【例4】计算：
(1)$(3a^3b^2 - 2a^2b + ab) ÷ (ab)$；
(2)$(12x^3 - 6x^2 - 2x) ÷ (-2x)$。

解：
(1) 原式$=3a^3b^2÷(ab) - 2a^2b÷(ab) + ab÷(ab)$
$=3a^2b - 2a + 1$
(2) 原式$=12x^3÷(-2x) - 6x^2÷(-2x) - 2x÷(-2x)$
$=-6x^2 + 3x + 1$

【分析】
这两道题均属于多项式除以单项式的运算，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：首先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的所有商相加。计算单个单项式相除时，系数相除得到商的系数，同底数幂按“底数不变，指数相减”的规则计算，同时要注意符号：除式为负数时，每一项除以除式的符号需遵循“同号得正，异号得负”的规则，避免符号出错。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=3a^3b^2÷(ab) - 2a^2b÷(ab) + ab÷(ab)$
分别计算每一项的商：
$3a^3b^2÷ab=3a^{3-1}b^{2-1}=3a^2b$，$-2a^2b÷ab=-2a^{2-1}b^{1-1}=-2a$，$ab÷ab=1$
合并得结果：$=3a^2b - 2a + 1$
(2) 同理拆分计算，注意除式为$-2x$，符号要处理正确：
原式$=12x^3÷(-2x) - 6x^2÷(-2x) - 2x÷(-2x)$
分别计算每一项的商：
$12x^3÷(-2x)=-6x^{3-1}=-6x^2$，$-6x^2÷(-2x)=3x^{2-1}=3x$，$-2x÷(-2x)=1$
合并得结果：$=-6x^2 + 3x + 1$
【答案】
(1) $3a^2b - 2a + 1$；(2) $-6x^2 + 3x + 1$
【知识点】
多项式除以单项式，单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心考查多项式除以单项式的运算法则，解题的关键是掌握“逐项相除再求和”的运算逻辑，尤其要注意除式带负号时的符号变化，熟练掌握该类运算可为后续整式混合运算、因式分解等知识的学习打好基础。
【难度系数】
0.8

【变式4】计算$(12x^3 -8x^2 +16x)÷(-4x)$，结果是（）。

A.$-3x^2 +2x -4$
B.$-3x^2 -2x +4$
C.$-3x^2 +2x +4$
D.$3x^2 -2x +4$

A

【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路为：先根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式(-4x)，再把所得的商相加；计算时要注意两点：一是除法运算的符号规则，除以负数时每一项的符号都要改变；二是同底数幂相除时，底数不变，指数相减，最后合并结果对应选项即可。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分逐项计算：
$\begin{aligned}&(12x^3 -8x^2 +16x)÷(-4x)\\=&12x^3÷(-4x) + (-8x^2)÷(-4x) + 16x÷(-4x)\\=&(12÷(-4))x^{3-1} + [(-8)÷(-4)]x^{2-1} + (16÷(-4))x^{1-1}\\=&-3x^2 + 2x -4\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式除以单项式的运算规则，解题的易错点是逐项计算时符号处理错误，熟练掌握运算法则、注意符号校验即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8

1. 下列计算中,正确的是().

A.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
B.$(-1)^0 = -1$
C.$2^0 = 3^0$
D.$a^0 = 1$

C

【分析】
这道题考查幂的相关运算规则，解题思路是逐个结合运算法则验证选项正误：首先回忆两个核心规则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减，且底数不能为0；②零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂等于1，0的0次幂没有意义。接下来依次对每个选项套用规则判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂除法法则，$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2}=a^4≠a^3$，故A错误；
B选项：因为$-1≠0$，所以$(-1)^0=1≠-1$，故B错误；
C选项：$2^0=1$，$3^0=1$，所以$2^0=3^0$，故C正确；
D选项：只有当$a≠0$时，$a^0=1$才成立，若$a=0$，$a^0$无意义，该选项未说明$a≠0$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 零指数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，易错点是容易忽略零指数幂中底数不能为0的前提条件，掌握运算法则的同时要记清各规则的适用限制。
【难度系数】
0.7

2. 计算$(a^2b^3)^2÷(ab^2)$,结果是().

