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1.计算:$(x+2)·(x-1)=$
.
.
答案
解：
$\begin{aligned}(x+2)·(x-1)&=x· x - x·1 + 2· x - 2×1\\&=x^2 - x + 2x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
最终结果为 $\boldsymbol{x^2 + x - 2}$。
$\begin{aligned}(x+2)·(x-1)&=x· x - x·1 + 2· x - 2×1\\&=x^2 - x + 2x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
最终结果为 $\boldsymbol{x^2 + x - 2}$。
解析
【分析】
本题是多项式乘多项式的基础运算题，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所有相乘得到的积相加；之后对得到的式子找出其中的同类项，合并同类项后就能得到最终化简结果。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(x+2)·(x-1)&=x· x - x·1 + 2· x - 2×1\\&=x^2 - x + 2x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{x^2 + x - 2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，运算过程中要注意不要漏乘任意一项，合并同类项时只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，熟练掌握运算法则是正确解题的核心。
【难度系数】
0.9
本题是多项式乘多项式的基础运算题，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所有相乘得到的积相加；之后对得到的式子找出其中的同类项，合并同类项后就能得到最终化简结果。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(x+2)·(x-1)&=x· x - x·1 + 2· x - 2×1\\&=x^2 - x + 2x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{x^2 + x - 2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，运算过程中要注意不要漏乘任意一项，合并同类项时只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，熟练掌握运算法则是正确解题的核心。
【难度系数】
0.9
2.若$(x+2)(x-4)=x^2+ax-8$，则a的值为。
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
本题可先根据多项式乘多项式的运算法则展开等号左侧的式子，再将展开后的式子与等号右侧的式子对比，根据同类项对应系数相等的规则即可求出a的值。解题思路：第一步计算左侧多项式的乘积，第二步合并同类项，第三步对比左右两边一次项的系数得到a的取值。
【解析】
先计算等号左侧的多项式乘法：
$\begin{aligned}(x+2)(x-4)&=x· x + x·(-4) + 2· x + 2·(-4)\\&=x^2 -4x +2x -8\\&=x^2 -2x -8\end{aligned}$
已知$(x+2)(x-4)=x^2+ax-8$，因此可得$x^2 -2x -8 = x^2 +ax -8$。
两个多项式相等时，同类项的对应系数相等，等号两侧二次项系数、常数项均相等，因此一次项系数也相等，即$a=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式乘多项式；多项式恒等条件
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查多项式乘法的运算能力和对多项式相等条件的理解，运算时注意符号问题即可正确求解。
【难度系数】
0.9
本题可先根据多项式乘多项式的运算法则展开等号左侧的式子，再将展开后的式子与等号右侧的式子对比，根据同类项对应系数相等的规则即可求出a的值。解题思路：第一步计算左侧多项式的乘积，第二步合并同类项，第三步对比左右两边一次项的系数得到a的取值。
【解析】
先计算等号左侧的多项式乘法：
$\begin{aligned}(x+2)(x-4)&=x· x + x·(-4) + 2· x + 2·(-4)\\&=x^2 -4x +2x -8\\&=x^2 -2x -8\end{aligned}$
已知$(x+2)(x-4)=x^2+ax-8$，因此可得$x^2 -2x -8 = x^2 +ax -8$。
两个多项式相等时，同类项的对应系数相等，等号两侧二次项系数、常数项均相等，因此一次项系数也相等，即$a=-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式乘多项式；多项式恒等条件
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查多项式乘法的运算能力和对多项式相等条件的理解，运算时注意符号问题即可正确求解。
【难度系数】
0.9
3.若$a - b = 6$，$ab = 5$，则$(a + 1)(b - 1) =$.
