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1. 计算：$(-\dfrac{1}{3})^{5} ÷ (-\dfrac{1}{3})^{2} =$
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{27}}$
解析
【分析】
本题是同底数幂的除法运算，解题思路如下：第一步，先识别运算类型，两个幂的底数均为$-\dfrac{1}{3}$，属于同底数幂相除，可直接运用同底数幂的除法法则简化运算；第二步，运用法则计算时，底数保持不变，指数相减得到新的指数；第三步，计算得到的幂的结果，注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正，最后算出数值即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数，且$m＞n$），计算过程如下：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{3})^{5} ÷ (-\dfrac{1}{3})^{2}&=(-\dfrac{1}{3})^{5-2}\\&=(-\dfrac{1}{3})^3\\&=-\dfrac{1^3}{3^3}\\&=-\dfrac{1}{27}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{27}$
【知识点】
同底数幂的除法、有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同底数幂除法法则的掌握情况，运算时注意底数的符号和指数运算的准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是同底数幂的除法运算，解题思路如下：第一步，先识别运算类型，两个幂的底数均为$-\dfrac{1}{3}$，属于同底数幂相除，可直接运用同底数幂的除法法则简化运算；第二步，运用法则计算时，底数保持不变，指数相减得到新的指数；第三步，计算得到的幂的结果，注意负数的奇次幂为负，偶次幂为正，最后算出数值即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数，且$m＞n$），计算过程如下：
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{3})^{5} ÷ (-\dfrac{1}{3})^{2}&=(-\dfrac{1}{3})^{5-2}\\&=(-\dfrac{1}{3})^3\\&=-\dfrac{1^3}{3^3}\\&=-\dfrac{1}{27}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{1}{27}$
【知识点】
同底数幂的除法、有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同底数幂除法法则的掌握情况，运算时注意底数的符号和指数运算的准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.计算:
(1)$y^6 ÷ y^2 =$ ;
(2)$(-a)^5 ÷ (-a)^3 =$ ;
(3)$-y^{2n+1} ÷ y^{n+1} =$ ;
(4)$-8xy^2 ÷ 2xy =$ .
(1)$y^6 ÷ y^2 =$ ;
(2)$(-a)^5 ÷ (-a)^3 =$ ;
(3)$-y^{2n+1} ÷ y^{n+1} =$ ;
(4)$-8xy^2 ÷ 2xy =$ .
答案
解：
(1) $y^6 ÷ y^2 = y^{6-2} = y^4$
(2) $(-a)^5 ÷ (-a)^3 = (-a)^{5-3} = (-a)^2 = a^2$
(3) $-y^{2n+1} ÷ y^{n+1} = -y^{(2n+1)-(n+1)} = -y^n$
(4) $-8xy^2 ÷ 2xy = (-8÷2) · (x÷ x) · (y^2 ÷ y) = -4y$
(1) $y^6 ÷ y^2 = y^{6-2} = y^4$
(2) $(-a)^5 ÷ (-a)^3 = (-a)^{5-3} = (-a)^2 = a^2$
(3) $-y^{2n+1} ÷ y^{n+1} = -y^{(2n+1)-(n+1)} = -y^n$
(4) $-8xy^2 ÷ 2xy = (-8÷2) · (x÷ x) · (y^2 ÷ y) = -4y$
解析
【分析】
这组题目均考查整式的除法运算，解题思路如下：①首先判断运算类型：前3题属于同底数幂的除法，第4题属于单项式除以单项式；②对应法则计算：同底数幂相除，底数不变，指数相减；单项式除以单项式，将系数、同底数幂分别相除，只在被除式中含有的字母连同指数作为商的因式；③注意细节：计算时要留意负号的处理，负数的偶次幂结果为正，指数做减法运算时要注意整式的化简。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则计算：$y^6 ÷ y^2 = y^{6-2} = y^4$；
(2) 把$-a$看作整体运用同底数幂除法法则：$(-a)^5 ÷ (-a)^3 = (-a)^{5-3} = (-a)^2 = a^2$；
(3) 保留负号，对同底数幂做除法运算：$-y^{2n+1} ÷ y^{n+1} = -y^{(2n+1)-(n+1)} = -y^n$；
(4) 按单项式除以单项式法则拆分计算：$-8xy^2 ÷ 2xy = (-8÷2) · (x÷x) · (y^2÷y) = -4y$。
【答案】
(1)$y^4$；(2)$a^2$；(3)$-y^n$；(4)$-4y$
【知识点】
同底数幂的除法、单项式除以单项式、幂的符号化简
【点评】
本题是整式除法的基础练习题，核心考查对整式除法相关法则的掌握程度，计算时要重点注意符号判断和指数的减法运算，避免出现指数运算混淆、符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.85
这组题目均考查整式的除法运算，解题思路如下：①首先判断运算类型：前3题属于同底数幂的除法，第4题属于单项式除以单项式；②对应法则计算：同底数幂相除，底数不变，指数相减；单项式除以单项式，将系数、同底数幂分别相除，只在被除式中含有的字母连同指数作为商的因式；③注意细节：计算时要留意负号的处理，负数的偶次幂结果为正，指数做减法运算时要注意整式的化简。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则计算：$y^6 ÷ y^2 = y^{6-2} = y^4$；