A.$a^3b^4$
B.$ab^4$
C.$ab^3$
D.$a^3b^3$

A

【分析】
这道题属于整式的乘除混合运算，解题遵循先乘方后乘除的运算顺序即可。第一步先利用积的乘方、幂的乘方法则去掉乘方的括号，得到单项式；第二步再按照单项式除以单项式的规则，分别对同底数幂做指数运算，就能得出最终结果。
【解析】
1. 先计算乘方部分：
根据积的乘方法则$(xy)^n=x^ny^n$，以及幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
$(a^2b^3)^2=(a^2)^2·(b^3)^2=a^{2×2}b^{3×2}=a^4b^6$
2. 再计算除法部分：
根据单项式除以单项式的规则，同底数幂相除时底数不变、指数相减，可得：
$a^4b^6÷(ab^2)=a^{4-1}· b^{6-2}=a^3b^4$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的除法、单项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查幂的运算法则的应用，解题时要注意区分不同幂运算的指数计算规则，按运算顺序逐步计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8

3. 已知$2^m = 64, 2^n = 16, m, n$为正整数，则$2^{m-n} =$.

$\boldsymbol{4}$

【分析】
要计算$2^{m-n}$的值，首先回忆同底数幂的除法运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，且$m＞n$），反过来可得$a^{m-n}=a^m÷ a^n$。本题已知$2^m$和$2^n$的取值，可直接代入逆运算公式求解；也可以先根据已知的幂的值求出$m、n$的具体数值，再代入计算$2^{m-n}$，两种思路都能得到结果。
【解析】
方法一：利用同底数幂除法的逆运算计算
根据同底数幂除法的逆用，可得：
$2^{m-n}=2^m÷2^n$
将$2^m=64$，$2^n=16$代入上式：
$2^{m-n}=64÷16=4$
方法二：先求指数$m、n$的值再计算
因为$2^6=64$，已知$2^m=64$，所以$m=6$；
因为$2^4=16$，已知$2^n=16$，所以$n=4$；
则$m-n=6-4=2$，因此$2^{m-n}=2^2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算逆应用
【点评】
本题属于基础运算题，核心是考察对幂的运算性质的掌握程度，既可以直接逆用同底数幂除法公式快速求解，也可以通过先确定指数的值再计算，解题方法灵活，熟练掌握幂的相关运算规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.9

4. 计算：$(15x^2y - 10xy^2) ÷ (5xy) = \_\_\_\_\_\_.$

$\boldsymbol{3x-2y}$

【分析】
本题是多项式除以单项式的基础运算题，解题思路为：按照多项式除以单项式的运算法则，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所有项得到的商相加即可。计算单除以单时，先算系数的除法，再算同底数幂的除法，最后合并结果。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分计算：
1. 计算第一项的商：$15x^2y ÷ 5xy = (15÷5) · (x^2÷x) · (y÷y) = 3x$
2. 计算第二项的商：$-10xy^2 ÷ 5xy = (-10÷5) · (x÷x) · (y^2÷y) = -2y$
3. 合并两个商得到结果：$3x + (-2y) = 3x - 2y$
【答案】
$3x-2y$
【知识点】
多项式除以单项式，单项式除法，同底数幂除法
【点评】
本题是整式除法的常规基础题，核心考查多项式除以单项式的运算规则，解题时注意不要漏看多项式各项的符号，熟练掌握运算法则即可快速答对。
【难度系数】
0.9

5. 计算：
(1) $-6a^2b^3c ÷ (3ab)$；
(2) $(12xy^2 - 8x^2y) ÷ (4xy)$。

解：
(1) 原式 $=(-6÷ 3)·(a^2÷ a)·(b^3÷ b)· c$
$=-2ab^2c$
(2) 原式 $=12xy^2÷(4xy) - 8x^2y÷(4xy)$
$=3y - 2x$