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
首先观察已知条件给出的是$a-b$和$ab$的整体值，所求代数式是两个多项式的乘积，解题思路为：第一步先利用多项式乘多项式的法则将$(a+1)(b-1)$展开，第二步对展开后的式子整理变形，凑出含有$a-b$和$ab$的形式，最后将已知的数值整体代入计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
第一步：利用多项式乘多项式法则展开所求代数式：
$\begin{aligned}(a+1)(b-1)&=a· b + a· (-1) + 1· b + 1· (-1)\\&=ab - a + b - 1\end{aligned}$
第二步：对展开后的式子变形，凑出已知的$a-b$结构：
$ab - a + b -1 = ab - (a - b) -1$
第三步：将$a - b = 6$，$ab = 5$整体代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5 - 6 - 1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式乘多项式；整式化简求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础的整式运算类题目，解题的核心是熟练掌握多项式乘法的展开规则，灵活运用整体代入的思想求解，避免不必要的单个字母求解运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件给出的是$a-b$和$ab$的整体值，所求代数式是两个多项式的乘积，解题思路为：第一步先利用多项式乘多项式的法则将$(a+1)(b-1)$展开，第二步对展开后的式子整理变形，凑出含有$a-b$和$ab$的形式，最后将已知的数值整体代入计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
第一步：利用多项式乘多项式法则展开所求代数式：
$\begin{aligned}(a+1)(b-1)&=a· b + a· (-1) + 1· b + 1· (-1)\\&=ab - a + b - 1\end{aligned}$
第二步：对展开后的式子变形，凑出已知的$a-b$结构：
$ab - a + b -1 = ab - (a - b) -1$
第三步：将$a - b = 6$，$ab = 5$整体代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5 - 6 - 1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
多项式乘多项式；整式化简求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础的整式运算类题目，解题的核心是熟练掌握多项式乘法的展开规则，灵活运用整体代入的思想求解，避免不必要的单个字母求解运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.若$(x+2)(x+m)=x^2+nx-6$，则$mn=$
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题思路：要计算mn的值，首先需要求出m、n的取值。第一步先根据多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开，合并同类项后，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，分别列出关于m、n的方程，求解得到m、n后代入计算mn即可。
【解析】
第一步：展开等式左边的乘积
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$(x+2)(x+m)=x· x + x· m + 2· x + 2· m = x^2 + mx + 2x + 2m$
合并同类项后得：$x^2 + (m+2)x + 2m$
第二步：根据多项式相等的条件列方程
已知$(x+2)(x+m)=x^2+nx-6$，因此等式左右两边同类项的系数相等：
常数项对应相等：$2m = -6$
一次项系数对应相等：$m+2 = n$
第三步：求解m、n的值
解方程$2m=-6$，得$m=-3$
将$m=-3$代入$m+2=n$，得$n=-3+2=-1$
第四步：计算mn的值
$mn=(-3)×(-1)=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 多项式乘多项式法则
2. 多项式相等的系数对应关系
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，核心是利用多项式相等时对应项系数相等的性质求解未知参数，熟练掌握多项式乘法运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路：要计算mn的值，首先需要求出m、n的取值。第一步先根据多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开，合并同类项后，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，分别列出关于m、n的方程，求解得到m、n后代入计算mn即可。
【解析】
第一步：展开等式左边的乘积
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$(x+2)(x+m)=x· x + x· m + 2· x + 2· m = x^2 + mx + 2x + 2m$
合并同类项后得：$x^2 + (m+2)x + 2m$
第二步：根据多项式相等的条件列方程
已知$(x+2)(x+m)=x^2+nx-6$，因此等式左右两边同类项的系数相等：
常数项对应相等：$2m = -6$
一次项系数对应相等：$m+2 = n$
第三步：求解m、n的值
解方程$2m=-6$，得$m=-3$
将$m=-3$代入$m+2=n$，得$n=-3+2=-1$
第四步：计算mn的值
$mn=(-3)×(-1)=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 多项式乘多项式法则
2. 多项式相等的系数对应关系
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，核心是利用多项式相等时对应项系数相等的性质求解未知参数，熟练掌握多项式乘法运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示$(m＞1)$.若甲、乙的面积分别为$S_{1},S_{2}$,则$S_{1}$ (填“＞”“＜”或“=”)$S_{2}$.