(2) 把$-a$看作整体运用同底数幂除法法则：$(-a)^5 ÷ (-a)^3 = (-a)^{5-3} = (-a)^2 = a^2$；
(3) 保留负号，对同底数幂做除法运算：$-y^{2n+1} ÷ y^{n+1} = -y^{(2n+1)-(n+1)} = -y^n$；
(4) 按单项式除以单项式法则拆分计算：$-8xy^2 ÷ 2xy = (-8÷2) · (x÷x) · (y^2÷y) = -4y$。
【答案】
(1)$y^4$；(2)$a^2$；(3)$-y^n$；(4)$-4y$
【知识点】
同底数幂的除法、单项式除以单项式、幂的符号化简
【点评】
本题是整式除法的基础练习题，核心考查对整式除法相关法则的掌握程度，计算时要重点注意符号判断和指数的减法运算，避免出现指数运算混淆、符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.85
3.若式子$(x-2026)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是。
答案
解：
由零指数幂的性质可知，零指数幂有意义的条件是底数不为0，因此
$x - 2026 ≠ 0$，
解得$x ≠ 2026$。
由零指数幂的性质可知，零指数幂有意义的条件是底数不为0，因此
$x - 2026 ≠ 0$，
解得$x ≠ 2026$。
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆零指数幂的相关性质：零指数幂有意义的前提是底数不能为0。因此本题只需让式子的底数$x-2026$不等于0，解这个不等式就能得到$x$的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的性质，零指数幂有意义的条件是底数不为0，因此可得：
$x - 2026 ≠ 0$
解这个不等式，得$x ≠ 2026$。
【答案】
$x ≠ 2026$
【知识点】
零指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查零指数幂有意义的限制条件，解题的关键是牢记零指数幂的底数不能为0，做题时注意不要忽略底数的限制即可。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆零指数幂的相关性质：零指数幂有意义的前提是底数不能为0。因此本题只需让式子的底数$x-2026$不等于0，解这个不等式就能得到$x$的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的性质，零指数幂有意义的条件是底数不为0，因此可得：
$x - 2026 ≠ 0$
解这个不等式，得$x ≠ 2026$。
【答案】
$x ≠ 2026$
【知识点】
零指数幂的意义；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查零指数幂有意义的限制条件，解题的关键是牢记零指数幂的底数不能为0，做题时注意不要忽略底数的限制即可。
【难度系数】
0.9
4.一个长方形的面积为$9a^2 -6ab$，若它的长为$3a$，则它的宽为。
答案
$\boldsymbol{3a-2b}$
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和长，求宽，可将公式变形为宽=面积÷长，代入对应代数式后，即可转化为多项式除以单项式的运算。运算时遵循多项式除以单项式的法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可求出结果。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
宽 = 面积 ÷ 长
代入已知条件得：
$\begin{split}&(9a^2 - 6ab) ÷ 3a \\=&9a^2 ÷ 3a - 6ab ÷ 3a \\=&3a - 2b\end{split}$
【答案】
$3a-2b$
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，结合几何面积公式考查整式除法的应用，只要熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和长，求宽，可将公式变形为宽=面积÷长，代入对应代数式后，即可转化为多项式除以单项式的运算。运算时遵循多项式除以单项式的法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可求出结果。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
宽 = 面积 ÷ 长
代入已知条件得：
$\begin{split}&(9a^2 - 6ab) ÷ 3a \\=&9a^2 ÷ 3a - 6ab ÷ 3a \\=&3a - 2b\end{split}$
【答案】
$3a-2b$
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，结合几何面积公式考查整式除法的应用，只要熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
5.若$(a^m b^n)^3 ÷ (ab^2)^2 = a^4 b^5$，则$m=$，$n=$。
答案
$\boldsymbol{m=2}$，$\boldsymbol{n=3}$
解析
【分析】
解题时先运用幂的运算性质化简等式左边的式子，再根据“若两个单项式相等，则相同字母的指数对应相等”的规则，分别列出关于m、n的一元一次方程，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
第一步：化简等式左边的式子：
根据积的乘方公式$(xy)^k=x^ky^k$、幂的乘方公式$(x^p)^q=x^{pq}$，可得：
$(a^m b^n)^3 = a^{3m}b^{3n}$，$(ab^2)^2 = a^2b^{4}$
再根据同底数幂的除法公式$x^p÷ x^q=x^{p-q}$，计算除法：
$(a^{3m}b^{3n})÷(a^2b^4) = a^{3m-2}b^{3n-4}$
第二步：根据等式左右两边相同字母的指数相等列方程：
已知化简后等式为$a^{3m-2}b^{3n-4}=a^4b^5$，因此：
对于a的指数：$3m - 2 = 4$，解得$3m=6$，$m=2$
对于b的指数：$3n - 4 = 5$，解得$3n=9$，$n=3$
【答案】
$\boldsymbol{m=2}$，$\boldsymbol{n=3}$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；单项式相等的条件
