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8. 计算 $25a^3b^2 ÷ (5ab)^2$。
答案
解：
先计算乘方运算：
$(5ab)^2 = 25a^2b^2$
原式$=25a^3b^2 ÷ 25a^2b^2$
$=(25÷25)·(a^3÷ a^2)·(b^2÷ b^2)$
$=1· a · 1$
$=a$
先计算乘方运算：
$(5ab)^2 = 25a^2b^2$
原式$=25a^3b^2 ÷ 25a^2b^2$
$=(25÷25)·(a^3÷ a^2)·(b^2÷ b^2)$
$=1· a · 1$
$=a$
解析
【分析】
这是整式混合运算题，解题遵循“先乘方，后除法”的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则计算除数部分的乘方，第二步再根据单项式除以单项式的法则，将系数、同底数幂分别相除得到结果，计算时注意同底数幂相除的指数运算规则即可。
【解析】
解：先计算乘方运算，根据积的乘方法则：
$(5ab)^2 = 5^2 · a^2 · b^2 = 25a^2b^2$
代入原式可得：
$25a^3b^2 ÷ 25a^2b^2$
再根据单项式除以单项式法则，将系数、同底数幂分别相除：
$=(25÷25)·(a^3÷ a^2)·(b^2÷ b^2)$
分别计算各部分：$25÷25=1$，$a^3÷a^2=a^{3-2}=a$，$b^2÷b^2=b^{2-2}=1$
因此化简得：$=1· a · 1 = a$
【答案】
$a$
【知识点】
积的乘方运算，单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式运算的顺序和相关运算法则，只要熟练掌握乘方、除法的运算规则，细心计算即可得分，是巩固整式除法运算的典型习题。
【难度系数】
0.9
这是整式混合运算题，解题遵循“先乘方，后除法”的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则计算除数部分的乘方，第二步再根据单项式除以单项式的法则，将系数、同底数幂分别相除得到结果，计算时注意同底数幂相除的指数运算规则即可。
【解析】
解：先计算乘方运算，根据积的乘方法则：
$(5ab)^2 = 5^2 · a^2 · b^2 = 25a^2b^2$
代入原式可得：
$25a^3b^2 ÷ 25a^2b^2$
再根据单项式除以单项式法则，将系数、同底数幂分别相除：
$=(25÷25)·(a^3÷ a^2)·(b^2÷ b^2)$
分别计算各部分：$25÷25=1$，$a^3÷a^2=a^{3-2}=a$，$b^2÷b^2=b^{2-2}=1$
因此化简得：$=1· a · 1 = a$
【答案】
$a$
【知识点】
积的乘方运算，单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察整式运算的顺序和相关运算法则，只要熟练掌握乘方、除法的运算规则，细心计算即可得分，是巩固整式除法运算的典型习题。
【难度系数】
0.9
9. 某市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境. 已知长方形空地的面积为$(3ab+b)\ \mathrm{m}^2$，宽为$b\ \mathrm{m}$，则这块空地的长为（）.
A.$3a\ \mathrm{m}$
B.$(3a+1)\ \mathrm{m}$
C.$(3a+2b)\ \mathrm{m}$
D.$(3ab^2+b^2)\ \mathrm{m}$
A.$3a\ \mathrm{m}$
B.$(3a+1)\ \mathrm{m}$
C.$(3a+2b)\ \mathrm{m}$
D.$(3ab^2+b^2)\ \mathrm{m}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，已知面积和宽，要求长，可由“长方形面积=长×宽”变形得到“长=面积÷宽”，这是解题的切入点。接下来代入题目给出的面积和宽的代数式，得到多项式除以单项式的算式，再按照多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可算出结果。
【解析】
根据长方形的面积公式可得：
$\mathrm{长方形的长}=\mathrm{面积}÷\mathrm{宽}$
将面积$(3ab+b)\ \mathrm{m}^2$，宽$b\ \mathrm{m}$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{长}&=(3ab+b)÷ b\\&=3ab÷ b + b÷ b\\&=3a+1\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.长方形面积公式
2.多项式除以单项式运算
【点评】
本题结合实际应用场景考查整式除法的计算，难度较低，关键是能将几何求边长的问题转化为整式除法运算，掌握多项式除以单项式的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，已知面积和宽，要求长，可由“长方形面积=长×宽”变形得到“长=面积÷宽”，这是解题的切入点。接下来代入题目给出的面积和宽的代数式，得到多项式除以单项式的算式，再按照多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可算出结果。
【解析】
根据长方形的面积公式可得：
$\mathrm{长方形的长}=\mathrm{面积}÷\mathrm{宽}$
将面积$(3ab+b)\ \mathrm{m}^2$，宽$b\ \mathrm{m}$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{长}&=(3ab+b)÷ b\\&=3ab÷ b + b÷ b\\&=3a+1\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.长方形面积公式
2.多项式除以单项式运算
【点评】
本题结合实际应用场景考查整式除法的计算，难度较低，关键是能将几何求边长的问题转化为整式除法运算，掌握多项式除以单项式的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.计算:$(10a^3 - 12a^2 + 2a) ÷ (2a) =$ .