答案
$＜$
解析
【分析】
要比较两个长方形面积的大小，首先根据长方形面积公式“面积=长×宽”分别列出$S_1$、$S_2$的代数式，再通过多项式乘多项式法则展开两个代数式，然后用作差法计算$S_1-S_2$，最后结合$m＞1$的条件判断差的正负：若差为正，则$S_1＞S_2$；若差为负，则$S_1＜S_2$。
【解析】
1. 计算甲的面积$S_1$：
甲的长为$m+3$，宽为$m+2$，因此
$S_1=(m+3)(m+2)=m^2+2m+3m+6=m^2+5m+6$
2. 计算乙的面积$S_2$：
乙的长为$m+5$，宽为$m+1$，因此
$S_2=(m+5)(m+1)=m^2+m+5m+5=m^2+6m+5$
3. 作差比较大小：
$S_1-S_2=(m^2+5m+6)-(m^2+6m+5)$
去括号、合并同类项得：
$S_1-S_2=-m+1=1-m$
已知$m＞1$，因此$1-m＜0$，即$S_1-S_2＜0$，可得$S_1＜S_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小，整式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握多项式乘法的运算规则，灵活运用作差法比较代数式的大小，计算时需注意去括号时的符号变化，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.8
要比较两个长方形面积的大小，首先根据长方形面积公式“面积=长×宽”分别列出$S_1$、$S_2$的代数式，再通过多项式乘多项式法则展开两个代数式，然后用作差法计算$S_1-S_2$，最后结合$m＞1$的条件判断差的正负：若差为正，则$S_1＞S_2$；若差为负，则$S_1＜S_2$。
【解析】
1. 计算甲的面积$S_1$：
甲的长为$m+3$，宽为$m+2$，因此
$S_1=(m+3)(m+2)=m^2+2m+3m+6=m^2+5m+6$
2. 计算乙的面积$S_2$：
乙的长为$m+5$，宽为$m+1$，因此
$S_2=(m+5)(m+1)=m^2+m+5m+5=m^2+6m+5$
3. 作差比较大小：
$S_1-S_2=(m^2+5m+6)-(m^2+6m+5)$
去括号、合并同类项得：
$S_1-S_2=-m+1=1-m$
已知$m＞1$，因此$1-m＜0$，即$S_1-S_2＜0$，可得$S_1＜S_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小，整式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握多项式乘法的运算规则，灵活运用作差法比较代数式的大小，计算时需注意去括号时的符号变化，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.8
6.计算:$2x(x-2)+(4+2x)(2-x).$
答案
解：
原式$=2x^2 - 4x + 4×2 - 4x + 2x·2 - 2x^2$
$=2x^2 - 4x + 8 - 4x + 4x - 2x^2$
$=(2x^2 - 2x^2) + (-4x -4x +4x) + 8$
$=-4x + 8$
原式$=2x^2 - 4x + 4×2 - 4x + 2x·2 - 2x^2$
$=2x^2 - 4x + 8 - 4x + 4x - 2x^2$
$=(2x^2 - 2x^2) + (-4x -4x +4x) + 8$
$=-4x + 8$
解析
【分析】
这是整式的混合运算题，解题思路分为两步：第一步先根据整式乘法的法则分别计算两个乘法算式，先算单项式乘多项式$2x(x-2)$，再算多项式乘多项式$(4+2x)(2-x)$，展开时要注意用前一个因式的每一项乘后一个因式的每一项，不要漏乘，同时注意符号的正负；第二步将展开后的所有项合并同类项，把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到化简结果。
【解析】
原式$=2x^2 - 4x + 4×2 - 4x + 2x·2 - 2x^2$
$=2x^2 - 4x + 8 - 4x + 4x - 2x^2$
$=(2x^2 - 2x^2) + (-4x -4x +4x) + 8$
$=-4x + 8$
【答案】
$-4x+8$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，重点考查整式乘法运算法则的掌握程度，计算时需注意展开过程不要漏乘项，处理负号时要细心，合并同类项时需准确识别同类项再进行加减。
【难度系数】
0.8
这是整式的混合运算题，解题思路分为两步：第一步先根据整式乘法的法则分别计算两个乘法算式，先算单项式乘多项式$2x(x-2)$，再算多项式乘多项式$(4+2x)(2-x)$，展开时要注意用前一个因式的每一项乘后一个因式的每一项，不要漏乘，同时注意符号的正负；第二步将展开后的所有项合并同类项，把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到化简结果。
【解析】
原式$=2x^2 - 4x + 4×2 - 4x + 2x·2 - 2x^2$
$=2x^2 - 4x + 8 - 4x + 4x - 2x^2$
$=(2x^2 - 2x^2) + (-4x -4x +4x) + 8$
$=-4x + 8$
【答案】
$-4x+8$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，重点考查整式乘法运算法则的掌握程度，计算时需注意展开过程不要漏乘项，处理负号时要细心，合并同类项时需准确识别同类项再进行加减。
【难度系数】
0.8
7.已知代数式$A=x^2+mx-3,B=2x+n$.
