAD是等腰直角三角形，无法得到△CBD与△CAD对应边或对应角相等的关系，不能判定两三角形全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是对全等三角形判定定理的灵活运用，解题时要先梳理已知的相等边和相等角，再结合添加的条件逐一验证，避免混淆判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.7

2. (人教八上$\mathrm{P}_{45}$习题$\mathrm{T}_{12}$改编)如图,小明和小芳以相同的速度分别从点$A,B$同时出发,小明沿$AC$行走,小芳沿$BD$行走,并同时到达点$C,D$.若$CB ⊥ AB$,$DA ⊥ AB$,则$CB$与$DA$相等吗?为什么?

2. 解:相等. 理由:
由题意易知 $AC = BD$.
$\because CB ⊥ AB,DA ⊥ AB,\therefore ∠ DAB = ∠ CBA = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ DAB$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中, $\begin{cases} BD = AC, \\ AB = BA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DAB ≌ \mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL}). \therefore DA = CB$.

【分析】
解题时先从题干给出的行程条件推导：两人速度相同、同时出发且同时到达，因此行走的路程相等，即$AC=BD$；再结合图形中的垂直条件，可知$△ DAB$和$△ CBA$均为直角三角形，且两个三角形共享公共边$AB$，因此可通过HL定理证明两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质，即可判断$CB$和$DA$的数量关系。
【解析】
解：$CB$与$DA$相等，理由如下：
由题意可知，小明和小芳的行走速度相同、同时出发且同时到达，因此两人的行走路程相等，即$AC=BD$。
$\because CB⊥ AB$，$DA⊥ AB$，
$\therefore ∠ DAB=∠ CBA=90°$，即$△ DAB$和$△ CBA$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ DAB$和$\mathrm{Rt}△ CBA$中：
$\begin{cases} BD = AC \\AB = BA \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DAB ≌ \mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL})$
根据全等三角形对应边相等，可得$DA=CB$。
【答案】
$CB$与$DA$相等。理由：由题意易知 $AC = BD$，$\because CB ⊥ AB,DA ⊥ AB,\therefore ∠ DAB = ∠ CBA = 90°$，在 $\mathrm{Rt}△ DAB$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中, $\begin{cases} BD = AC, \\ AB = BA, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ DAB ≌ \mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL})$，$\therefore DA = CB$。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题结合行程等量关系考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是先由行程条件得到直角三角形的斜边相等，再结合公共边利用HL证明三角形全等，进而得到对应边的等量关系，属于全等判定的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,$AC = BC$,直线$l$经过顶点$C$,过$A,B$两点分别作$l$的垂线$AE,BF$,垂足分别为$E,F$,$AE = CF$.
(1)求证:$∠ EAC = ∠ FCB$;
(2)试判断$AE,EF,BF$之间的数量关系,并说明理由.

3. (1)证明:$\because AE ⊥ l,BF ⊥ l,\therefore ∠ AEC = ∠ CFB = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBF$ 中, $\begin{cases} AC = CB, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF(\mathrm{HL}). \therefore ∠ EAC = ∠ FCB$.
(2)解:$AE + BF = EF$. 理由如下:
由(1)知 $\mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF. \therefore CE = BF$.
又$\because AE = CF,\therefore EF = CE + CF = BF + AE$,即 $AE + BF = EF$.

【分析】
(1) 要证明∠EAC=∠FCB，首先观察两个角所属的三角形：已知AE、BF均垂直于直线l，可得△ACE和△CBF都是直角三角形，题目给出AC=BC、AE=CF，满足直角三角形全等的HL判定条件，先证两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要判断AE、EF、BF的数量关系，由(1)的全等结论可推出对应边CE=BF，结合已知AE=CF，观察线段EF的构成：EF=CE+CF，将CE、CF分别替换为BF、AE，即可推导出三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：$\because AE ⊥ l,BF ⊥ l,\therefore ∠ AEC = ∠ CFB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ CBF$中，$\begin{cases} AC = CB, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ FCB$。
(2) 解：$AE+BF=EF$，理由如下：
由(1)知$\mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ CBF$，$\therefore CE = BF$，
又$\because AE = CF$，$\therefore EF = CE + CF = BF + AE$，即$AE + BF = EF$。
【答案】
(1) $∠ EAC = ∠ FCB$，证明成立；
(2) $AE+BF=EF$
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，垂线的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是结合垂直条件找到待证全等的直角三角形，借助全等的性质推导角相等和线段关系，熟练掌握HL判定定理和全等三角形的对应边、对应角相等的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

4. (分类讨论)如图，$∠ C = ∠ CAM = 90°$，$AC = 8\ \mathrm{cm}$，$BC = 4\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$出发，沿$AC$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动，到点$C$时停止运动；点$Q$在射线$AM$上，且$PQ = AB$. 当点$P$的运动时间为$\mathrm{s}$时，$△ ABC$和$△ PQA$全等.

4. 2 或 4

【分析】
本题是动点与全等三角形的综合题，解题思路如下：首先∠C和∠CAM都是90°，说明△ABC和△PQA都是直角三角形，已知斜边AB=PQ，根据HL全等判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。设点P的运动时间为t s，可表示出AP=2t cm，且t的取值范围为0≤t≤4。接下来分类讨论直角边的对应关系：一是AP与BC对应相等，二是AP与AC对应相等，分别列方程求解后验证结果是否在取值范围内即可。
【解析】
解：设点P的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AP=2t\ \mathrm{cm}$。
点P从A到C的总运动时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，因此$0≤ t≤4$。
已知$∠ C=∠ PAQ=90°$，故$△ ABC$和$△ PQA$均为直角三角形，又$PQ=AB$，分两种情况讨论：
① 当$AP=BC$时，$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ PQA(\mathrm{HL})$，
代入$BC=4\ \mathrm{cm}$得：$2t=4$，解得$t=2$，符合取值范围；
② 当$AP=AC$时，$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ QPA(\mathrm{HL})$，
代入$AC=8\ \mathrm{cm}$得：$2t=8$，解得$t=4$，符合取值范围。
综上，点P的运动时间为2或4s。
【答案】
2或4
【知识点】
1. 直角三角形全等的HL判定
2. 分类讨论思想
3. 动点问题求解
【点评】
解题时需注意全等三角形对应边的多种可能性，结合动点的运动范围验证解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.6