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的各类运算规则，通过指数对应相等建立方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先运用幂的运算性质化简等式左边的式子，再根据“若两个单项式相等，则相同字母的指数对应相等”的规则，分别列出关于m、n的一元一次方程，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
第一步：化简等式左边的式子：
根据积的乘方公式$(xy)^k=x^ky^k$、幂的乘方公式$(x^p)^q=x^{pq}$，可得：
$(a^m b^n)^3 = a^{3m}b^{3n}$，$(ab^2)^2 = a^2b^{4}$
再根据同底数幂的除法公式$x^p÷ x^q=x^{p-q}$，计算除法：
$(a^{3m}b^{3n})÷(a^2b^4) = a^{3m-2}b^{3n-4}$
第二步：根据等式左右两边相同字母的指数相等列方程：
已知化简后等式为$a^{3m-2}b^{3n-4}=a^4b^5$，因此：
对于a的指数：$3m - 2 = 4$，解得$3m=6$，$m=2$
对于b的指数：$3n - 4 = 5$，解得$3n=9$，$n=3$
【答案】
$\boldsymbol{m=2}$，$\boldsymbol{n=3}$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；单项式相等的条件
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的各类运算规则，通过指数对应相等建立方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
6.计算:
(1)$(-\dfrac{1}{3}ab^{2})^{2}· 27a^{2}b÷(-6a^{3}b^{3});$
(2)$24m^{5}n^{4}÷(-6m^{2}n^{2})·(2mn)^{2};$
(3)$(a^{3}b^{5}+2a^{4}b^{3}-3a^{2}b^{2})÷(-\dfrac{1}{2}ab)^{2};$
(4)$[2x(xy^{2}-x)+4x(2xy^{2}-x)]÷2x^{2}.$
(1)$(-\dfrac{1}{3}ab^{2})^{2}· 27a^{2}b÷(-6a^{3}b^{3});$
(2)$24m^{5}n^{4}÷(-6m^{2}n^{2})·(2mn)^{2};$
(3)$(a^{3}b^{5}+2a^{4}b^{3}-3a^{2}b^{2})÷(-\dfrac{1}{2}ab)^{2};$
(4)$[2x(xy^{2}-x)+4x(2xy^{2}-x)]÷2x^{2}.$
答案
解：
(1) 先计算乘方：
$(-\dfrac{1}{3}ab^{2})^{2}=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}$
原式$=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}· 27a^{2}b÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=3a^{4}b^{5}÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=-\dfrac{1}{2}ab^{2}$
(2) 先计算乘方：
$(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$
原式$=-4m^{3}n^{2}· 4m^{2}n^{2}$
$=-16m^{5}n^{4}$
(3) 先计算除式的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab)^{2}=\dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
原式$=(a^{3}b^{5}+2a^{4}b^{3}-3a^{2}b^{2})÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=a^{3}b^{5}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} + 2a^{4}b^{3}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} - 3a^{2}b^{2}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=4ab^{3}+8a^{2}b-12$
(4) 先展开中括号内的式子：
$2x(xy^{2}-x)+4x(2xy^{2}-x)=2x^{2}y^{2}-2x^{2}+8x^{2}y^{2}-4x^{2}=10x^{2}y^{2}-6x^{2}$
原式$=(10x^{2}y^{2}-6x^{2})÷ 2x^{2}$
$=10x^{2}y^{2}÷ 2x^{2} -6x^{2}÷ 2x^{2}$
$=5y^{2}-3$
(1) 先计算乘方：
$(-\dfrac{1}{3}ab^{2})^{2}=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}$
原式$=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}· 27a^{2}b÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=3a^{4}b^{5}÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=-\dfrac{1}{2}ab^{2}$
(2) 先计算乘方：
$(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$
原式$=-4m^{3}n^{2}· 4m^{2}n^{2}$
$=-16m^{5}n^{4}$
(3) 先计算除式的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab)^{2}=\dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