答案
$\boldsymbol{5a^2 - 6a + 1}$
解析
【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是依据多项式除以单项式的运算法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。计算时要注意分别处理每一项的系数、同底数幂的次数，同时不要漏除多项式的最后一项，注意运算符号的正确性。
【解析】
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式$2a$，再把所得的商相加：
$\begin{aligned}(10a^3 - 12a^2 + 2a) ÷ (2a)&=10a^3÷2a - 12a^2÷2a + 2a÷2a\\&=(10÷2)a^{3-1} + (-12÷2)a^{2-1} + (2÷2)a^{1-1}\\&=5a^2 -6a +1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{5a^2 - 6a + 1}$
【知识点】
1.多项式除以单项式法则
2.同底数幂的除法
3.整式的运算
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，重点考查多项式除以单项式运算法则的应用，解题时需注意逐项相除，不要漏除多项式的每一项，同时注意运算符号和幂的次数计算，避免出现漏写最后一项常数1的错误。
【难度系数】
0.85
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是依据多项式除以单项式的运算法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。计算时要注意分别处理每一项的系数、同底数幂的次数，同时不要漏除多项式的最后一项，注意运算符号的正确性。
【解析】
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式$2a$，再把所得的商相加：
$\begin{aligned}(10a^3 - 12a^2 + 2a) ÷ (2a)&=10a^3÷2a - 12a^2÷2a + 2a÷2a\\&=(10÷2)a^{3-1} + (-12÷2)a^{2-1} + (2÷2)a^{1-1}\\&=5a^2 -6a +1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{5a^2 - 6a + 1}$
【知识点】
1.多项式除以单项式法则
2.同底数幂的除法
3.整式的运算
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，重点考查多项式除以单项式运算法则的应用，解题时需注意逐项相除，不要漏除多项式的每一项，同时注意运算符号和幂的次数计算，避免出现漏写最后一项常数1的错误。
【难度系数】
0.85
11. 下列计算中,错误的是().
A.$-6x^2y^3÷(2xy^2)=-3xy$
B.$(-xy^2)^3÷(-x^2y)=xy^5$
C.$(-2x^2y^2)^3÷(-xy)^3=-2x^3y^3$
D.$-(-a^3b)^2÷(-a^2b^2)=a^4$
A.$-6x^2y^3÷(2xy^2)=-3xy$
B.$(-xy^2)^3÷(-x^2y)=xy^5$
C.$(-2x^2y^2)^3÷(-xy)^3=-2x^3y^3$
D.$-(-a^3b)^2÷(-a^2b^2)=a^4$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查整式除法相关的运算，解题时需按照“先计算乘方，再计算除法”的顺序，结合幂的运算法则对每个选项逐一验证，计算过程中重点注意符号处理和同底数幂的指数变化规则，最终找出计算错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：计算$-6x^2y^3÷(2xy^2)$，单项式除以单项式时，系数、同底数幂分别相除：
系数相除：$-6÷2=-3$，$x^2÷x=x^{2-1}=x$，$y^3÷y^2=y^{3-2}=y$，结果为$-3xy$，计算正确，不符合题意。
选项B：先算乘方，再算除法：
$(-xy^2)^3=(-1)^3· x^3· (y^2)^3=-x^3y^6$，再计算除法：$-x^3y^6÷(-x^2y)=x^{3-2}y^{6-1}=xy^5$，计算正确，不符合题意。
选项C：先算乘方，再算除法：
$(-2x^2y^2)^3=(-2)^3· (x^2)^3· (y^2)^3=-8x^6y^6$，$(-xy)^3=-x^3y^3$，再计算除法：$-8x^6y^6÷(-x^3y^3)=8x^{6-3}y^{6-3}=8x^3y^3$，和选项给出的$-2x^3y^3$不符，计算错误，符合题意。
选项D：先算乘方，再算除法：
