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课前预习
1.等腰三角形的定义
有相等的三角形是等腰三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“”).
(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“”).
3.等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的是它的对称轴.
1.等腰三角形的定义
有相等的三角形是等腰三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“”).
(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“”).
3.等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的是它的对称轴.
答案
解：
1. 两边
2. (1) 等边对等角
(2) 三线合一
3. 轴对称；直线
1. 两边
2. (1) 等边对等角
(2) 三线合一
3. 轴对称；直线
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的基础定义、性质及轴对称性，全部为教材原文识记类考点，解题时只需回忆对应课本概念逐一匹配填空即可：首先回忆等腰三角形的定义填第一空；再回忆等腰三角形两个性质的简称填第二部分的两个空；最后结合轴对称图形的定义填写第三部分的内容，注意区分对称轴是直线而非线段。
【解析】
1. 根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，因此第一空填“两边”。
2. (1) 等腰三角形的两个底角相等，可简记为“等边对等角”，即相等的边所对的角相等，因此该空填“等边对等角”；
(2) 等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，可简记为“三线合一”，因此该空填“三线合一”。
3. 根据轴对称图形的定义，等腰三角形沿底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合，因此等腰三角形是轴对称图形，对称轴是这条三线所在的直线，因此两空依次填“轴对称”“直线”。
【答案】
1. 两边
2. (1) 等边对等角
(2) 三线合一
3. 轴对称；直线
【知识点】
等腰三角形的定义；等腰三角形的性质；等腰三角形的轴对称性
【点评】
本题属于基础概念识记题，是等腰三角形相关内容的入门考点，内容均为教材核心基础概念，熟练掌握这些知识点是后续解决等腰三角形计算、证明类题型的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的基础定义、性质及轴对称性，全部为教材原文识记类考点，解题时只需回忆对应课本概念逐一匹配填空即可：首先回忆等腰三角形的定义填第一空；再回忆等腰三角形两个性质的简称填第二部分的两个空；最后结合轴对称图形的定义填写第三部分的内容，注意区分对称轴是直线而非线段。
【解析】
1. 根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，因此第一空填“两边”。
2. (1) 等腰三角形的两个底角相等，可简记为“等边对等角”，即相等的边所对的角相等，因此该空填“等边对等角”；
(2) 等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，可简记为“三线合一”，因此该空填“三线合一”。
3. 根据轴对称图形的定义，等腰三角形沿底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合，因此等腰三角形是轴对称图形，对称轴是这条三线所在的直线，因此两空依次填“轴对称”“直线”。
【答案】
1. 两边
2. (1) 等边对等角
(2) 三线合一
3. 轴对称；直线
【知识点】
等腰三角形的定义；等腰三角形的性质；等腰三角形的轴对称性
【点评】
本题属于基础概念识记题，是等腰三角形相关内容的入门考点，内容均为教材核心基础概念，熟练掌握这些知识点是后续解决等腰三角形计算、证明类题型的前提。
【难度系数】
0.9
【例1】如图,已知$AB=AC=AD$,且$AD// BC$. 求证:$∠ C=2∠ D$.
易错警示
运用“等边对等角”要注意的问题
(1)利用“等边对等角”的前提是在同一个等腰三角形中；
(2)利用“等边对等角”是证明角相等的常用方法；
(3)求角的度数常用方程思想求解；
(4)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角,而底角只能是锐角.
易错警示
运用“等边对等角”要注意的问题
(1)利用“等边对等角”的前提是在同一个等腰三角形中；
(2)利用“等边对等角”是证明角相等的常用方法；
(3)求角的度数常用方程思想求解；
(4)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角,而底角只能是锐角.
