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1.（原创题）如图，在$△ ABC$中，$AB = 2028$，$AC=2026$，$AD$为中线，则$△ ABD$与$△ ACD$的周长之差为（）.
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，可按照以下思路思考：首先回忆三角形周长的计算方法，再结合三角形中线的性质找到相等的边，通过作差抵消相同部分即可快速求出周长差。第一步，先分别写出两个三角形的周长表达式；第二步，根据中线的性质可得BD=CD，且AD是两个三角形的公共边，作差时这两部分会相互抵消；第三步，计算剩余两条边的差值就能得到最终结果。
【解析】
根据三角形周长的定义可得：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，$C_{△ ACD}=AC+CD+AD$
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即$\boldsymbol{BD=CD}$。
两个三角形的周长差为：
$\begin{aligned}C_{△ ABD}-C_{△ ACD}&=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)\\&=AB+BD+AD-AC-CD-AD\\&=AB-AC\end{aligned}$
代入$AB=2028$，$AC=2026$计算：
$AB-AC=2028-2026=2$
即△ABD与△ACD的周长之差为2。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用中线的性质找到相等的边，再通过作差抵消两个周长中的公共部分，把复杂的周长差转化为两条已知边的差，大幅简化了计算过程，掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，可按照以下思路思考：首先回忆三角形周长的计算方法，再结合三角形中线的性质找到相等的边，通过作差抵消相同部分即可快速求出周长差。第一步，先分别写出两个三角形的周长表达式；第二步，根据中线的性质可得BD=CD，且AD是两个三角形的公共边，作差时这两部分会相互抵消；第三步，计算剩余两条边的差值就能得到最终结果。
【解析】
根据三角形周长的定义可得：
$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，$C_{△ ACD}=AC+CD+AD$
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即$\boldsymbol{BD=CD}$。
两个三角形的周长差为：
$\begin{aligned}C_{△ ABD}-C_{△ ACD}&=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)\\&=AB+BD+AD-AC-CD-AD\\&=AB-AC\end{aligned}$
代入$AB=2028$，$AC=2026$计算：
$AB-AC=2028-2026=2$
即△ABD与△ACD的周长之差为2。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用中线的性质找到相等的边，再通过作差抵消两个周长中的公共部分，把复杂的周长差转化为两条已知边的差，大幅简化了计算过程，掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在△ABC中,D,E分别是边BC,AB的中点.若△ABC的面积等于8,则△BDE的面积等于().
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
A
解析
【分析】
本题可利用三角形中线的面积性质求解：三角形的中线会把三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据D是BC中点，先求出△ABD的面积；再根据E是AB中点，进一步求出△BDE的面积即可。
【解析】
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=8$，代入得$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵点E是AB的中点，
∴DE是△ABD的中线，△BDE与△ADE等底同高，因此$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$。
代入$S_{△ ABD}=4$，得$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×4=2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，连续两次运用该性质即可解题，熟练掌握中线的相关性质是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.85
本题可利用三角形中线的面积性质求解：三角形的中线会把三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据D是BC中点，先求出△ABD的面积；再根据E是AB中点，进一步求出△BDE的面积即可。
【解析】
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等底同高，因此$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=8$，代入得$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵点E是AB的中点，
∴DE是△ABD的中线，△BDE与△ADE等底同高，因此$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$。
代入$S_{△ ABD}=4$，得$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×4=2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，连续两次运用该性质即可解题，熟练掌握中线的相关性质是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.85
3. 如图,已知$△ ABC$的周长为33 cm,AD是边BC上的中线,$AB=\frac{3}{2}AC$.
(1)当$AC=10$ cm时,求$BD$的长.
(2)若$AC=12$ cm,能否求出$DC$的长?为什么?
(1)当$AC=10$ cm时,求$BD$的长.
(2)若$AC=12$ cm,能否求出$DC$的长?为什么?