(1)若$A$与$B$的积中不含$x$的二次项,且常数项为$-6$,求$m,n$的值;
(2)在(1)的条件下,求$(m+n)(m^2-mn+n^2)$的值.
(1)若$A$与$B$的积中不含$x$的二次项,且常数项为$-6$,求$m,n$的值;
(2)在(1)的条件下,求$(m+n)(m^2-mn+n^2)$的值.
答案
解：
(1) 计算A与B的积：
$\begin{aligned}A· B&=(x^2+mx-3)(2x+n)\\&=2x^3 + nx^2 + 2mx^2 + mnx -6x -3n\\&=2x^3 + (n+2m)x^2 + (mn-6)x -3n\end{aligned}$
由题意，积中不含x的二次项且常数项为-6，可得方程组：
$\begin{cases}n + 2m = 0 \\-3n = -6\end{cases}$
由$-3n=-6$解得$n=2$，将$n=2$代入$n+2m=0$，得$2+2m=0$，解得$m=-1$。
即$m=-1$，$n=2$。
(2) 将$m=-1$，$n=2$代入$(m+n)(m^2 - mn +n^2)$：
$\begin{aligned}(m+n)(m^2 - mn +n^2)&=(-1+2)×[(-1)^2 - (-1)×2 + 2^2]\\&=1×(1 + 2 + 4)\\&=7\end{aligned}$
(1) 计算A与B的积：
$\begin{aligned}A· B&=(x^2+mx-3)(2x+n)\\&=2x^3 + nx^2 + 2mx^2 + mnx -6x -3n\\&=2x^3 + (n+2m)x^2 + (mn-6)x -3n\end{aligned}$
由题意，积中不含x的二次项且常数项为-6，可得方程组：
$\begin{cases}n + 2m = 0 \\-3n = -6\end{cases}$
由$-3n=-6$解得$n=2$，将$n=2$代入$n+2m=0$，得$2+2m=0$，解得$m=-1$。
即$m=-1$，$n=2$。
(2) 将$m=-1$，$n=2$代入$(m+n)(m^2 - mn +n^2)$：
$\begin{aligned}(m+n)(m^2 - mn +n^2)&=(-1+2)×[(-1)^2 - (-1)×2 + 2^2]\\&=1×(1 + 2 + 4)\\&=7\end{aligned}$
解析
【分析】
解决本题可分两步思考：①第(1)问：先根据多项式乘多项式的运算法则计算A与B的乘积，合并同类项后整理为按x降幂排列的形式；结合“积中不含x的二次项”即二次项系数为0，“常数项为-6”即常数项等于-6，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。②第(2)问：将第(1)问求出的m、n的值直接代入所求代数式，按照有理数的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算A与B的乘积：
$\begin{aligned}A· B&=(x^2+mx-3)(2x+n)\\&=2x^3 + nx^2 + 2mx^2 + mnx -6x -3n\\&=2x^3 + (n+2m)x^2 + (mn-6)x -3n\end{aligned}$
根据题意，积中不含x的二次项，且常数项为-6，可得方程组：
$\begin{cases}n + 2m = 0 \\-3n = -6\end{cases}$
先解方程$-3n=-6$，得$n=2$，将$n=2$代入$n+2m=0$，可得$2+2m=0$，解得$m=-1$。
(2) 将$m=-1$，$n=2$代入$(m+n)(m^2 - mn +n^2)$计算：
$\begin{aligned}(m+n)(m^2 - mn +n^2)&=(-1+2)×[(-1)^2 - (-1)×2 + 2^2]\\&=1×(1 + 2 + 4)\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1)$m=-1$，$n=2$；(2)$7$
【知识点】
多项式乘多项式；二元一次方程组的应用；代数式求值
【点评】
本题解题的核心是理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”的规则，计算过程中要注意多项式相乘时不要漏乘项，代入求值时要注意负数的符号运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题可分两步思考：①第(1)问：先根据多项式乘多项式的运算法则计算A与B的乘积，合并同类项后整理为按x降幂排列的形式；结合“积中不含x的二次项”即二次项系数为0，“常数项为-6”即常数项等于-6，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。②第(2)问：将第(1)问求出的m、n的值直接代入所求代数式，按照有理数的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算A与B的乘积：
