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1.在平面直角坐标系中，点A(1,−1)和B(1,1)关于轴对称.
答案
x
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数。接下来观察两点的坐标特征，对比横、纵坐标的变化，匹配对应的对称规律即可得到答案。
【解析】
1. 明确坐标轴对称的点的坐标性质：
关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
2. 对比点A、B的坐标：
点A坐标为$(1,-1)$，点B坐标为$(1,1)$，两点横坐标均为1（相等），纵坐标$-1$和$1$互为相反数，符合关于x轴对称的点的坐标特征。
【答案】
x
【知识点】
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
2. 平面直角坐标系基础
【点评】
本题是轴对称相关知识的基础应用题，主要考查对坐标轴对称的点的坐标变化规律的掌握，熟练记忆不同对称关系下横、纵坐标的变化特点，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数。接下来观察两点的坐标特征，对比横、纵坐标的变化，匹配对应的对称规律即可得到答案。
【解析】
1. 明确坐标轴对称的点的坐标性质：
关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
2. 对比点A、B的坐标：
点A坐标为$(1,-1)$，点B坐标为$(1,1)$，两点横坐标均为1（相等），纵坐标$-1$和$1$互为相反数，符合关于x轴对称的点的坐标特征。
【答案】
x
【知识点】
1. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
2. 平面直角坐标系基础
【点评】
本题是轴对称相关知识的基础应用题，主要考查对坐标轴对称的点的坐标变化规律的掌握，熟练记忆不同对称关系下横、纵坐标的变化特点，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2.若点$A(m,1-n)$与点$B(-3,2)$关于$y$轴对称，则$m+n$的值是。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律，结合点A、B的坐标分别求出m和n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
∵ 关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，
又
∵ 点$A(m,1-n)$与点$B(-3,2)$关于y轴对称，
∴ $ m = -(-3) = 3 $，$ 1 - n = 2 $，
解$1-n=2$得：$n=1-2=-1$，
∴ $ m + n = 3 + (-1) = 2 $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律，熟练运用规律求解未知参数后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律，结合点A、B的坐标分别求出m和n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
∵ 关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，
又
∵ 点$A(m,1-n)$与点$B(-3,2)$关于y轴对称，
∴ $ m = -(-3) = 3 $，$ 1 - n = 2 $，
解$1-n=2$得：$n=1-2=-1$，
∴ $ m + n = 3 + (-1) = 2 $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律，熟练运用规律求解未知参数后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
3.若点$A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b)$关于$x$轴对称，则$ab$的值为.
答案
$\boldsymbol{40}$
解析
【分析】
首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个性质，结合点A、B的坐标列出二元一次方程组，解出a、b的值后，代入计算ab即可得到结果。
【解析】
∵点$A(2a-b,5+a)$，$B(2b-1,-a+b)$关于x轴对称
∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1&① \\(5+a) + (-a + b) = 0&② \end{cases}$
化简方程②：$5 + b = 0$，解得$b=-5$
将$b=-5$代入方程①：
$2a - (-5) = 2×(-5) -1$
$2a + 5 = -11$
$2a = -16$
解得$a=-8$
∴$ab=(-8)×(-5)=40$
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标性质、二元一次方程组的解法、代数式求值
【点评】
本题核心是考查平面直角坐标系中对称点的坐标特征，只要牢记不同对称关系下的坐标变化规律，结合方程组求解即可，计算过程简单，需要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个性质，结合点A、B的坐标列出二元一次方程组，解出a、b的值后，代入计算ab即可得到结果。
【解析】
∵点$A(2a-b,5+a)$，$B(2b-1,-a+b)$关于x轴对称
∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1&① \\(5+a) + (-a + b) = 0&② \end{cases}$
