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三、解答题
11. 已知点$A(2a-b,2+b)$，点$B(2b-1,2a-b)$.
(1)若点$A,B$关于$x$轴对称,求$a,b$的值;
(2)若点$A,B$关于$y$轴对称,求$(a-b)^{2026}$的值.
11. 已知点$A(2a-b,2+b)$，点$B(2b-1,2a-b)$.
(1)若点$A,B$关于$x$轴对称,求$a,b$的值;
(2)若点$A,B$关于$y$轴对称,求$(a-b)^{2026}$的值.
答案
解：
(1) ∵点A，B关于x轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = 2b - 1 \\2 + b = -(2a - b)\end{cases}$
化简第二个方程得$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$2a - b = 2b - 1$，得$-2 - b = 2b - 1$，
解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a=-1$，$b=-\frac{1}{3}$。
(2) ∵点A，B关于y轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1) \\2 + b = 2a - b\end{cases}$
整理得$\begin{cases}2a + b = 1 \\a - b = 1\end{cases}$
两式相加得$3a=2$，解得$a=\frac{2}{3}$，
将$a=\frac{2}{3}$代入$a - b = 1$，得$\frac{2}{3} - b = 1$，解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a - b = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = 1$，
∴$(a - b)^{2026} = 1^{2026} = 1$。
(1) ∵点A，B关于x轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = 2b - 1 \\2 + b = -(2a - b)\end{cases}$
化简第二个方程得$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$2a - b = 2b - 1$，得$-2 - b = 2b - 1$，
解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a=-1$，$b=-\frac{1}{3}$。
(2) ∵点A，B关于y轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1) \\2 + b = 2a - b\end{cases}$
整理得$\begin{cases}2a + b = 1 \\a - b = 1\end{cases}$
两式相加得$3a=2$，解得$a=\frac{2}{3}$，
将$a=\frac{2}{3}$代入$a - b = 1$，得$\frac{2}{3} - b = 1$，解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a - b = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = 1$，
∴$(a - b)^{2026} = 1^{2026} = 1$。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的轴对称性质，解题思路如下：
(1) 若两点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得a、b的值；
(2) 若两点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b后代入$(a-b)^{2026}$计算即可，注意1的任何次幂都为1。
【解析】
(1)
∵点A，B关于x轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = 2b - 1 \\2 + b = -(2a - b)\end{cases}$
化简第二个方程得$2 + b = -2a + b$，即$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$2a - b = 2b - 1$，得$-2 - b = 2b - 1$，
移项合并同类项得$-3b=1$，解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a=-1$，$b=-\frac{1}{3}$。
(2)
∵点A，B关于y轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1) \\2 + b = 2a - b\end{cases}$
整理得$\begin{cases}2a + b = 1 ①\\a - b = 1 ②\end{cases}$
①+②得$3a=2$，解得$a=\frac{2}{3}$，
将$a=\frac{2}{3}$代入②，得$\frac{2}{3} - b = 1$，解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a - b = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = 1$，
∴$(a - b)^{2026} = 1^{2026} = 1$。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-\dfrac{1}{3}$；(2) $1$
【知识点】
轴对称点的坐标特征，二元一次方程组的解法，有理数的乘方
【点评】
本题核心是牢记关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，通过建立方程组求解参数，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中点的轴对称性质，解题思路如下：
(1) 若两点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得a、b的值；
(2) 若两点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b后代入$(a-b)^{2026}$计算即可，注意1的任何次幂都为1。
【解析】
(1)
∵点A，B关于x轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = 2b - 1 \\2 + b = -(2a - b)\end{cases}$
化简第二个方程得$2 + b = -2a + b$，即$2a=-2$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$2a - b = 2b - 1$，得$-2 - b = 2b - 1$，
移项合并同类项得$-3b=1$，解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a=-1$，$b=-\frac{1}{3}$。
(2)
∵点A，B关于y轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1) \\2 + b = 2a - b\end{cases}$
整理得$\begin{cases}2a + b = 1 ①\\a - b = 1 ②\end{cases}$
①+②得$3a=2$，解得$a=\frac{2}{3}$，
将$a=\frac{2}{3}$代入②，得$\frac{2}{3} - b = 1$，解得$b=-\frac{1}{3}$。
∴$a - b = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = 1$，
∴$(a - b)^{2026} = 1^{2026} = 1$。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-\dfrac{1}{3}$；(2) $1$
【知识点】
轴对称点的坐标特征，二元一次方程组的解法，有理数的乘方
【点评】
本题核心是牢记关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，通过建立方程组求解参数，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,AC的垂直平分线交DC于点E,且$BD=DE$.求证:$AB+BD=DC$. 