$\begin{aligned}A· B&=(x^2+mx-3)(2x+n)\\&=2x^3 + nx^2 + 2mx^2 + mnx -6x -3n\\&=2x^3 + (n+2m)x^2 + (mn-6)x -3n\end{aligned}$
根据题意，积中不含x的二次项，且常数项为-6，可得方程组：
$\begin{cases}n + 2m = 0 \\-3n = -6\end{cases}$
先解方程$-3n=-6$，得$n=2$，将$n=2$代入$n+2m=0$，可得$2+2m=0$，解得$m=-1$。
(2) 将$m=-1$，$n=2$代入$(m+n)(m^2 - mn +n^2)$计算：
$\begin{aligned}(m+n)(m^2 - mn +n^2)&=(-1+2)×[(-1)^2 - (-1)×2 + 2^2]\\&=1×(1 + 2 + 4)\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1)$m=-1$，$n=2$；(2)$7$
【知识点】
多项式乘多项式；二元一次方程组的应用；代数式求值
【点评】
本题解题的核心是理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”的规则，计算过程中要注意多项式相乘时不要漏乘项，代入求值时要注意负数的符号运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 提升题 如图，在一块长为$(3a+b)\mathrm{m}$，宽为$(3a-b)\mathrm{m}$的长方形空地四周修建宽均为$(a-b)\mathrm{m}$的小路，剩余部分种植草坪（图中阴影部分）。
（1）列式计算出种植草坪的面积并化简；
（2）当$a=10,b=4$时，小路的面积是多少平方米？
（1）列式计算出种植草坪的面积并化简；
（2）当$a=10,b=4$时，小路的面积是多少平方米？
答案
解：
(1) 种植草坪的长方形的长为：
$(3a+b)-2(a-b)=3a+b-2a+2b=a+3b$
种植草坪的长方形的宽为：
$(3a-b)-2(a-b)=3a-b-2a+2b=a+b$
因此种植草坪的面积为：
$\begin{aligned}(a+3b)(a+b)&=a^2+ab+3ab+3b^2\\&=a^2+4ab+3b^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 长方形空地的总面积为：
$(3a+b)(3a-b)=9a^2-b^2 \ (\mathrm{m}^2)$
小路的面积为空地总面积减去草坪面积：
$\begin{aligned}&(9a^2-b^2)-(a^2+4ab+3b^2)\\=&9a^2-b^2-a^2-4ab-3b^2\\=&8a^2-4ab-4b^2\end{aligned}$
将$a=10,b=4$代入上式：
$\begin{aligned}&8×10^2 -4×10×4 -4×4^2\\=&800-160-64\\=&576\end{aligned}$
答：小路的面积是576平方米。
(1) 种植草坪的长方形的长为：
$(3a+b)-2(a-b)=3a+b-2a+2b=a+3b$
种植草坪的长方形的宽为：
$(3a-b)-2(a-b)=3a-b-2a+2b=a+b$
因此种植草坪的面积为：
$\begin{aligned}(a+3b)(a+b)&=a^2+ab+3ab+3b^2\\&=a^2+4ab+3b^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 长方形空地的总面积为：
$(3a+b)(3a-b)=9a^2-b^2 \ (\mathrm{m}^2)$
小路的面积为空地总面积减去草坪面积：
$\begin{aligned}&(9a^2-b^2)-(a^2+4ab+3b^2)\\=&9a^2-b^2-a^2-4ab-3b^2\\=&8a^2-4ab-4b^2\end{aligned}$
将$a=10,b=4$代入上式：
$\begin{aligned}&8×10^2 -4×10×4 -4×4^2\\=&800-160-64\\=&576\end{aligned}$
答：小路的面积是576平方米。
解析
【分析】