$-(-a^3b)^2=-[(-1)^2· (a^3)^2· b^2]=-a^6b^2$，再计算除法：$-a^6b^2÷(-a^2b^2)=a^{6-2}b^{2-2}=a^4$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础考查题，解题核心是熟练掌握各类幂运算的法则，尤其要注意运算顺序和负号的处理，避免因符号判断失误或指数计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式除法相关的运算，解题时需按照“先计算乘方，再计算除法”的顺序，结合幂的运算法则对每个选项逐一验证，计算过程中重点注意符号处理和同底数幂的指数变化规则，最终找出计算错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：计算$-6x^2y^3÷(2xy^2)$，单项式除以单项式时，系数、同底数幂分别相除：
系数相除：$-6÷2=-3$，$x^2÷x=x^{2-1}=x$，$y^3÷y^2=y^{3-2}=y$，结果为$-3xy$，计算正确，不符合题意。
选项B：先算乘方，再算除法：
$(-xy^2)^3=(-1)^3· x^3· (y^2)^3=-x^3y^6$，再计算除法：$-x^3y^6÷(-x^2y)=x^{3-2}y^{6-1}=xy^5$，计算正确，不符合题意。
选项C：先算乘方，再算除法：
$(-2x^2y^2)^3=(-2)^3· (x^2)^3· (y^2)^3=-8x^6y^6$，$(-xy)^3=-x^3y^3$，再计算除法：$-8x^6y^6÷(-x^3y^3)=8x^{6-3}y^{6-3}=8x^3y^3$，和选项给出的$-2x^3y^3$不符，计算错误，符合题意。
选项D：先算乘方，再算除法：
$-(-a^3b)^2=-[(-1)^2· (a^3)^2· b^2]=-a^6b^2$，再计算除法：$-a^6b^2÷(-a^2b^2)=a^{6-2}b^{2-2}=a^4$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础考查题，解题核心是熟练掌握各类幂运算的法则，尤其要注意运算顺序和负号的处理，避免因符号判断失误或指数计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
12.若$a^m=8,a^n=2$,则$a^{2m-3n}$的值是.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
要求$a^{2m-3n}$的值，需利用幂的运算性质对所求式子变形，转化为含已知条件$a^m$、$a^n$的形式。首先回忆同底数幂的除法法则：$a^{p-q}=a^p÷ a^q$，幂的乘方法则：$a^{pq}=(a^p)^q$，先将$a^{2m-3n}$拆分为$a^{2m}÷ a^{3n}$，再把$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$、$a^{3n}$转化为$(a^n)^3$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
逆用幂的运算性质对原式变形：
1. 由同底数幂的除法逆运算可得：$a^{2m-3n}=a^{2m}÷ a^{3n}$
2. 由幂的乘方的逆运算可得：$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{3n}=(a^n)^3$
3. 将$a^m=8$，$a^n=2$代入计算：
$\begin{aligned}a^{2m-3n}&=(a^m)^2÷(a^n)^3\\&=8^2÷2^3\\&=64÷8\\&=8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础应用题，解题关键是熟练掌握幂的运算公式，能灵活逆用公式对所求式子进行变形，计算时注意区分不同幂运算的指数变化规则即可。
【难度系数】
0.8
要求$a^{2m-3n}$的值，需利用幂的运算性质对所求式子变形，转化为含已知条件$a^m$、$a^n$的形式。首先回忆同底数幂的除法法则：$a^{p-q}=a^p÷ a^q$，幂的乘方法则：$a^{pq}=(a^p)^q$，先将$a^{2m-3n}$拆分为$a^{2m}÷ a^{3n}$，再把$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$、$a^{3n}$转化为$(a^n)^3$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
逆用幂的运算性质对原式变形：
1. 由同底数幂的除法逆运算可得：$a^{2m-3n}=a^{2m}÷ a^{3n}$
2. 由幂的乘方的逆运算可得：$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{3n}=(a^n)^3$
3. 将$a^m=8$，$a^n=2$代入计算：
$\begin{aligned}a^{2m-3n}&=(a^m)^2÷(a^n)^3\\&=8^2÷2^3\\&=64÷8\\&=8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础应用题，解题关键是熟练掌握幂的运算公式，能灵活逆用公式对所求式子进行变形，计算时注意区分不同幂运算的指数变化规则即可。
【难度系数】
0.8
13.已知$3x - 2y - 2 = 0$，求$8^x ÷ 4^y ÷ 2^2$的值.