化简方程②：$5 + b = 0$，解得$b=-5$
将$b=-5$代入方程①：
$2a - (-5) = 2×(-5) -1$
$2a + 5 = -11$
$2a = -16$
解得$a=-8$
∴$ab=(-8)×(-5)=40$
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标性质、二元一次方程组的解法、代数式求值
【点评】
本题核心是考查平面直角坐标系中对称点的坐标特征，只要牢记不同对称关系下的坐标变化规律，结合方程组求解即可，计算过程简单，需要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
4.蜡烛平面镜成像的原理图如图所示，以桌面为$x$轴，镜面为$y$轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系.若某时刻火焰顶尖点$A$的坐标为$(-3,1-m)$，虚像中火焰顶尖点$A'$的坐标为$(n,5)$，则$m+n$的值为.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
首先明确平面镜成像的本质是轴对称，本题中镜面为y轴，因此火焰顶尖点A和它的虚像点A'关于y轴对称。接下来回忆关于y轴对称的点的坐标规律：两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律分别列等式求出m和n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
由题意可知，点A与点A'关于y轴对称。
关于y轴对称的两点坐标特征为：纵坐标相等，横坐标互为相反数。
已知$A(-3,1-m)$，$A'(n,5)$，因此：
纵坐标对应相等：$1 - m = 5$，解得$m = -4$；
横坐标互为相反数：$n = -(-3) = 3$；
所以$m + n = -4 + 3 = -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律，轴对称的性质
【点评】
本题结合平面镜成像的生活情境考查轴对称的坐标规律，解题的关键是将实际成像问题转化为平面直角坐标系中的轴对称问题，再利用对称点的坐标特征求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先明确平面镜成像的本质是轴对称，本题中镜面为y轴，因此火焰顶尖点A和它的虚像点A'关于y轴对称。接下来回忆关于y轴对称的点的坐标规律：两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律分别列等式求出m和n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
由题意可知，点A与点A'关于y轴对称。
关于y轴对称的两点坐标特征为：纵坐标相等，横坐标互为相反数。
已知$A(-3,1-m)$，$A'(n,5)$，因此：
纵坐标对应相等：$1 - m = 5$，解得$m = -4$；
横坐标互为相反数：$n = -(-3) = 3$；
所以$m + n = -4 + 3 = -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律，轴对称的性质
【点评】
本题结合平面镜成像的生活情境考查轴对称的坐标规律，解题的关键是将实际成像问题转化为平面直角坐标系中的轴对称问题，再利用对称点的坐标特征求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.已知点$O(0,0)$，点$A(3,4)$，$B$是点$A$关于$x$轴的对称点，在围成的$△ OAB$内部(不包含边界)，整点的个数共有个.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，根据关于x轴对称的点的坐标特征，先求出点B的坐标；第二步，求出△OAB三条边对应的直线解析式，明确三角形内部（不含边界）点的横、纵坐标的取值范围；第三步，对x的所有整数值分类讨论，找出每个x对应的符合取值要求的整数y的个数，相加即可得到总整点个数，注意边界上的整点要排除。
【解析】
解：
1. 求点B坐标：
因为B是A(3,4)关于x轴的对称点，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以B(3,-4)。
2. 求△OAB三边的直线解析式：
直线OA过(0,0)、(3,4)，设解析式为$y=kx$，代入(3,4)得$k=\frac{4}{3}$，即$y=\frac{4}{3}x$；
直线OB过(0,0)、(3,-4)，同理得解析式为$y=-\frac{4}{3}x$；
直线AB上的点横坐标均为3，即解析式为$x=3$。
3. 统计内部整点个数：
△OAB内部（不含边界）的点满足$0＜x＜3$，且$-\frac{4}{3}x ＜ y ＜ \frac{4}{3}x$，x为整数，故x可取1、2：
当$x=1$时，$-\frac{4}{3}＜y＜\frac{4}{3}$，即$-1.33＜y＜1.33$，整数y为-1、0、1，共3个；
当$x=2$时，$-\frac{8}{3}＜y＜\frac{8}{3}$，即$-2.66＜y＜2.66$，整数y为-2、-1、0、1、2，共5个。
总整点个数为$3+5=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化
2. 一次函数解析式求解
3. 整点概念
【点评】
本题结合轴对称性质和一次函数的应用考察整点计数，采用分类讨论x的整数值的方法计数，能有效避免遗漏或重复，解题时要特别注意题目“不含边界”的要求，边界上的整点不能计入总数。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步，根据关于x轴对称的点的坐标特征，先求出点B的坐标；第二步，求出△OAB三条边对应的直线解析式，明确三角形内部（不含边界）点的横、纵坐标的取值范围；第三步，对x的所有整数值分类讨论，找出每个x对应的符合取值要求的整数y的个数，相加即可得到总整点个数，注意边界上的整点要排除。