原式$=(a^{3}b^{5}+2a^{4}b^{3}-3a^{2}b^{2})÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=a^{3}b^{5}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} + 2a^{4}b^{3}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} - 3a^{2}b^{2}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=4ab^{3}+8a^{2}b-12$
(4) 先展开中括号内的式子：
$2x(xy^{2}-x)+4x(2xy^{2}-x)=2x^{2}y^{2}-2x^{2}+8x^{2}y^{2}-4x^{2}=10x^{2}y^{2}-6x^{2}$
原式$=(10x^{2}y^{2}-6x^{2})÷ 2x^{2}$
$=10x^{2}y^{2}÷ 2x^{2} -6x^{2}÷ 2x^{2}$
$=5y^{2}-3$
解析
【分析】
整式混合运算遵循的运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次计算。解题思路如下：
1. 第(1)(2)小题：先计算式子中的乘方运算，再按照从左到右的顺序计算单项式的乘除，计算时注意系数的符号以及同底数幂指数的加减规则；
2. 第(3)小题：先计算除式的乘方，再将多项式的每一项分别除以这个单项式，最后合并结果，注意不要漏项、不要搞错符号；
3. 第(4)小题：先利用单项式乘多项式的法则展开中括号内的式子，合并同类项后，再按照多项式除以单项式的法则计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-\dfrac{1}{3}ab^{2})^{2}=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}$
原式$=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}· 27a^{2}b÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=3a^{4}b^{5}÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=-\dfrac{1}{2}ab^{2}$
(2) 先计算乘方：
$(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$
原式$=24m^{5}n^{4}÷(-6m^{2}n^{2})·4m^{2}n^{2}$
$=-4m^{3}n^{2}· 4m^{2}n^{2}$
$=-16m^{5}n^{4}$
(3) 先计算除式的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab)^{2}=\dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
原式$=(a^{3}b^{5}+2a^{4}b^{3}-3a^{2}b^{2})÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=a^{3}b^{5}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} + 2a^{4}b^{3}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} - 3a^{2}b^{2}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=4ab^{3}+8a^{2}b-12$
(4) 先展开中括号内的式子：
$2x(xy^{2}-x)+4x(2xy^{2}-x)=2x^{2}y^{2}-2x^{2}+8x^{2}y^{2}-4x^{2}=10x^{2}y^{2}-6x^{2}$
原式$=(10x^{2}y^{2}-6x^{2})÷ 2x^{2}$
$=10x^{2}y^{2}÷ 2x^{2} -6x^{2}÷ 2x^{2}$
$=5y^{2}-3$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}ab^{2}$；(2) $-16m^{5}n^{4}$；(3) $4ab^{3}+8a^{2}b-12$；(4) $5y^{2}-3$
【知识点】
整式的混合运算，幂的运算性质，多项式除以单项式
【点评】
本题重点考察整式运算的基本法则和运算顺序，解题时需注意运算过程中的符号处理，多项式乘除运算时要做到不重不漏，熟练掌握各运算法则是准确计算的前提。
【难度系数】
0.8
整式混合运算遵循的运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次计算。解题思路如下：
1. 第(1)(2)小题：先计算式子中的乘方运算，再按照从左到右的顺序计算单项式的乘除，计算时注意系数的符号以及同底数幂指数的加减规则；
2. 第(3)小题：先计算除式的乘方，再将多项式的每一项分别除以这个单项式，最后合并结果，注意不要漏项、不要搞错符号；
3. 第(4)小题：先利用单项式乘多项式的法则展开中括号内的式子，合并同类项后，再按照多项式除以单项式的法则计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-\dfrac{1}{3}ab^{2})^{2}=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}$
原式$=\dfrac{1}{9}a^{2}b^{4}· 27a^{2}b÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=3a^{4}b^{5}÷ (-6a^{3}b^{3})$
$=-\dfrac{1}{2}ab^{2}$
(2) 先计算乘方：
$(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$
原式$=24m^{5}n^{4}÷(-6m^{2}n^{2})·4m^{2}n^{2}$
$=-4m^{3}n^{2}· 4m^{2}n^{2}$
$=-16m^{5}n^{4}$
(3) 先计算除式的乘方：
$(-\dfrac{1}{2}ab)^{2}=\dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