答案
证明：
∵ AD是边BC上的高，
∴ AD⊥BE。
又∵ BD = DE，
∴ AD垂直平分线段BE，
∴ AB = AE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = EC，
∴ AB = EC。
∵ DC = DE + EC，且BD = DE，
∴ DC = BD + AB，
即$AB+BD=DC$。
∵ AD是边BC上的高，
∴ AD⊥BE。
又∵ BD = DE，
∴ AD垂直平分线段BE，
∴ AB = AE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = EC，
∴ AB = EC。
∵ DC = DE + EC，且BD = DE，
∴ DC = BD + AB，
即$AB+BD=DC$。
解析
【分析】
要证明$AB+BD=DC$，观察图形可知$DC=DE+EC$，因此只需推导出$AB=EC$，结合已知$BD=DE$即可完成证明：首先由AD是BC边上的高、$BD=DE$，可判定AD垂直平分BE，根据垂直平分线性质可得$AB=AE$；再根据E在AC的垂直平分线上，可得$AE=EC$，通过等量代换得到$AB=EC$，最后代入DC的线段和表达式即可得证。
【解析】
证明：
∵ AD是边BC上的高，
∴ $AD⊥BE$。
又
∵ $BD = DE$，
∴ AD垂直平分线段BE，
∴ $AB = AE$。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ $AE = EC$，
∴ $AB = EC$。
∵ $DC = DE + EC$，且$BD = DE$，
∴ $DC = BD + AB$，
即$AB+BD=DC$。
【答案】
$AB+BD=DC$，证明过程如上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题时通过线段垂直平分线的性质完成相等线段的转换，将待证等式中的线段转化为同一直线上的线段和即可快速求证。
【难度系数】
0.8
要证明$AB+BD=DC$，观察图形可知$DC=DE+EC$，因此只需推导出$AB=EC$，结合已知$BD=DE$即可完成证明：首先由AD是BC边上的高、$BD=DE$，可判定AD垂直平分BE，根据垂直平分线性质可得$AB=AE$；再根据E在AC的垂直平分线上，可得$AE=EC$，通过等量代换得到$AB=EC$，最后代入DC的线段和表达式即可得证。
【解析】
证明：
∵ AD是边BC上的高，
∴ $AD⊥BE$。
又
∵ $BD = DE$，
∴ AD垂直平分线段BE，
∴ $AB = AE$。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ $AE = EC$，
∴ $AB = EC$。
∵ $DC = DE + EC$，且$BD = DE$，
∴ $DC = BD + AB$，
即$AB+BD=DC$。
【答案】
$AB+BD=DC$，证明过程如上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题时通过线段垂直平分线的性质完成相等线段的转换，将待证等式中的线段转化为同一直线上的线段和即可快速求证。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=60°$.
(1)作$∠ ABC$的平分线$BE$，边$BC$的垂直平分线$MN$，$BE$与$MN$相交于点$P$；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接$PC$，求$∠ PCB$的度数.
(1)作$∠ ABC$的平分线$BE$，边$BC$的垂直平分线$MN$，$BE$与$MN$相交于点$P$；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接$PC$，求$∠ PCB$的度数.