【解析】
解：
1. 求点B坐标：
因为B是A(3,4)关于x轴的对称点，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以B(3,-4)。
2. 求△OAB三边的直线解析式：
直线OA过(0,0)、(3,4)，设解析式为$y=kx$，代入(3,4)得$k=\frac{4}{3}$，即$y=\frac{4}{3}x$；
直线OB过(0,0)、(3,-4)，同理得解析式为$y=-\frac{4}{3}x$；
直线AB上的点横坐标均为3，即解析式为$x=3$。
3. 统计内部整点个数：
△OAB内部（不含边界）的点满足$0＜x＜3$，且$-\frac{4}{3}x ＜ y ＜ \frac{4}{3}x$，x为整数，故x可取1、2：
当$x=1$时，$-\frac{4}{3}＜y＜\frac{4}{3}$，即$-1.33＜y＜1.33$，整数y为-1、0、1，共3个；
当$x=2$时，$-\frac{8}{3}＜y＜\frac{8}{3}$，即$-2.66＜y＜2.66$，整数y为-2、-1、0、1、2，共5个。
总整点个数为$3+5=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化
2. 一次函数解析式求解
3. 整点概念
【点评】
本题结合轴对称性质和一次函数的应用考察整点计数，采用分类讨论x的整数值的方法计数，能有效避免遗漏或重复，解题时要特别注意题目“不含边界”的要求，边界上的整点不能计入总数。
【难度系数】
0.6
6.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.
(1)在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁.
(2)分别写出以下顶点的坐标：
A₁ ；B₁ ；
C₁ .
(3)在x轴上找一点P，使$ S_{△ ABP} = \frac{3}{4} S_{△ ABC} $，求出点P的坐标.
(1)在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁.
(2)分别写出以下顶点的坐标：
A₁ ；B₁ ；
C₁ .
(3)在x轴上找一点P，使$ S_{△ ABP} = \frac{3}{4} S_{△ ABC} $，求出点P的坐标.
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
(2) $A_1 \boldsymbol{(4,3)}$；$B_1 \boldsymbol{(-3,0)}$；$C_1 \boldsymbol{(2,5)}$。
(3) 用割补法计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC} = 5×7 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×5×5 - \frac{1}{2}×7×3 = 35 - 2 - 12.5 - 10.5 = 10$
则 $S_{△ ABP} = \frac{3}{4}S_{△ ABC} = \frac{3}{4}×10 = \frac{15}{2}$
设点P的坐标为$(x,0)$，由于点P、B都在x轴上，$△ ABP$的边BP上的高等于点A到x轴的距离，即高为3。
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |x-3| × 3 = \frac{15}{2}$
化简得 $|x-3|=5$，解得 $x=8$ 或 $x=-2$。
所以点P的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$。
(1) 分别作出点A、B、C关于y轴的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
(2) $A_1 \boldsymbol{(4,3)}$；$B_1 \boldsymbol{(-3,0)}$；$C_1 \boldsymbol{(2,5)}$。
(3) 用割补法计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC} = 5×7 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×5×5 - \frac{1}{2}×7×3 = 35 - 2 - 12.5 - 10.5 = 10$
则 $S_{△ ABP} = \frac{3}{4}S_{△ ABC} = \frac{3}{4}×10 = \frac{15}{2}$
设点P的坐标为$(x,0)$，由于点P、B都在x轴上，$△ ABP$的边BP上的高等于点A到x轴的距离，即高为3。
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |x-3| × 3 = \frac{15}{2}$
化简得 $|x-3|=5$，解得 $x=8$ 或 $x=-2$。
所以点P的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$。
解析
【分析】
(1) 作关于y轴对称的三角形，首先要明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数。先找到△ABC三个顶点A、B、C的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 先确定原三角形各顶点坐标：A(-4,3)、B(3,0)、C(-2,5)，根据关于y轴对称的点的坐标特征，直接写出对应对称点的坐标即可。