（1）求草坪面积首先要明确草坪为长方形，需先推导它的长和宽：大长方形的长、宽分别减去左右、上下两侧的小路宽度（每侧小路宽都是$(a-b)\mathrm{m}$，因此要减$2(a-b)$），再根据长方形面积公式“面积=长×宽”，用多项式乘多项式法则化简即可得到草坪面积。
（2）求小路面积可利用“小路面积=大长方形空地总面积-草坪面积”计算：先用平方差公式算出大长方形总面积，减去第一问得到的草坪面积得到小路面积的表达式，最后代入$a=10,b=4$求值即可。
【解析】
(1) 先计算种植草坪的长方形的长和宽：
长：$(3a+b)-2(a-b)=3a+b-2a+2b=a+3b \ (\mathrm{m})$
宽：$(3a-b)-2(a-b)=3a-b-2a+2b=a+b \ (\mathrm{m})$
因此种植草坪的面积为：
$\begin{aligned}(a+3b)(a+b)&=a^2+ab+3ab+3b^2\\&=a^2+4ab+3b^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 先计算长方形空地的总面积，利用平方差公式计算：
$(3a+b)(3a-b)=9a^2-b^2 \ (\mathrm{m}^2)$
小路的面积为空地总面积减去草坪面积：
$\begin{aligned}&(9a^2-b^2)-(a^2+4ab+3b^2)\\=&9a^2-b^2-a^2-4ab-3b^2\\=&8a^2-4ab-4b^2\end{aligned}$
将$a=10,b=4$代入上式：
$\begin{aligned}&8×10^2 -4×10×4 -4×4^2\\=&800-160-64\\=&576 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
（1）种植草坪的面积为$\boldsymbol{(a^2+4ab+3b^2)\mathrm{m}^2}$；
（2）小路的面积是$\boldsymbol{576}$平方米。
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题结合几何场景考查整式运算的实际应用，解题的核心是结合图形准确推导草坪的边长，再熟练运用整式运算法则、乘法公式化简计算，解题时需注意小路分布在空地四周，计算草坪边长时要减去两侧的小路宽度，避免漏乘2导致出错。
【难度系数】
0.65
（1）求草坪面积首先要明确草坪为长方形，需先推导它的长和宽：大长方形的长、宽分别减去左右、上下两侧的小路宽度（每侧小路宽都是$(a-b)\mathrm{m}$，因此要减$2(a-b)$），再根据长方形面积公式“面积=长×宽”，用多项式乘多项式法则化简即可得到草坪面积。
（2）求小路面积可利用“小路面积=大长方形空地总面积-草坪面积”计算：先用平方差公式算出大长方形总面积，减去第一问得到的草坪面积得到小路面积的表达式，最后代入$a=10,b=4$求值即可。
【解析】
(1) 先计算种植草坪的长方形的长和宽：
长：$(3a+b)-2(a-b)=3a+b-2a+2b=a+3b \ (\mathrm{m})$
宽：$(3a-b)-2(a-b)=3a-b-2a+2b=a+b \ (\mathrm{m})$
因此种植草坪的面积为：
$\begin{aligned}(a+3b)(a+b)&=a^2+ab+3ab+3b^2\\&=a^2+4ab+3b^2 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 先计算长方形空地的总面积，利用平方差公式计算：
$(3a+b)(3a-b)=9a^2-b^2 \ (\mathrm{m}^2)$
小路的面积为空地总面积减去草坪面积：
$\begin{aligned}&(9a^2-b^2)-(a^2+4ab+3b^2)\\=&9a^2-b^2-a^2-4ab-3b^2\\=&8a^2-4ab-4b^2\end{aligned}$
将$a=10,b=4$代入上式：
$\begin{aligned}&8×10^2 -4×10×4 -4×4^2\\=&800-160-64\\=&576 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
（1）种植草坪的面积为$\boldsymbol{(a^2+4ab+3b^2)\mathrm{m}^2}$；
（2）小路的面积是$\boldsymbol{576}$平方米。
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题结合几何场景考查整式运算的实际应用，解题的核心是结合图形准确推导草坪的边长，再熟练运用整式运算法则、乘法公式化简计算，解题时需注意小路分布在空地四周，计算草坪边长时要减去两侧的小路宽度，避免漏乘2导致出错。
【难度系数】
0.65