答案
解：
由$3x - 2y - 2 = 0$，可得$3x - 2y = 2$。
将原式中各幂转化为以2为底的形式：
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$，
$4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$，
因此：
$\begin{aligned}8^x ÷ 4^y ÷ 2^2&=2^{3x} ÷ 2^{2y} ÷ 2^2\\&=2^{3x - 2y - 2}\end{aligned}$
把$3x - 2y = 2$代入上式：
原式$=2^{2 - 2}=2^0=1$。
由$3x - 2y - 2 = 0$，可得$3x - 2y = 2$。
将原式中各幂转化为以2为底的形式：
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$，
$4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$，
因此：
$\begin{aligned}8^x ÷ 4^y ÷ 2^2&=2^{3x} ÷ 2^{2y} ÷ 2^2\\&=2^{3x - 2y - 2}\end{aligned}$
把$3x - 2y = 2$代入上式：
原式$=2^{2 - 2}=2^0=1$。
解析
【分析】
已知条件仅给出一个关于x、y的二元一次方程，无法单独求出x、y的具体值，因此考虑用整体代入的方法求解。观察所求式子中幂的底数8、4、2都可转化为以2为底的幂，因此先统一底数为2，再利用同底数幂的除法运算规则整理指数，即可凑出已知条件中3x-2y的结构，最后代入数值计算即可。
【解析】
由$3x - 2y - 2 = 0$，移项可得$3x - 2y = 2$。
先将原式中各幂转化为以2为底的形式：
根据幂的乘方法则，$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$，$4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$，
因此对原式进行转化：
$\begin{aligned}8^x ÷ 4^y ÷ 2^2&=2^{3x} ÷ 2^{2y} ÷ 2^2\\&=2^{3x - 2y - 2}\end{aligned}$
把$3x - 2y = 2$代入上式：
原式$=2^{2 - 2}=2^0=1$。
【答案】
1
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题关键是将不同底数的幂统一为同底数幂，结合整体思想代入计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考查学生对幂运算性质的掌握情况和代数运算的灵活性。
【难度系数】
0.8
已知条件仅给出一个关于x、y的二元一次方程，无法单独求出x、y的具体值，因此考虑用整体代入的方法求解。观察所求式子中幂的底数8、4、2都可转化为以2为底的幂，因此先统一底数为2，再利用同底数幂的除法运算规则整理指数，即可凑出已知条件中3x-2y的结构，最后代入数值计算即可。
【解析】
由$3x - 2y - 2 = 0$，移项可得$3x - 2y = 2$。
先将原式中各幂转化为以2为底的形式：
根据幂的乘方法则，$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$，$4^y = (2^2)^y = 2^{2y}$，
因此对原式进行转化：
$\begin{aligned}8^x ÷ 4^y ÷ 2^2&=2^{3x} ÷ 2^{2y} ÷ 2^2\\&=2^{3x - 2y - 2}\end{aligned}$
把$3x - 2y = 2$代入上式：
原式$=2^{2 - 2}=2^0=1$。
【答案】
1
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题关键是将不同底数的幂统一为同底数幂，结合整体思想代入计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考查学生对幂运算性质的掌握情况和代数运算的灵活性。
【难度系数】
0.8
14. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个多项式：
×(-\frac{1}{2}xy)=3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy.
(1)求被手遮住的多项式；
(2)若$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$，求所遮住的多项式的值.
×(-\frac{1}{2}xy)=3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy.(1)求被手遮住的多项式；
(2)若$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$，求所遮住的多项式的值.