(3) 首先用割补法计算△ABC的面积：将三角形放入外接矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积得到△ABC的面积。再根据题意算出△ABP的面积，由于点P和B都在x轴上，△ABP的高等于点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值3），设P(x,0)，根据三角形面积公式列含绝对值的方程，求解即可得到P的坐标，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 步骤：① 确定点A(-4,3)、B(3,0)、C(-2,5)关于y轴的对称点：A₁(4,3)、B₁(-3,0)、C₁(2,5)；② 依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数），可得对应点坐标。
(3) 计算△ABC的面积：用割补法，将△ABC放入长为7、宽为5的矩形中，
$S_{△ABC} = 5×7 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×5×5 - \frac{1}{2}×7×3 = 35 - 2 - 12.5 - 10.5 = 10$，
则$S_{△ABP} = \frac{3}{4}S_{△ABC} = \frac{3}{4}×10 = \frac{15}{2}$。
设点P坐标为$(x,0)$，△ABP中边BP上的高为点A到x轴的距离，即高为3，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2} × |x-3| × 3 = \frac{15}{2}$，
化简得$|x-3|=5$，解得$x=8$或$x=-2$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boldsymbol{(4,3)}$；$\boldsymbol{(-3,0)}$；$\boldsymbol{(2,5)}$；
(3) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$或$\boldsymbol{(8,0)}$。
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 割补法求图形面积
3. 三角形面积公式应用
【点评】
本题综合考查了轴对称作图、坐标与图形的性质以及结合面积的动点问题，既注重对基础概念的考察，也需要掌握方程思想和分类讨论思想，求解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 作关于y轴对称的三角形，首先要明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数。先找到△ABC三个顶点A、B、C的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 先确定原三角形各顶点坐标：A(-4,3)、B(3,0)、C(-2,5)，根据关于y轴对称的点的坐标特征，直接写出对应对称点的坐标即可。
(3) 首先用割补法计算△ABC的面积：将三角形放入外接矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积得到△ABC的面积。再根据题意算出△ABP的面积，由于点P和B都在x轴上，△ABP的高等于点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值3），设P(x,0)，根据三角形面积公式列含绝对值的方程，求解即可得到P的坐标，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 步骤：① 确定点A(-4,3)、B(3,0)、C(-2,5)关于y轴的对称点：A₁(4,3)、B₁(-3,0)、C₁(2,5)；② 依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数），可得对应点坐标。
(3) 计算△ABC的面积：用割补法，将△ABC放入长为7、宽为5的矩形中，
$S_{△ABC} = 5×7 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×5×5 - \frac{1}{2}×7×3 = 35 - 2 - 12.5 - 10.5 = 10$，
则$S_{△ABP} = \frac{3}{4}S_{△ABC} = \frac{3}{4}×10 = \frac{15}{2}$。
设点P坐标为$(x,0)$，△ABP中边BP上的高为点A到x轴的距离，即高为3，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2} × |x-3| × 3 = \frac{15}{2}$，
化简得$|x-3|=5$，解得$x=8$或$x=-2$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boldsymbol{(4,3)}$；$\boldsymbol{(-3,0)}$；$\boldsymbol{(2,5)}$；
(3) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$或$\boldsymbol{(8,0)}$。
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 割补法求图形面积
3. 三角形面积公式应用
【点评】
本题综合考查了轴对称作图、坐标与图形的性质以及结合面积的动点问题，既注重对基础概念的考察，也需要掌握方程思想和分类讨论思想，求解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
