1.【例1】如图，已知BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，且BE = CD. 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.

1. 证明:
∵ BD,CE 都是△ABC 的高，
∴ ∠BEC = ∠CDB = 90°.
在Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，$\begin{cases} BC = CB, \\ BE = CD, \end{cases}$
∴ Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).

【分析】
要证明两个直角三角形全等，首先需判定两个三角形为直角三角形：由BD、CE是△ABC的高，可得∠BEC和∠CDB均为90°，即△BEC、△CDB都是直角三角形。再找全等所需的条件：题目已知直角边BE=CD，且两个三角形有公共斜边BC=CB，符合直角三角形全等的HL判定条件，即可证得两三角形全等。
【解析】
证明：
∵ BD，CE都是△ABC的高，
∴ ∠BEC = ∠CDB = 90°。
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
$\begin{cases} BC = CB, \\ BE = CD, \end{cases}$
∴ Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）。
【答案】
证明:
∵ BD,CE 都是△ABC 的高，
∴ ∠BEC = ∠CDB = 90°.
在Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，$\begin{cases} BC = CB, \\ BE = CD, \end{cases}$
∴ Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
【知识点】
HL判定定理；三角形的高；公共边应用
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础题型，解题关键是先利用高的性质得到直角三角形，再挖掘公共边这一隐含条件，结合已知的直角边相等条件即可完成证明，注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.9

3.【例2】如图，∠A = ∠D = 90°, AB = DE, BF = EC. 求证: Rt△ABC≌Rt△DEF.

3. 证明:
∵ BF = EC，
∴ BF + FC = EC + FC,即 BC = EF.
由题意得∠A = ∠D = 90°.
在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，$\begin{cases} AB = DE, \\ BC = EF, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).

【分析】
要证明两个直角三角形全等，优先考虑HL判定定理，该定理需要一组直角边相等、一组斜边相等两个条件。题目已给出直角边AB=DE，因此需要先推导斜边BC=EF：已知BF=EC，在两条线段上同时加上公共部分FC，即可得到BC=EF，满足HL的判定条件，进而可证明两个直角三角形全等。
【解析】
证明：
∵ BF = EC，
∴ BF + FC = EC + FC，即 BC = EF。
由题意得∠A = ∠D = 90°，即△ABC和△DEF均为直角三角形。
在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
$\begin{cases} AB = DE \\ BC = EF \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
【答案】
证明过程见上述解析，可证得Rt△ABC≌Rt△DEF。
【知识点】
1. HL判定定理
2. 线段和差运算
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础题，解题核心是通过线段和差得到相等的斜边，需要注意HL判定定理仅适用于直角三角形的全等证明。
【难度系数】
0.85

2. 如图，AB ⊥ BC，AD ⊥ DC，AB = AD. 求证：∠1 = ∠2.

2. 证明:
∵ AB ⊥ BC,AD ⊥ DC,
∴ ∠B = ∠D = 90°.
在Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，$\begin{cases} AC = AC, \\ AB = AD, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).
∴ ∠1 = ∠2.

【分析】
要证明∠1=∠2，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知∠1、∠2分别在Rt△ABC和Rt△ADC中，已知两个三角形均为直角三角形，且给出了一组直角边相等，还有公共斜边AC，可先用HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠B = ∠D = 90°，△ABC和△ADC均为直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
$\begin{cases} AC = AC \quad (\mathrm{公共边}) \\ AB = AD \quad (\mathrm{已知}) \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。
根据全等三角形对应角相等，可得∠1=∠2。
【答案】
证明:
∵ AB ⊥ BC,AD ⊥ DC,
∴ ∠B = ∠D = 90°.
在Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，$\begin{cases} AC = AC, \\ AB = AD, \end{cases}$
∴ Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).
∴ ∠1 = ∠2.
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是准确识别直角三角形的公共斜边和相等直角边，运用HL定理判定全等后即可得到对应角相等，重在考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.9

4. 如图，$CE ⊥ AB$，$DF ⊥ AB$，$AC = BD$，$CE = DF$. 求证:$AC // BD$.

4. 证明:
∵ CE ⊥ AB,DF ⊥ AB,
∴ ∠CEA = ∠DFB = 90°.
又
∵ AC = BD,CE = DF,
∴ Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),
∴ ∠A = ∠B,
∴ AC//BD.

【分析】
要证明$AC// BD$，根据平行线的判定规则，只需证内错角$∠ A=∠ B$即可。观察图形可知$∠ A$、$∠ B$分别属于$Rt△ ACE$和$Rt△ BDF$，已知$CE⊥ AB$、$DF⊥ AB$，说明两个三角形均为直角三角形，结合题目给出的斜边$AC=BD$、直角边$CE=DF$的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到$∠ A=∠ B$，最终推导出$AC// BD$。
【解析】
证明：
$\because CE⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
$\therefore ∠ CEA=∠ DFB=90°$，即$△ ACE$和$△ BDF$均为直角三角形。
在$Rt△ ACE$和$Rt△ BDF$中：
$\begin{cases}AC=BD \\CE=DF\end{cases}$
$\therefore Rt△ ACE≌ Rt△ BDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore AC// BD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程如下：
$\because CE⊥ AB,DF⊥ AB,$
$\therefore ∠ CEA = ∠ DFB = 90°.$
又$\because AC = BD,CE = DF,$
$\therefore Rt△ ACE≌ Rt△ BDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ A = ∠ B,$
$\therefore AC// BD.$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定结合的基础题，解题的核心是将证明平行的问题转化为证明对应角相等的问题，再结合已知条件选择合适的全等判定定理推导角的关系，需注意使用HL定理前要先明确所证三角形是直角三角形。
【难度系数】
0.8