【分析】
(1) 本题是单项式除以单项式的运算，解题思路如下：按照单项式除以单项式的法则，先将系数相除得到商的系数，再将同底数幂分别相除，仅在被除式中存在的字母连同它的指数直接保留在商里即可。
(2) 本题是多项式除以单项式的运算，解题思路如下：按照多项式除以单项式的法则，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，每一项的除法都按照单项式除以单项式的规则计算，最后把所有项的商相加即可，计算时注意不要漏项、不要弄错符号。
【解析】
(1) 原式 $=(-6÷ 3)·(a^2÷ a)·(b^3÷ b)· c$
$=-2ab^2c$
(2) 原式 $=12xy^2÷(4xy) - 8x^2y÷(4xy)$
$=3y - 2x$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2ab^2c}$；(2) $\boldsymbol{3y - 2x}$
【知识点】
单项式除以单项式，多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，核心考查整式除法相关法则的应用，计算时要注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则，多项式除以单项式时注意不要漏乘漏算任意一项。
【难度系数】
0.8

1. 下列计算中，正确的是（）.

A.$x^2 · x^5 = x^{10}$
B.$(-x^3)^4 = -x^8$
C.$(-xy^2)^3 = -x^3y^5$
D.$x^5 ÷ x^3 = x^2$

D

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路是依次回忆同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据幂的运算法则逐个分析选项：
选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。则$x^2 · x^5 = x^{2+5}=x^7≠ x^{10}$，故A错误。
选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘；负数的偶次幂为正。则$(-x^3)^4=(-1)^4·(x^3)^4=x^{3×4}=x^{12}≠ -x^8$，故B错误。
选项C：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。则$(-xy^2)^3=(-1)^3·x^3·(y^2)^3=-x^3y^{2×3}=-x^3y^6≠ -x^3y^5$，故C错误。
选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减。则$x^5 ÷ x^3 = x^{5-3}=x^2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，解题时要特别注意运算中符号的判断以及指数是相加还是相乘的区分，避免因法则混淆出错。
【难度系数】
0.8

2.若$a^x=2,a^y=3$，则$a^{x-y}$的值为（）.

A.-1
B.1
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

D

【分析】
本题考查同底数幂除法法则的逆应用，解题思路如下：第一步，先回忆同底数幂的除法运算规则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$）；第二步，将该公式逆用，可得$a^{m-n}=a^m ÷ a^n$，对比所求的$a^{x-y}$，可发现刚好符合逆用公式的形式，其中$m=x$，$n=y$；第三步，将已知的$a^x=2$、$a^y=3$代入逆用后的公式计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法法则的逆运算可得：
$a^{x-y}=a^x ÷ a^y$
将$a^x=2$，$a^y=3$代入上式，得：
$a^{x-y}=2 ÷ 3 = \frac{2}{3}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算的逆应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对同底数幂除法法则的掌握和灵活运用能力，熟练记忆幂的相关运算法则并能正确变形是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.9

3. 计算$(-a)^3 ÷ (-a^2)$，结果是.

解：
先计算乘方运算：$(-a)^3 = -a^3$
原式$= -a^3 ÷ (-a^2)$
$= [(-1)÷(-1)] · (a^3 ÷ a^2)$
$= a^{3-2}$
$= a$

【分析】
本题属于整式除法运算类题目，解题可按三步思考：第一步先处理乘方运算，根据积的乘方法则计算$(-a)^3$，重点注意符号的正负判断；第二步将乘方结果代入原式，把运算拆分为系数运算和同底数幂运算两部分分别处理；第三步系数部分先确定符号再计算，同底数幂部分按照“底数不变，指数相减”的法则计算，最后合并两部分结果即可得到最终答案。
【解析】
先计算乘方运算：根据积的乘方法则，$(-a)^3 = (-1)^3·a^3 = -a^3$
将结果代入原式：
原式$= -a^3 ÷ (-a^2)$
把系数和同底数幂拆分计算：
$= [(-1)÷(-1)] · (a^3 ÷ a^2)$
根据同底数幂的除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$）计算：
$= 1 · a^{3-2}$
$= a$
【答案】
$a$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的除法、整式的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查乘方运算与同底数幂除法法则的综合应用，易错点是积的乘方符号判断错误，或是同底数幂的指数运算失误，熟练掌握相关运算法则、注意符号处理即可正确解答。
【难度系数】
0.8

4. 下列各数中,最大的数是().