答案
解：
(1) 被手遮住的多项式为：
$\begin{aligned}&(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\=&3x^2y ÷ (-\frac{1}{2}xy) - xy^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy) + \frac{1}{2}xy ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\=&-6x + 2y -1\end{aligned}$
(2) 把$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$代入$-6x+2y-1$：
$\begin{aligned}&-6×\frac{2}{3} + 2×\frac{1}{2} -1\\=&-4 + 1 -1\\=&-4\end{aligned}$
综上，(1) 被手遮住的多项式为$\boldsymbol{-6x+2y-1}$；(2) 该多项式的值为$\boldsymbol{-4}$。
(1) 被手遮住的多项式为：
$\begin{aligned}&(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\=&3x^2y ÷ (-\frac{1}{2}xy) - xy^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy) + \frac{1}{2}xy ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\=&-6x + 2y -1\end{aligned}$
(2) 把$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$代入$-6x+2y-1$：
$\begin{aligned}&-6×\frac{2}{3} + 2×\frac{1}{2} -1\\=&-4 + 1 -1\\=&-4\end{aligned}$
综上，(1) 被手遮住的多项式为$\boldsymbol{-6x+2y-1}$；(2) 该多项式的值为$\boldsymbol{-4}$。
解析
【分析】
(1) 已知两个因式的乘积和其中一个因式，求被遮住的多项式可利用乘除互逆关系：被遮多项式 = 等式右侧的运算结果 ÷ 已知单项式$-\frac{1}{2}xy$。计算时遵循多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以该单项式，再把所得的商相加，需注意运算过程中符号的处理。(2) 第二问是代数式求值问题，只需将$x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{2}$代入第一问求出的多项式，按照有理数运算规则计算即可。
【解析】
(1) 设被手遮住的多项式为$A$，由题意得：
$\begin{aligned}A&=(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\&=3x^2y ÷ (-\frac{1}{2}xy) - xy^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy) + \frac{1}{2}xy ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\&=-6x + 2y -1\end{aligned}$
(2) 将$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$代入$-6x+2y-1$得：
$\begin{aligned}&-6×\frac{2}{3} + 2×\frac{1}{2} -1\\=&-4 + 1 -1\\=&-4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6x+2y-1}$；(2) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
多项式除以单项式；代数式求值；乘除互逆运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查整式除法的运算规则和代入求值的方法，解题时需注意多项式除以单项式时每一项的符号变化，代入求值时运算准确即可正确求解。
【难度系数】
0.8
(1) 已知两个因式的乘积和其中一个因式，求被遮住的多项式可利用乘除互逆关系：被遮多项式 = 等式右侧的运算结果 ÷ 已知单项式$-\frac{1}{2}xy$。计算时遵循多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以该单项式，再把所得的商相加，需注意运算过程中符号的处理。(2) 第二问是代数式求值问题，只需将$x=\frac{2}{3},y=\frac{1}{2}$代入第一问求出的多项式，按照有理数运算规则计算即可。
【解析】
(1) 设被手遮住的多项式为$A$，由题意得：
$\begin{aligned}A&=(3x^2y - xy^2 + \frac{1}{2}xy) ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\&=3x^2y ÷ (-\frac{1}{2}xy) - xy^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy) + \frac{1}{2}xy ÷ (-\frac{1}{2}xy)\\&=-6x + 2y -1\end{aligned}$
(2) 将$x=\frac{2}{3}, y=\frac{1}{2}$代入$-6x+2y-1$得：
$\begin{aligned}&-6×\frac{2}{3} + 2×\frac{1}{2} -1\\=&-4 + 1 -1\\=&-4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6x+2y-1}$；(2) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
多项式除以单项式；代数式求值；乘除互逆运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查整式除法的运算规则和代入求值的方法，解题时需注意多项式除以单项式时每一项的符号变化，代入求值时运算准确即可正确求解。
【难度系数】
0.8
15. (运算能力)下面是小明的解题过程.
$[8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 + (-a - b)^3] ÷ [2(a+b)^3]$
$= [8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 + (a+b)^3] ÷ [2(a+b)^3]$
$= 4(a+b)^2 - 2(a+b)^2 + 2.$
指出小明错在哪儿,并写出正确的解题过程.
$[8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 + (-a - b)^3] ÷ [2(a+b)^3]$
$= [8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 + (a+b)^3] ÷ [2(a+b)^3]$
$= 4(a+b)^2 - 2(a+b)^2 + 2.$
指出小明错在哪儿,并写出正确的解题过程.