答案
解：
(1) 按尺规作图要求作出∠ABC的平分线BE、BC的垂直平分线MN，标出交点P，保留作图痕迹，作图结果符合要求即可。
(2) ∵ BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ PB = PC，
∴ ∠PCB = ∠PBC = 30°。
(1) 按尺规作图要求作出∠ABC的平分线BE、BC的垂直平分线MN，标出交点P，保留作图痕迹，作图结果符合要求即可。
(2) ∵ BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ PB = PC，
∴ ∠PCB = ∠PBC = 30°。
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作图题，需分别按照角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法操作，依次作出∠ABC的平分线BE、BC的垂直平分线MN，标出二者交点P即可，注意保留作图痕迹。
(2) 第二问求角度：首先根据角平分线的定义，结合已知∠ABC的度数算出∠PBC的度数；再根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，最后利用等边对等角的性质，即可推出∠PCB与∠PBC相等，得到所求角度。
【解析】
(1) 按照尺规作图规范，先作∠ABC的平分线BE，再作BC的垂直平分线MN，标记两条线的交点为P，保留作图痕迹即可。
(2) 求解∠PCB的度数：
∵ BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵ MN是BC的垂直平分线，点P在MN上，
∴ PB = PC，
∴ ∠PCB = ∠PBC = 30°。
【答案】
(1) 尺规作图痕迹符合要求即可；
(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
尺规作图、角平分线定义、线段垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础几何题，将尺规作图与几何性质推理结合考查，既要求掌握基本的尺规作图方法，也要求能熟练运用角平分线、线段垂直平分线的相关性质进行简单的角度推导，考查内容偏向基础。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为尺规作图题，需分别按照角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法操作，依次作出∠ABC的平分线BE、BC的垂直平分线MN，标出二者交点P即可，注意保留作图痕迹。
(2) 第二问求角度：首先根据角平分线的定义，结合已知∠ABC的度数算出∠PBC的度数；再根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，最后利用等边对等角的性质，即可推出∠PCB与∠PBC相等，得到所求角度。
【解析】
(1) 按照尺规作图规范，先作∠ABC的平分线BE，再作BC的垂直平分线MN，标记两条线的交点为P，保留作图痕迹即可。
(2) 求解∠PCB的度数：
∵ BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵ MN是BC的垂直平分线，点P在MN上，
∴ PB = PC，
∴ ∠PCB = ∠PBC = 30°。
【答案】
(1) 尺规作图痕迹符合要求即可；
(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
尺规作图、角平分线定义、线段垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础几何题，将尺规作图与几何性质推理结合考查，既要求掌握基本的尺规作图方法，也要求能熟练运用角平分线、线段垂直平分线的相关性质进行简单的角度推导，考查内容偏向基础。
【难度系数】
0.8
14. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-4,1),B(-2,4),C(-1,2),P(m+4, -5m-6)$,$PB$平行于$x$轴.
(1)求出点$P$的坐标;
(2)画出与$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$;
(3)在$y$轴上找一点$Q$,使得$2S_{△ BCP}=S_{△ BPQ}$,请直接写出点$Q$的坐标为.
(1)求出点$P$的坐标;
(2)画出与$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$;
(3)在$y$轴上找一点$Q$,使得$2S_{△ BCP}=S_{△ BPQ}$,请直接写出点$Q$的坐标为.
答案
解：
(1) ∵ PB平行于x轴，$B(-2,4)$
∴ 点$P$的纵坐标与点$B$的纵坐标相等，即：
$-5m-6=4$
解得 $m=-2$
将$m=-2$代入横坐标表达式得：$m+4=-2+4=2$
∴ 点$P$的坐标为$(2,4)$
(2) 根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得：
$A_1(4,1)$，$B_1(2,4)$，$C_1(1,2)$，在坐标系中描出三点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 先计算$S_{△ BCP}$：$BP=2-(-2)=4$，点$C$到直线$BP$（直线$y=4$）的距离为$4-2=2$，
$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×4×2=4$，则$2S_{△ BCP}=8$。
设$Q(0,y)$，点$Q$到直线$BP$的距离为$|y-4|$，
$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}×4×|y-4|=2|y-4|=8$，
解得$y=0$或$y=8$。
点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$或$\boldsymbol{(0,8)}$。
(1) ∵ PB平行于x轴，$B(-2,4)$
∴ 点$P$的纵坐标与点$B$的纵坐标相等，即：
$-5m-6=4$
解得 $m=-2$
将$m=-2$代入横坐标表达式得：$m+4=-2+4=2$
∴ 点$P$的坐标为$(2,4)$
(2) 根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得：