答案
证明：
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D（等边对等角）。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又∵ AB = AC，
∴ ∠C = ∠ABC（等边对等角）。
∴ ∠C = 2∠D。
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D（等边对等角）。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又∵ AB = AC，
∴ ∠C = ∠ABC（等边对等角）。
∴ ∠C = 2∠D。
解析
【分析】
要证明∠C=2∠D，可按以下思路推导：首先根据已知的相等边，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，将边的相等关系转化为角的相等关系；再结合AD//BC的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，得到∠D和∠DBC相等；接着将∠ABC拆分为∠ABD与∠DBC的和，通过等量代换得到∠ABC=2∠D；最后再利用AB=AC推出∠C=∠ABC，等量代换即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D（等边对等角）。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又
∵ AB = AC，
∴ ∠C = ∠ABC（等边对等角）。
∴ ∠C = 2∠D。
【答案】
∠C=2∠D
【知识点】
等边对等角；平行线的性质；等量代换
【点评】
这道题属于基础几何证明题，是巩固等腰三角形性质的典型习题，解题关键是熟练掌握等腰三角形和平行线的相关性质，准确梳理角之间的等量关系，推导时要注意“等边对等角”的适用前提是在同一个等腰三角形中。
【难度系数】
0.7
要证明∠C=2∠D，可按以下思路推导：首先根据已知的相等边，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，将边的相等关系转化为角的相等关系；再结合AD//BC的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，得到∠D和∠DBC相等；接着将∠ABC拆分为∠ABD与∠DBC的和，通过等量代换得到∠ABC=2∠D；最后再利用AB=AC推出∠C=∠ABC，等量代换即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
∵ AB = AD，
∴ ∠ABD = ∠D（等边对等角）。
∵ AD // BC，
∴ ∠D = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠D + ∠D = 2∠D。
又
∵ AB = AC，
∴ ∠C = ∠ABC（等边对等角）。
∴ ∠C = 2∠D。
【答案】
∠C=2∠D
【知识点】
等边对等角；平行线的性质；等量代换
【点评】
这道题属于基础几何证明题，是巩固等腰三角形性质的典型习题，解题关键是熟练掌握等腰三角形和平行线的相关性质，准确梳理角之间的等量关系，推导时要注意“等边对等角”的适用前提是在同一个等腰三角形中。
【难度系数】
0.7
【变式1】如图，直线$l_1 // l_2$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角顶点B在直线$l_2$上，AC，BC分别交直线$l_1$于点D，E。若$∠ C = 38°$，$DE = CE$，则$∠ 1$的度数是（）。
A.$14°$
B.$16°$
C.$18°$
D.$24°$
A.$14°$
B.$16°$
C.$18°$
D.$24°$
答案
A
解析
【分析】
解题可按三步思考：①首先由已知DE=CE，判定△DEC为等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到两个底角∠EDC=∠C=38°，再结合三角形内角和定理算出顶角∠DEC的度数；②已知直线l₁//l₂，BC是两条平行线的截线，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠DEC与直线l₂上B点右侧的∠EBl₂度数相等；③最后结合Rt△ABC的直角∠ABC=90°，可知∠1的度数为∠EBl₂减去∠ABC的度数，即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE = CE，
∴△DEC是等腰三角形，∠EDC = ∠C = 38°。
根据三角形内角和为180°，在△DEC中：
∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠C = 180° - 38°×2 = 104°。
∵l₁//l₂，BC为两直线的截线，
∴∠DEC = ∠EBl₂ = 104°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵Rt△ABC的直角顶点B在l₂上，即∠ABC=90°，
∴∠1 = ∠EBl₂ - ∠ABC = 104° - 90° = 14°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形、平行线、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是准确找到相等的角，理清角之间的和差关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：①首先由已知DE=CE，判定△DEC为等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到两个底角∠EDC=∠C=38°，再结合三角形内角和定理算出顶角∠DEC的度数；②已知直线l₁//l₂，BC是两条平行线的截线，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠DEC与直线l₂上B点右侧的∠EBl₂度数相等；③最后结合Rt△ABC的直角∠ABC=90°，可知∠1的度数为∠EBl₂减去∠ABC的度数，即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE = CE，
∴△DEC是等腰三角形，∠EDC = ∠C = 38°。
根据三角形内角和为180°，在△DEC中：
∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠C = 180° - 38°×2 = 104°。
∵l₁//l₂，BC为两直线的截线，
∴∠DEC = ∠EBl₂ = 104°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵Rt△ABC的直角顶点B在l₂上，即∠ABC=90°，
∴∠1 = ∠EBl₂ - ∠ABC = 104° - 90° = 14°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形、平行线、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是准确找到相等的角，理清角之间的和差关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,AD是边BC上的高.线段AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点F,连接BE.
(1)∠BAD的度数为;∠ABC的度数为;∠ACB的度数为.
(2)试问:线段AE与BE的长度相等吗?请说明理由.
(3)求∠EBD的度数.
(1)∠BAD的度数为;∠ABC的度数为;∠ACB的度数为.
(2)试问:线段AE与BE的长度相等吗?请说明理由.
(3)求∠EBD的度数.