原式$=(a^{3}b^{5}+2a^{4}b^{3}-3a^{2}b^{2})÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=a^{3}b^{5}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} + 2a^{4}b^{3}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2} - 3a^{2}b^{2}÷ \dfrac{1}{4}a^{2}b^{2}$
$=4ab^{3}+8a^{2}b-12$
(4) 先展开中括号内的式子：
$2x(xy^{2}-x)+4x(2xy^{2}-x)=2x^{2}y^{2}-2x^{2}+8x^{2}y^{2}-4x^{2}=10x^{2}y^{2}-6x^{2}$
原式$=(10x^{2}y^{2}-6x^{2})÷ 2x^{2}$
$=10x^{2}y^{2}÷ 2x^{2} -6x^{2}÷ 2x^{2}$
$=5y^{2}-3$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}ab^{2}$；(2) $-16m^{5}n^{4}$；(3) $4ab^{3}+8a^{2}b-12$；(4) $5y^{2}-3$
【知识点】
整式的混合运算，幂的运算性质，多项式除以单项式
【点评】
本题重点考察整式运算的基本法则和运算顺序，解题时需注意运算过程中的符号处理，多项式乘除运算时要做到不重不漏，熟练掌握各运算法则是准确计算的前提。
【难度系数】
0.8
7. 先化简，再求值：$[2(x-y)]^2 + (2x^3 y^2 + 2xy^4) ÷ (-\dfrac{1}{2}xy^2)$，其中 $x=2$，$y=(-\dfrac{1}{2})^0$。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[2(x-y)]^2 + (2x^3y^2 + 2xy^4) ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x-y)^2 + 2x^3y^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2) + 2xy^4 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x^2 - 2xy + y^2) - 4x^2 - 4y^2\\&=4x^2 - 8xy + 4y^2 - 4x^2 - 4y^2\\&=-8xy\end{aligned}$
由零指数幂的性质得：$y=(-\frac{1}{2})^0=1$，
将$x=2$，$y=1$代入$-8xy$：
原式$=-8× 2 × 1 = -16$。
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[2(x-y)]^2 + (2x^3y^2 + 2xy^4) ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x-y)^2 + 2x^3y^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2) + 2xy^4 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x^2 - 2xy + y^2) - 4x^2 - 4y^2\\&=4x^2 - 8xy + 4y^2 - 4x^2 - 4y^2\\&=-8xy\end{aligned}$
由零指数幂的性质得：$y=(-\frac{1}{2})^0=1$，
将$x=2$，$y=1$代入$-8xy$：
原式$=-8× 2 × 1 = -16$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简原式，先分别处理乘方运算和多项式除以单项式运算：计算$[2(x-y)]^2$时先算积的乘方，再用完全平方公式展开；计算多项式除以单项式时，将多项式的每一项分别除以单项式，注意符号变化，最后合并同类项得到最简结果。第二步先根据零指数幂的性质求出$y$的值，再将$x$、$y$的取值代入最简式计算即可，避免直接代入原式增加计算量、提高出错概率。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[2(x-y)]^2 + (2x^3y^2 + 2xy^4) ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x-y)^2 + 2x^3y^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2) + 2xy^4 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x^2 - 2xy + y^2) - 4x^2 - 4y^2\\&=4x^2 - 8xy + 4y^2 - 4x^2 - 4y^2\\&=-8xy\end{aligned}$
根据零指数幂的性质：非零数的零次幂等于1，可得$y=(-\frac{1}{2})^0=1$，
将$x=2$，$y=1$代入$-8xy$得：
原式$=-8× 2× 1=-16$
【答案】
$-16$
【知识点】
整式的混合运算，完全平方公式，零指数幂的性质
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，解题关键是熟练掌握整式乘除、乘方的运算法则以及相关公式，先化简再求值的思路能有效简化计算过程，计算时要重点关注运算顺序和符号的准确性，零指数幂运算需注意底数不为0的前提。
【难度系数】
0.7
这是一道整式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简原式，先分别处理乘方运算和多项式除以单项式运算：计算$[2(x-y)]^2$时先算积的乘方，再用完全平方公式展开；计算多项式除以单项式时，将多项式的每一项分别除以单项式，注意符号变化，最后合并同类项得到最简结果。第二步先根据零指数幂的性质求出$y$的值，再将$x$、$y$的取值代入最简式计算即可，避免直接代入原式增加计算量、提高出错概率。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[2(x-y)]^2 + (2x^3y^2 + 2xy^4) ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x-y)^2 + 2x^3y^2 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2) + 2xy^4 ÷ (-\frac{1}{2}xy^2)\\&=4(x^2 - 2xy + y^2) - 4x^2 - 4y^2\\&=4x^2 - 8xy + 4y^2 - 4x^2 - 4y^2\\&=-8xy\end{aligned}$