答案
解：
小明的错误：
1. 变形$(-a-b)^3$时出错：$(-a-b)^3=[-(a+b)]^3=-(a+b)^3$，小明错误将其写为$(a+b)^3$，遗漏了负号。
2. 多项式除以单项式的运算出错：
$8(a+b)^6÷2(a+b)^3$的结果应为$4(a+b)^3$，小明误将指数运算$6-3$算为2，得到$4(a+b)^2$；
最后一项相除时，系数和符号均出错，小明错误得到结果$+2$。
正确解题过程：
$\begin{aligned}原式&=[8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 - (a+b)^3] ÷ [2(a+b)^3]\\&=8(a+b)^6÷2(a+b)^3 - 4(a+b)^5÷2(a+b)^3 - (a+b)^3÷2(a+b)^3\\&=4(a+b)^3 - 2(a+b)^2 - \frac{1}{2}\end{aligned}$
小明的错误：
1. 变形$(-a-b)^3$时出错：$(-a-b)^3=[-(a+b)]^3=-(a+b)^3$，小明错误将其写为$(a+b)^3$，遗漏了负号。
2. 多项式除以单项式的运算出错：
$8(a+b)^6÷2(a+b)^3$的结果应为$4(a+b)^3$，小明误将指数运算$6-3$算为2，得到$4(a+b)^2$；
最后一项相除时，系数和符号均出错，小明错误得到结果$+2$。
正确解题过程：
$\begin{aligned}原式&=[8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 - (a+b)^3] ÷ [2(a+b)^3]\\&=8(a+b)^6÷2(a+b)^3 - 4(a+b)^5÷2(a+b)^3 - (a+b)^3÷2(a+b)^3\\&=4(a+b)^3 - 2(a+b)^2 - \frac{1}{2}\end{aligned}$
解析
【分析】
解题时先分两步排查错误：第一步先处理$(-a-b)^3$的变形，$-a-b$可变形为$-(a+b)$，根据负数的奇次幂为负，可得$(-a-b)^3=-(a+b)^3$，先核对小明这一步的变形是否正确；第二步再依据多项式除以单项式的法则（多项式每一项分别除以单项式，商相加）、同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），逐一核对小明每一步除法运算的系数、指数、符号是否正确。找到错误后，再按照规则分步计算出正确结果即可。
【解析】
小明的错误：
1. $(-a-b)^3$变形错误：$(-a-b)^3=[-(a+b)]^3=-(a+b)^3$，小明遗漏负号，错误写成$(a+b)^3$；
2. 多项式除以单项式运算错误：
第一项$8(a+b)^6÷2(a+b)^3$的正确结果为$4(a+b)^3$，小明误将指数$6-3$算为2，得到$4(a+b)^2$；
第三项运算的系数、符号均错误，小明错误得到$+2$。
正确解题过程：
$\begin{aligned}原式&=[8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 - (a+b)^3] ÷ [2(a+b)^3]\\&=8(a+b)^6÷2(a+b)^3 - 4(a+b)^5÷2(a+b)^3 - (a+b)^3÷2(a+b)^3\\&=4(a+b)^3 - 2(a+b)^2 - \frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
小明的错误见上述解析，正确结果为$\boldsymbol{4(a+b)^3 - 2(a+b)^2 - \frac{1}{2}}$
【知识点】
1. 多项式除以单项式法则
2. 同底数幂的除法
3. 乘方的符号法则
【点评】
本题重点考查整式除法中的整体代换思想，易错点是符号处理和幂的指数运算，解题时建议分步运算，避免跳步导致粗心错误。
【难度系数】
0.6
解题时先分两步排查错误：第一步先处理$(-a-b)^3$的变形，$-a-b$可变形为$-(a+b)$，根据负数的奇次幂为负，可得$(-a-b)^3=-(a+b)^3$，先核对小明这一步的变形是否正确；第二步再依据多项式除以单项式的法则（多项式每一项分别除以单项式，商相加）、同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），逐一核对小明每一步除法运算的系数、指数、符号是否正确。找到错误后，再按照规则分步计算出正确结果即可。
【解析】
小明的错误：
1. $(-a-b)^3$变形错误：$(-a-b)^3=[-(a+b)]^3=-(a+b)^3$，小明遗漏负号，错误写成$(a+b)^3$；
2. 多项式除以单项式运算错误：
第一项$8(a+b)^6÷2(a+b)^3$的正确结果为$4(a+b)^3$，小明误将指数$6-3$算为2，得到$4(a+b)^2$；
第三项运算的系数、符号均错误，小明错误得到$+2$。
正确解题过程：
$\begin{aligned}原式&=[8(a+b)^6 - 4(a+b)^5 - (a+b)^3] ÷ [2(a+b)^3]\\&=8(a+b)^6÷2(a+b)^3 - 4(a+b)^5÷2(a+b)^3 - (a+b)^3÷2(a+b)^3\\&=4(a+b)^3 - 2(a+b)^2 - \frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
小明的错误见上述解析，正确结果为$\boldsymbol{4(a+b)^3 - 2(a+b)^2 - \frac{1}{2}}$
【知识点】
1. 多项式除以单项式法则
2. 同底数幂的除法
3. 乘方的符号法则
【点评】
本题重点考查整式除法中的整体代换思想，易错点是符号处理和幂的指数运算，解题时建议分步运算，避免跳步导致粗心错误。
【难度系数】
0.6