$A_1(4,1)$，$B_1(2,4)$，$C_1(1,2)$，在坐标系中描出三点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 先计算$S_{△ BCP}$：$BP=2-(-2)=4$，点$C$到直线$BP$（直线$y=4$）的距离为$4-2=2$，
$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×4×2=4$，则$2S_{△ BCP}=8$。
设$Q(0,y)$，点$Q$到直线$BP$的距离为$|y-4|$，
$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}×4×|y-4|=2|y-4|=8$，
解得$y=0$或$y=8$。
点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$或$\boldsymbol{(0,8)}$。
解析
【分析】
(1) 第一问利用“平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等”的性质，结合点B的纵坐标列方程求出m的值，再代入横坐标表达式即可得到点P的坐标。
(2) 第二问依据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到对称图形。
(3) 第三问先以BP为底计算△BCP的面积，再根据面积关系列△BPQ的面积方程，设出y轴上点Q的坐标，以Q到直线BP的距离为高列方程求解，注意绝对值运算要分情况，避免漏解。
【解析】
(1)
∵ PB平行于x轴，点B坐标为$(-2,4)$，平行于x轴的点纵坐标相等
∴ 点P的纵坐标与点B相同，即$-5m-6=4$
解得 $m=-2$
将$m=-2$代入点P的横坐标表达式：$m+4=-2+4=2$
∴ 点P的坐标为$(2,4)$
(2) 关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此三个顶点的对称点坐标为：
$A(-4,1)$的对称点$A_1(4,1)$，$B(-2,4)$的对称点$B_1(2,4)$，$C(-1,2)$的对称点$C_1(1,2)$
在坐标系中依次描出$A_1、B_1、C_1$三点，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 先计算$△ BCP$的面积：
BP的长度为$2-(-2)=4$，直线BP为$y=4$，点C到直线BP的距离为$4-2=2$
∴ $S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×4×2=4$，则$2S_{△ BCP}=8$
设y轴上点Q的坐标为$(0,y)$，点Q到直线$y=4$的距离为$|y-4|$
$△ BPQ$的面积为$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}×BP×|y-4|=\frac{1}{2}×4×|y-4|=2|y-4|$
根据题意$2S_{△ BCP}=S_{△ BPQ}$，即$2|y-4|=8$
解得$y-4=±4$，即$y=8$或$y=0$
∴ 点Q的坐标为$(0,0)$或$(0,8)$
【答案】
(1) $P(2,4)$；
(2) 作图见解析（$A_1(4,1)$，$B_1(2,4)$，$C_1(1,2)$，顺次连接三点即可）；
(3) $(0,0)$或$(0,8)$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标性质
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，既包含坐标特征、轴对称作图等基础知识点的考查，也结合面积关系考查方程思想的应用，解题时注意涉及距离的绝对值运算要考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问利用“平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等”的性质，结合点B的纵坐标列方程求出m的值，再代入横坐标表达式即可得到点P的坐标。
(2) 第二问依据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到对称图形。
(3) 第三问先以BP为底计算△BCP的面积，再根据面积关系列△BPQ的面积方程，设出y轴上点Q的坐标，以Q到直线BP的距离为高列方程求解，注意绝对值运算要分情况，避免漏解。
【解析】
(1)
∵ PB平行于x轴，点B坐标为$(-2,4)$，平行于x轴的点纵坐标相等
∴ 点P的纵坐标与点B相同，即$-5m-6=4$
解得 $m=-2$
将$m=-2$代入点P的横坐标表达式：$m+4=-2+4=2$
∴ 点P的坐标为$(2,4)$
(2) 关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此三个顶点的对称点坐标为：
$A(-4,1)$的对称点$A_1(4,1)$，$B(-2,4)$的对称点$B_1(2,4)$，$C(-1,2)$的对称点$C_1(1,2)$
在坐标系中依次描出$A_1、B_1、C_1$三点，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 先计算$△ BCP$的面积：
BP的长度为$2-(-2)=4$，直线BP为$y=4$，点C到直线BP的距离为$4-2=2$
∴ $S_{△ BCP}=\frac{1}{2}×4×2=4$，则$2S_{△ BCP}=8$
设y轴上点Q的坐标为$(0,y)$，点Q到直线$y=4$的距离为$|y-4|$
$△ BPQ$的面积为$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}×BP×|y-4|=\frac{1}{2}×4×|y-4|=2|y-4|$
根据题意$2S_{△ BCP}=S_{△ BPQ}$，即$2|y-4|=8$
解得$y-4=±4$，即$y=8$或$y=0$
∴ 点Q的坐标为$(0,0)$或$(0,8)$
【答案】
(1) $P(2,4)$；
(2) 作图见解析（$A_1(4,1)$，$B_1(2,4)$，$C_1(1,2)$，顺次连接三点即可）；
(3) $(0,0)$或$(0,8)$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标性质
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，既包含坐标特征、轴对称作图等基础知识点的考查，也结合面积关系考查方程思想的应用，解题时注意涉及距离的绝对值运算要考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
