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5 如图，$AB ⊥ BD$，$ED ⊥ BD$，C是线段BD的中点，且$AC ⊥ CE$，$ED = 1$，$BD = 4$，求AB的长。
答案
5. $\because AB⊥ BD, ED⊥ BD, \therefore ∠ B=∠ D=90°. 又\because AC⊥ CE, \therefore ∠ ACE=90°. \therefore ∠ A+∠ ACB=∠ ACB+∠ ECD=90°. \therefore ∠ A=∠ ECD. \therefore △ ABC ∽ △ CDE. \therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}. \because C$ 为线段 $BD$ 的中点, $\therefore BC=CD=2. 又\because ED=1, \therefore AB=4$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，先得到∠B、∠D、∠ACE都是直角，再根据同角的余角相等推导得到∠A=∠ECD，由此可判定△ABC和△CDE相似，再结合C是BD中点得到BC、CD的长度，最后利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出AB的长度。
【解析】
$\because AB⊥ BD,ED⊥ BD$，$\therefore ∠ B=∠ D=90°$。
又$\because AC⊥ CE$，$\therefore ∠ ACE=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ ACB=90°$，$∠ ACB+∠ ECD=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ ECD$（同角的余角相等），
$\therefore △ ABC ∽ △ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$。
$\because C$是线段$BD$的中点，$BD=4$，$\therefore BC=CD=\frac{1}{2}BD=2$，
又$\because ED=1$，代入比例式得$\frac{AB}{2}=\frac{2}{1}$，
解得$AB=4$。
【答案】
$AB$的长为$4$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形“一线三等角”模型的基础应用，解题核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解，考察了学生的逻辑推导和简单计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手，先得到∠B、∠D、∠ACE都是直角，再根据同角的余角相等推导得到∠A=∠ECD，由此可判定△ABC和△CDE相似，再结合C是BD中点得到BC、CD的长度，最后利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出AB的长度。
【解析】
$\because AB⊥ BD,ED⊥ BD$，$\therefore ∠ B=∠ D=90°$。
又$\because AC⊥ CE$，$\therefore ∠ ACE=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ ACB=90°$，$∠ ACB+∠ ECD=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ ECD$（同角的余角相等），
$\therefore △ ABC ∽ △ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$。
$\because C$是线段$BD$的中点，$BD=4$，$\therefore BC=CD=\frac{1}{2}BD=2$，
又$\because ED=1$，代入比例式得$\frac{AB}{2}=\frac{2}{1}$，
解得$AB=4$。
【答案】
$AB$的长为$4$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形“一线三等角”模型的基础应用，解题核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解，考察了学生的逻辑推导和简单计算能力。
【难度系数】
0.8
6 如图,在正方形 ABCD 中,E 为边 AD 上的点,点 F 在边 CD 上,且 $CF=3FD$, $∠ BEF=90°$.
(1) 求证:$△ ABE ∽ △ DEF$;
(2) 延长 EF 交 BC 的延长线于点 G,若 $AB=4$,求 BG 的长.
(1) 求证:$△ ABE ∽ △ DEF$;
(2) 延长 EF 交 BC 的延长线于点 G,若 $AB=4$,求 BG 的长.
答案
6. (1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore ∠ A = ∠ D = 90°. \because ∠ BEF=90°, \therefore ∠ ABE+∠ AEB=∠ DEF+∠ AEB=90°. \therefore ∠ ABE=∠ DEF. \because ∠ A=∠ D, \therefore △ ABE ∽ △ DEF$
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore AD// BC, AB=BC=CD=AD=4. \because CF=3FD, \therefore DF=1, CF=3. \because △ ABE ∽ △ DEF, \therefore \frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}, 即\frac{4-DE}{1}=\frac{4}{DE}. \therefore DE=2. \because AD// BC, \therefore ∠ DEF=∠ CGF. 又\because ∠ EFD=∠ GFC, \therefore △ EDF ∽ △ GCF. \therefore \frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}, 即\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}. \therefore CG=6. \therefore BG=BC+CG=4+6=10$
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore AD// BC, AB=BC=CD=AD=4. \because CF=3FD, \therefore DF=1, CF=3. \because △ ABE ∽ △ DEF, \therefore \frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}, 即\frac{4-DE}{1}=\frac{4}{DE}. \therefore DE=2. \because AD// BC, \therefore ∠ DEF=∠ CGF. 又\because ∠ EFD=∠ GFC, \therefore △ EDF ∽ △ GCF. \therefore \frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}, 即\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}. \therefore CG=6. \therefore BG=BC+CG=4+6=10$
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABE ∽ △ DEF$，先结合正方形性质得到$∠ A=∠ D=90°$，再根据$∠ BEF=90°$，利用同角的余角相等推出一组锐角相等，即可通过两角对应相等判定两三角形相似。