答案
解：
(1) 因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×10=15\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-15-10=8\ \mathrm{cm}$。
因为AD是边BC上的中线，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能求出DC的长，理由如下：
因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×12=18\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-18-12=3\ \mathrm{cm}$。
因为 $AC+BC=12+3=15\ \mathrm{cm}＜18\ \mathrm{cm}=AB$，不满足三角形两边之和大于第三边，这样的$△ ABC$不存在，因此不能求出DC的长。
(1) 因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×10=15\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-15-10=8\ \mathrm{cm}$。
因为AD是边BC上的中线，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能求出DC的长，理由如下：
因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×12=18\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-18-12=3\ \mathrm{cm}$。
因为 $AC+BC=12+3=15\ \mathrm{cm}＜18\ \mathrm{cm}=AB$，不满足三角形两边之和大于第三边，这样的$△ ABC$不存在，因此不能求出DC的长。
解析
【分析】
(1) 解题思路：先根据AB和AC的数量关系求出AB的长度，再结合三角形周长公式计算出BC的长度，最后根据三角形中线平分对边的性质，即可求出BD的长度。
(2) 解题思路：先仿照第一问的步骤算出AB和BC的长度，再利用三角形三边关系判断这三条线段能否构成三角形，若不能构成三角形，则不存在对应的△ABC，也就无法求出DC的长。
【解析】
(1) 因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×10=15\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-15-10=8\ \mathrm{cm}$。
因为AD是边BC上的中线，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能求出DC的长，理由如下：
因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×12=18\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-18-12=3\ \mathrm{cm}$。
因为 $AC+BC=12+3=15\ \mathrm{cm}＜18\ \mathrm{cm}=AB$，不满足三角形两边之和大于第三边，这样的$△ ABC$不存在，因此不能求出DC的长。
【答案】
(1) $BD=4\ \mathrm{cm}$；
(2) 不能求出DC的长，因为此时三条线段不满足三角形三边关系，△ABC不存在。
【知识点】
三角形中线定义，三角形周长计算，三角形三边关系
【点评】
本题侧重考察三角形基础性质的应用，第一问为常规基础计算，第二问设置了易错点，需注意计算边长后要验证是否满足三角形存在的前提，避免忽略三边关系直接计算导致出错。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：先根据AB和AC的数量关系求出AB的长度，再结合三角形周长公式计算出BC的长度，最后根据三角形中线平分对边的性质，即可求出BD的长度。
(2) 解题思路：先仿照第一问的步骤算出AB和BC的长度，再利用三角形三边关系判断这三条线段能否构成三角形，若不能构成三角形，则不存在对应的△ABC，也就无法求出DC的长。
【解析】
(1) 因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×10=15\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-15-10=8\ \mathrm{cm}$。
因为AD是边BC上的中线，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能求出DC的长，理由如下：
因为 $AB=\frac{3}{2}AC$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=\frac{3}{2}×12=18\ \mathrm{cm}$。
又因为 $△ ABC$ 的周长为 $33\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=33-AB-AC=33-18-12=3\ \mathrm{cm}$。
因为 $AC+BC=12+3=15\ \mathrm{cm}＜18\ \mathrm{cm}=AB$，不满足三角形两边之和大于第三边，这样的$△ ABC$不存在，因此不能求出DC的长。
【答案】
(1) $BD=4\ \mathrm{cm}$；
(2) 不能求出DC的长，因为此时三条线段不满足三角形三边关系，△ABC不存在。
【知识点】
三角形中线定义，三角形周长计算，三角形三边关系
【点评】
本题侧重考察三角形基础性质的应用，第一问为常规基础计算，第二问设置了易错点，需注意计算边长后要验证是否满足三角形存在的前提，避免忽略三边关系直接计算导致出错。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,AD,CE是$△ ABC$的角平分线,$∠ BAC = 60°$,$∠ ACE = 40°$,则$∠ DAC =$ $°$,$∠ BCE =$ $°$,$∠ ACB =$ $°$. 
答案
解：
∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2} × 60° = 30°$。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠BCE = ∠ACE，∠ACB = 2∠ACE。
∵ ∠ACE=40°，
∴ ∠BCE=40°，∠ACB = $2 × 40° = 80°$。
答案依次为：$\boldsymbol{30}$，$\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{80}$。
∵ AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2} × 60° = 30°$。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠BCE = ∠ACE，∠ACB = 2∠ACE。
∵ ∠ACE=40°，
∴ ∠BCE=40°，∠ACB = $2 × 40° = 80°$。
答案依次为：$\boldsymbol{30}$，$\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{80}$。
解析
【分析】
解题时先明确角平分线的定义：角平分线会将一个角平均分成两个大小相等的角，每个小角的度数是原角的$\frac{1}{2}$。首先求$∠ DAC$：已知AD是$△ ABC$的角平分线，平分$∠ BAC$，因此$∠ DAC$的度数是$∠ BAC$的一半，代入已知$∠ BAC=60°$即可计算；接下来求$∠ BCE$和$∠ ACB$：已知CE是$△ ABC$的角平分线，平分$∠ ACB$，因此$∠ BCE=∠ ACE$，$∠ ACB$的度数是$∠ ACE$的2倍，代入已知$∠ ACE=40°$即可算出对应角度。
【解析】
$\because$ AD是$△ ABC$的角平分线，$∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
$\because$ CE是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACE$，$∠ ACB = 2∠ ACE$，
又$\because ∠ ACE = 40°$，
$\therefore ∠ BCE = 40°$，$∠ ACB = 2 × 40° = 80°$。
【答案】
30，40，80
【知识点】
角平分线的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的应用，解题关键是明确角平分线分出的两个角相等，均为原角的一半，计算难度低，熟记相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先明确角平分线的定义：角平分线会将一个角平均分成两个大小相等的角，每个小角的度数是原角的$\frac{1}{2}$。首先求$∠ DAC$：已知AD是$△ ABC$的角平分线，平分$∠ BAC$，因此$∠ DAC$的度数是$∠ BAC$的一半，代入已知$∠ BAC=60°$即可计算；接下来求$∠ BCE$和$∠ ACB$：已知CE是$△ ABC$的角平分线，平分$∠ ACB$，因此$∠ BCE=∠ ACE$，$∠ ACB$的度数是$∠ ACE$的2倍，代入已知$∠ ACE=40°$即可算出对应角度。
【解析】
$\because$ AD是$△ ABC$的角平分线，$∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
$\because$ CE是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACE$，$∠ ACB = 2∠ ACE$，
又$\because ∠ ACE = 40°$，
$\therefore ∠ BCE = 40°$，$∠ ACB = 2 × 40° = 80°$。
【答案】
30，40，80
【知识点】
角平分线的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的应用，解题关键是明确角平分线分出的两个角相等，均为原角的一半，计算难度低，熟记相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5. 如图，$AE // BC$，$AE$ 平分 $∠ DAC$. 求证: $∠ B = ∠ C$.