A.$-(+2)$
B.$|-3|$
C.$-1^2$
D.$(-2)^0$

B

【分析】
要选出最大的数，首先需要根据对应的运算法则分别化简每个选项的数值，再按照实数大小比较的规则（正数大于负数，正数之间数值越大数越大）判断即可。解题时先逐个计算四个选项的结果，再对结果排序找到最大值。
【解析】
我们逐个化简各选项的数：
A选项：根据去括号法则，$-(+2)=-2$；
B选项：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|-3|=3$；
C选项：乘方运算优先级高于符号运算，先算$1^2=1$，再取相反数得$-1^2=-1$；
D选项：根据零指数幂法则，非零数的零次幂为1，$-2≠0$，因此$(-2)^0=1$。
将化简后的结果比较大小：$3＞1＞-1＞-2$，可知最大的数是$|-3|$。
【答案】
B
【知识点】
绝对值化简；有理数乘方；零指数幂运算
【点评】
本题属于实数大小比较的基础题，解题核心是准确掌握各类运算法则，尤其要注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的运算差异，避免因运算顺序混淆出错。
【难度系数】
0.85

5. (1)计算:$(π - 3)^0 = \_\_\_\_\_\_;$
(2)如果$(x - 5)^0 = 1$,那么$x$的取值范围是$\_\_\_\_\_\_.$

(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{x≠5}$

【分析】
解题需运用零指数幂的核心性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$的前提是$a≠0$。对于第(1)问，先判断底数$π-3$是否为0：$π\approx3.14$，因此$π-3≠0$，直接套用性质即可得结果；对于第(2)问，要使幂的结果为1，需满足底数不为0，据此列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：$a^0=1(a≠0)$，
因为$π\approx3.14$，所以$π-3≠0$，
因此$(π-3)^0=1$。
(2) 若$(x-5)^0=1$，根据零指数幂的成立条件，底数不能为0，
即$x-5≠0$，
解得$x≠5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{x≠5}$
【知识点】
1. 零指数幂的性质；2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查零指数幂的限制条件，解题的关键是牢记零指数幂的底数不能为0，避免忽略该限制条件导致失分。
【难度系数】
0.9

6. 计算：$|1 - \sqrt{3}| + (3.14 - π)^0 = \_\_\_\_\_\_.$

$\sqrt{3}$

【分析】
本题考查实数的混合运算，解题分两步思考：第一步处理绝对值项，先判断绝对值内$1-\sqrt{3}$的正负性，再根据负数的绝对值等于它的相反数化简；第二步处理零指数幂项，根据“非零数的零次幂等于1”计算，最后将两项结果相加化简即可得到答案。
【解析】
1. 化简绝对值：
因为$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，所以$1-\sqrt{3}＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$。
2. 计算零指数幂：
因为$3.14-π≠0$，根据非零数的零次幂等于1的性质，可得$(3.14-π)^0=1$。
3. 合并计算：
原式$=\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
绝对值的化简、零指数幂的运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查对绝对值性质和零指数幂运算法则的理解与应用，解题时需注意先判断绝对值内代数式的正负，同时牢记零指数幂的底数不能为0的限制条件，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85

7. 计算$6x^3÷(3x^2)$，结果是().

A.$x$
B.$2x$
C.$2x^5$
D.$2x^6$

B

【分析】
这是单项式除以单项式的运算题，解题时遵循单项式除以单项式的运算法则即可：第一步先将两个单项式的系数相除，得到商的系数；第二步将两个单项式中的同底数幂分别相除，底数不变指数相减，得到同底数幂的商；最后将系数的商与同底数幂的商相乘，就能得到最终结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
1. 计算系数的商：$6÷3=2$
2. 计算同底数幂的商：$x^3÷x^2=x^{3-2}=x$
3. 合并两部分结果得：$2× x=2x$
因此计算结果为$2x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式除法的运算规则，掌握系数、同底数幂分别运算的思路即可快速求解，是整式运算板块的常规基础考点。
【难度系数】
0.9