(2) 求$BG$的长时，先根据正方形边长和$CF=3FD$算出$DF$、$CF$的长度，再利用(1)的相似结论求出$DE$的长度；接着通过$AD// BC$证明$△ EDF ∽ △ GCF$，利用相似比求出$CG$，最后结合$BG=BC+CG$即可得解。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore ∠ A = ∠ D = 90°$，
$\therefore ∠ ABE + ∠ AEB = 90°$。
$\because ∠ BEF=90°$，$\therefore ∠ DEF + ∠ AEB = 90°$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ DEF$。
又$\because ∠ A=∠ D$，
$\therefore △ ABE ∽ △ DEF$。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore AD// BC$，$AB=BC=CD=AD=4$。
$\because CF=3FD$，$CD=4$，$\therefore DF=1$，$CF=3$。
由$△ ABE ∽ △ DEF$得$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$，
设$DE=x$，则$AE=4-x$，代入得$\frac{4-x}{1}=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，即$DE=2$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ DEF = ∠ CGF$，
又$\because ∠ EFD = ∠ GFC$（对顶角相等），
$\therefore △ EDF ∽ △ GCF$，
$\therefore \frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$，解得$CG=6$，
$\therefore BG=BC+CG=4+6=10$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $BG=10$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是正方形与相似三角形的基础综合题，解题关键是利用角度关系、平行线性质找到相似三角形，再结合对应边成比例求解线段长度，能很好地训练相似模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$△ ABE ∽ △ DEF$，先结合正方形性质得到$∠ A=∠ D=90°$，再根据$∠ BEF=90°$，利用同角的余角相等推出一组锐角相等，即可通过两角对应相等判定两三角形相似。
(2) 求$BG$的长时，先根据正方形边长和$CF=3FD$算出$DF$、$CF$的长度，再利用(1)的相似结论求出$DE$的长度；接着通过$AD// BC$证明$△ EDF ∽ △ GCF$，利用相似比求出$CG$，最后结合$BG=BC+CG$即可得解。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore ∠ A = ∠ D = 90°$，
$\therefore ∠ ABE + ∠ AEB = 90°$。
$\because ∠ BEF=90°$，$\therefore ∠ DEF + ∠ AEB = 90°$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ DEF$。
又$\because ∠ A=∠ D$，
$\therefore △ ABE ∽ △ DEF$。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore AD// BC$，$AB=BC=CD=AD=4$。
$\because CF=3FD$，$CD=4$，$\therefore DF=1$，$CF=3$。
由$△ ABE ∽ △ DEF$得$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$，
设$DE=x$，则$AE=4-x$，代入得$\frac{4-x}{1}=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，即$DE=2$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ DEF = ∠ CGF$，
又$\because ∠ EFD = ∠ GFC$（对顶角相等），
$\therefore △ EDF ∽ △ GCF$，
$\therefore \frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$，解得$CG=6$，
$\therefore BG=BC+CG=4+6=10$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $BG=10$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是正方形与相似三角形的基础综合题，解题关键是利用角度关系、平行线性质找到相似三角形，再结合对应边成比例求解线段长度，能很好地训练相似模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
7 如图，$∠ A = ∠ BCD$，$AD = 2$，$BD = 4$，求$BC$的长。
答案
7. $\because ∠ B=∠ B, ∠ A=∠ BCD, \therefore △ ABC ∽ △ CBD. \therefore \frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}. \therefore BC^2=AB· BD, 即BC^2=(2+4)×4. \therefore BC=2\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题可通过证明三角形相似求解BC的长度，解题思路如下：第一步先观察图形，找到△ABC和△CBD的公共角∠B，结合已知条件∠A=∠BCD，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似；第二步根据相似三角形对应边成比例列出关于BC的比例式；第三步代入已知边长计算，注意线段长度为正数，最终求出BC的长。
【解析】
解：在△ABC和△CBD中，
$\begin{cases}∠B=∠B \quad (\mathrm{公共角相等})\\∠A=∠BCD \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ABC ∽ △CBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}$
$\therefore BC^2 = AB · BD$
已知$AD=2$，$BD=4$，则$AB=AD+BD=2+4=6$，代入得：
$BC^2 = 6 × 4 = 24$
$\because BC$为线段长度，为正数，$\therefore BC=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是准确识别两个三角形的公共角，结合已知角相等证明三角形相似，再利用相似的性质建立比例式求解。
【难度系数】
0.7
本题可通过证明三角形相似求解BC的长度，解题思路如下：第一步先观察图形，找到△ABC和△CBD的公共角∠B，结合已知条件∠A=∠BCD，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似；第二步根据相似三角形对应边成比例列出关于BC的比例式；第三步代入已知边长计算，注意线段长度为正数，最终求出BC的长。
【解析】
解：在△ABC和△CBD中，