答案
证明：
∵ $AE // BC$，
∴ $∠ DAE = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），
$∠ EAC = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
又∵ $AE$ 平分 $∠ DAC$，
∴ $∠ DAE = ∠ EAC$。
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $AE // BC$，
∴ $∠ DAE = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），
$∠ EAC = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
又∵ $AE$ 平分 $∠ DAC$，
∴ $∠ DAE = ∠ EAC$。
∴ $∠ B = ∠ C$。
解析
【分析】
要证明∠B=∠C，可通过已知条件推导角的等量关系完成证明：首先根据AE//BC的性质，可得到两组相等的角：同位角∠DAE=∠B，内错角∠EAC=∠C；再结合AE平分∠DAC的条件，可得∠DAE=∠EAC，最后通过等量代换即可推导出∠B=∠C。
【解析】
证明：
∵ $AE // BC$，
∴ $∠DAE = ∠B$（两直线平行，同位角相等），
$∠EAC = ∠C$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $AE$ 平分 $∠DAC$，
∴ $∠DAE = ∠EAC$。
∴ $∠B = ∠C$。
【答案】
证明过程如上，可证得$\boldsymbol{∠B=∠C}$。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将平行线的角性质与角平分线的定义结合，通过中间角的等量关系完成推导，能够帮助学生掌握基础几何证明的逻辑梳理方法。
【难度系数】
0.8
要证明∠B=∠C，可通过已知条件推导角的等量关系完成证明：首先根据AE//BC的性质，可得到两组相等的角：同位角∠DAE=∠B，内错角∠EAC=∠C；再结合AE平分∠DAC的条件，可得∠DAE=∠EAC，最后通过等量代换即可推导出∠B=∠C。
【解析】
证明：
∵ $AE // BC$，
∴ $∠DAE = ∠B$（两直线平行，同位角相等），
$∠EAC = ∠C$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $AE$ 平分 $∠DAC$，
∴ $∠DAE = ∠EAC$。
∴ $∠B = ∠C$。
【答案】
证明过程如上，可证得$\boldsymbol{∠B=∠C}$。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将平行线的角性质与角平分线的定义结合，通过中间角的等量关系完成推导，能够帮助学生掌握基础几何证明的逻辑梳理方法。
【难度系数】
0.8
6. (2024 曲靖期末)在$△ ABC$中,作边$BC$上的高,下列选项中正确的是().
答案
解：根据三角形高的定义，△ABC中边BC上的高是过顶点A，且垂直于BC所在直线的线段。
选项A、B中的垂线均未经过顶点A，不符合高的要求；
选项D中的线段AD不与BC所在直线垂直，不符合高的要求；
选项C中的线段AD过点A，且AD垂直于BC所在直线，符合边BC上的高的定义。
所以正确选项是C。
选项A、B中的垂线均未经过顶点A，不符合高的要求；
选项D中的线段AD不与BC所在直线垂直，不符合高的要求；
选项C中的线段AD过点A，且AD垂直于BC所在直线，符合边BC上的高的定义。
所以正确选项是C。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。要找到BC边上的高，需同时满足两个条件：①线段过顶点A；②线段与BC所在的直线垂直。接下来逐一验证四个选项是否符合这两个条件，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义，△ABC中BC边上的高是过顶点A，且与BC所在直线垂直的线段。
选项A、B中的垂线没有经过顶点A，不符合BC边上高的要求；
选项D中的线段AD与BC所在直线不垂直，不符合要求；
选项C中的线段AD过顶点A，且AD垂直于BC所在的直线，符合BC边上高的定义。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对三角形高的定义的掌握，需要注意钝角三角形中钝角对应边上的高会落在边的延长线上，只要满足过对应顶点、垂直于对应边所在直线，就符合高的要求。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。要找到BC边上的高，需同时满足两个条件：①线段过顶点A；②线段与BC所在的直线垂直。接下来逐一验证四个选项是否符合这两个条件，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义，△ABC中BC边上的高是过顶点A，且与BC所在直线垂直的线段。
选项A、B中的垂线没有经过顶点A，不符合BC边上高的要求；
选项D中的线段AD与BC所在直线不垂直，不符合要求；
选项C中的线段AD过顶点A，且AD垂直于BC所在的直线，符合BC边上高的定义。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对三角形高的定义的掌握，需要注意钝角三角形中钝角对应边上的高会落在边的延长线上，只要满足过对应顶点、垂直于对应边所在直线，就符合高的要求。
【难度系数】
0.8