答案
解：
(1) ∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=40°
∴ AD平分∠BAC，∠ABC=∠ACB
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 20°
∠ABC=∠ACB = $\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°
答案依次为：$\boldsymbol{20°}$；$\boldsymbol{70°}$；$\boldsymbol{70°}$。
(2) AE与BE的长度相等，理由如下：
∵ AB=AC，AD⊥BC
∴ AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的高垂直平分底边）
∴ BE=CE
∵ EF是AC的垂直平分线
∴ AE=CE
∴ AE=BE
(3) 由(2)知AE=BE，
∴ ∠ABE=∠BAD=20°
∵ ∠ABC=70°
∴ ∠EBD=∠ABC - ∠ABE =70°-20°=50°
即∠EBD的度数为$50°$。
(1) ∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=40°
∴ AD平分∠BAC，∠ABC=∠ACB
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 20°
∠ABC=∠ACB = $\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°
答案依次为：$\boldsymbol{20°}$；$\boldsymbol{70°}$；$\boldsymbol{70°}$。
(2) AE与BE的长度相等，理由如下：
∵ AB=AC，AD⊥BC
∴ AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的高垂直平分底边）
∴ BE=CE
∵ EF是AC的垂直平分线
∴ AE=CE
∴ AE=BE
(3) 由(2)知AE=BE，
∴ ∠ABE=∠BAD=20°
∵ ∠ABC=70°
∴ ∠EBD=∠ABC - ∠ABE =70°-20°=50°
即∠EBD的度数为$50°$。
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形和线段垂直平分线的性质展开解题：
(1) 已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，AD是底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分顶角∠BAC，且等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，即可分别计算三个角的度数；
(2) 要判断AE和BE是否相等，可借助中间量CE转化：先由等腰三角形三线合一得AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE，再由EF是AC的垂直平分线得AE=CE，通过等量代换即可证明AE=BE；
(3) 由AE=BE结合等边对等角的性质，可得∠ABE=∠BAD，结合第一问求出的∠ABC的度数，作差即可求出∠EBD的度数。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=40°
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高与顶角平分线重合），∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×40°=20°$
根据三角形内角和为180°，$∠ ABC=∠ ACB = \frac{1}{2}×(180°-∠ BAC) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$
(2) AE与BE的长度相等，理由如下：
∵ AB=AC，AD⊥BC
∴ AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的高垂直平分底边）
∵ 点E在AD上
∴ BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵ EF是AC的垂直平分线，点E在EF上
∴ AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ AE=BE（等量代换）
(3) 由(2)可知AE=BE
∴ ∠ABE=∠BAD=20°（等边对等角）
∵ 由(1)得∠ABC=70°
∴ $∠ EBD=∠ ABC - ∠ ABE =70°-20°=50°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；$\boldsymbol{70°}$；$\boldsymbol{70°}$
(2) 相等，理由见解析
(3) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查等腰三角形“三线合一”、等边对等角以及线段垂直平分线的性质，解题时注意通过中间量转化线段关系，结合角度的和差计算即可求解，是巩固几何基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题围绕等腰三角形和线段垂直平分线的性质展开解题：
(1) 已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，AD是底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD平分顶角∠BAC，且等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，即可分别计算三个角的度数；
(2) 要判断AE和BE是否相等，可借助中间量CE转化：先由等腰三角形三线合一得AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE，再由EF是AC的垂直平分线得AE=CE，通过等量代换即可证明AE=BE；
(3) 由AE=BE结合等边对等角的性质，可得∠ABE=∠BAD，结合第一问求出的∠ABC的度数，作差即可求出∠EBD的度数。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=40°
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高与顶角平分线重合），∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×40°=20°$
根据三角形内角和为180°，$∠ ABC=∠ ACB = \frac{1}{2}×(180°-∠ BAC) = \frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$
(2) AE与BE的长度相等，理由如下：
∵ AB=AC，AD⊥BC
∴ AD垂直平分BC（等腰三角形底边上的高垂直平分底边）
∵ 点E在AD上
∴ BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵ EF是AC的垂直平分线，点E在EF上
∴ AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ AE=BE（等量代换）
(3) 由(2)可知AE=BE
∴ ∠ABE=∠BAD=20°（等边对等角）
∵ 由(1)得∠ABC=70°
∴ $∠ EBD=∠ ABC - ∠ ABE =70°-20°=50°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；$\boldsymbol{70°}$；$\boldsymbol{70°}$
(2) 相等，理由见解析
(3) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查等腰三角形“三线合一”、等边对等角以及线段垂直平分线的性质，解题时注意通过中间量转化线段关系，结合角度的和差计算即可求解，是巩固几何基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