$\begin{cases}∠B=∠B \quad (\mathrm{公共角相等})\\∠A=∠BCD \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ABC ∽ △CBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}$
$\therefore BC^2 = AB · BD$
已知$AD=2$，$BD=4$，则$AB=AD+BD=2+4=6$，代入得：
$BC^2 = 6 × 4 = 24$
$\because BC$为线段长度，为正数，$\therefore BC=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是准确识别两个三角形的公共角，结合已知角相等证明三角形相似，再利用相似的性质建立比例式求解。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$为边$BC$上的中线，$DE ⊥ AC$于点$E$。
（1）请你写出图中所有与$△ DEC$相似的三角形（不包含$△ DEC$）；
（2）若$AB=10$，$BC=12$，求$EC$的长。
（1）请你写出图中所有与$△ DEC$相似的三角形（不包含$△ DEC$）；
（2）若$AB=10$，$BC=12$，求$EC$的长。
答案
8. (1) $△ ADC, △ AED, △ ADB$
(2) $\because AB=AC, AD$ 为边 $BC$ 上的中线, $\therefore AD⊥ BC, BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6. \therefore ∠ ADC=90°. \because DE⊥ AC, \therefore ∠ DEC=90°=∠ ADC. \because ∠ C=∠ C, \therefore △ DEC ∽ △ ADC. \therefore \frac{DC}{AC}=\frac{EC}{DC}. \because AC=AB=10, CD=6, \therefore EC=\frac{18}{5}$
(2) $\because AB=AC, AD$ 为边 $BC$ 上的中线, $\therefore AD⊥ BC, BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6. \therefore ∠ ADC=90°. \because DE⊥ AC, \therefore ∠ DEC=90°=∠ ADC. \because ∠ C=∠ C, \therefore △ DEC ∽ △ ADC. \therefore \frac{DC}{AC}=\frac{EC}{DC}. \because AC=AB=10, CD=6, \therefore EC=\frac{18}{5}$
解析
【分析】
（1）要找出与△DEC相似的三角形，首先明确△DEC是含∠C的直角三角形。先结合等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC，即△ADB、△ADC都是直角三角形；再通过公共角、同角的余角相等推导相等的角，结合相似三角形的判定定理逐一匹配即可。
（2）求EC的长度时，先利用等腰三角形三线合一求出CD的长，再借助第（1）问得到的△DEC∽△ADC，利用相似三角形对应边成比例列等式，代入已知数值计算即可。
【解析】
（1）
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一，得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。
①
∵∠DEC=∠ADC=90°，∠C为公共角，
∴△DEC∽△ADC；
②
∵AB=AC，BD=CD，AD为公共边，
∴△ADB≌△ADC，故△DEC∽△ADB；
③
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠DEC=90°，又∠ADE+∠EDC=90°，∠C+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠C，故△DEC∽△AED。
（2）
∵AB=AC，AD为边BC上的中线，
∴AD⊥BC，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，∠ADC=90°。
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°=∠ADC，
又
∵∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴$\frac{DC}{AC}=\frac{EC}{DC}$。
∵AC=AB=10，CD=6，
∴$EC=\frac{DC^2}{AC}=\frac{6^2}{10}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}$。
【答案】
（1）$\boxed{△ ADC, △ AED, △ ADB}$
（2）$\boxed{\frac{18}{5}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形章节的典型基础题，综合考察等腰三角形三线合一性质和相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，快速找到角的等量关系判定三角形相似，再借助相似的比例关系求解线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）要找出与△DEC相似的三角形，首先明确△DEC是含∠C的直角三角形。先结合等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC，即△ADB、△ADC都是直角三角形；再通过公共角、同角的余角相等推导相等的角，结合相似三角形的判定定理逐一匹配即可。
（2）求EC的长度时，先利用等腰三角形三线合一求出CD的长，再借助第（1）问得到的△DEC∽△ADC，利用相似三角形对应边成比例列等式，代入已知数值计算即可。
【解析】
（1）
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一，得AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。
①
∵∠DEC=∠ADC=90°，∠C为公共角，
∴△DEC∽△ADC；
②
∵AB=AC，BD=CD，AD为公共边，
∴△ADB≌△ADC，故△DEC∽△ADB；
③
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠DEC=90°，又∠ADE+∠EDC=90°，∠C+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠C，故△DEC∽△AED。
（2）
∵AB=AC，AD为边BC上的中线，
∴AD⊥BC，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，∠ADC=90°。
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°=∠ADC，
又
∵∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴$\frac{DC}{AC}=\frac{EC}{DC}$。
∵AC=AB=10，CD=6，
∴$EC=\frac{DC^2}{AC}=\frac{6^2}{10}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}$。
【答案】
（1）$\boxed{△ ADC, △ AED, △ ADB}$
（2）$\boxed{\frac{18}{5}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形章节的典型基础题，综合考察等腰三角形三线合一性质和相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，快速找到角的等量关系判定三角形相似，再借助相似的比例关系求解线段长度。
【难度系数】
0.7