根据零指数幂的性质：非零数的零次幂等于1，可得$y=(-\frac{1}{2})^0=1$，
将$x=2$，$y=1$代入$-8xy$得：
原式$=-8× 2× 1=-16$
【答案】
$-16$
【知识点】
整式的混合运算，完全平方公式，零指数幂的性质
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，解题关键是熟练掌握整式乘除、乘方的运算法则以及相关公式，先化简再求值的思路能有效简化计算过程，计算时要重点关注运算顺序和符号的准确性，零指数幂运算需注意底数不为0的前提。
【难度系数】
0.7
8. 提升题 小亮在计算一个多项式除以单项式$-\frac{1}{3}x$时，不小心算成乘$-\frac{1}{3}x$，得到的结果为$6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y$。你能帮他求出正确的结果吗？
答案
解：先求出原多项式：
原多项式 = $(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy$
再计算正确的运算结果：
正确结果 = $(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
答：正确的结果是$54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$。
原多项式 = $(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy$
再计算正确的运算结果：
正确结果 = $(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= -18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)$
$= 54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$
答：正确的结果是$54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y$。
解析
【分析】
本题可采用逆推思路求解：小亮误将除法运算算成乘法运算，得到的错误结果是原多项式与单项式$-\frac{1}{3}x$的乘积，因此第一步需要用错误结果除以$-\frac{1}{3}x$，还原出原来的多项式；第二步再用原多项式除以$-\frac{1}{3}x$，即可得到正确结果。计算时需遵循多项式除以单项式的运算规则，注意系数和符号的处理。
【解析】
步骤1：求原多项式
已知原多项式$× (-\dfrac{1}{3}x)=6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{原多项式}&=(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy\end{aligned}$
步骤2：计算正确结果
正确运算为原多项式除以$-\dfrac{1}{3}x$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{正确结果}&=(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=-18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y}$
【知识点】
多项式除以单项式；乘除互逆运算；同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式运算中的逆推思维，解题核心是先根据错误的运算关系还原原多项式，再进行正确的除法运算，计算过程中要注意符号处理和同底数幂的指数运算规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.6
本题可采用逆推思路求解：小亮误将除法运算算成乘法运算，得到的错误结果是原多项式与单项式$-\frac{1}{3}x$的乘积，因此第一步需要用错误结果除以$-\frac{1}{3}x$，还原出原来的多项式；第二步再用原多项式除以$-\frac{1}{3}x$，即可得到正确结果。计算时需遵循多项式除以单项式的运算规则，注意系数和符号的处理。
【解析】
步骤1：求原多项式
已知原多项式$× (-\dfrac{1}{3}x)=6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{原多项式}&=(6x^4y^3 - x^3y^2 + 2x^2y) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=6x^4y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - x^3y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 2x^2y ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy\end{aligned}$
步骤2：计算正确结果
正确运算为原多项式除以$-\dfrac{1}{3}x$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{正确结果}&=(-18x^3y^3 + 3x^2y^2 - 6xy) ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=-18x^3y^3 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) + 3x^2y^2 ÷ (-\dfrac{1}{3}x) - 6xy ÷ (-\dfrac{1}{3}x)\\&=54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{54x^2y^3 - 9xy^2 + 18y}$
【知识点】
多项式除以单项式；乘除互逆运算；同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式运算中的逆推思维，解题核心是先根据错误的运算关系还原原多项式，再进行正确的除法运算，计算过程中要注意符号处理和同底数幂的指数运算规则，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.6
