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11 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 4mx + 4m^2 - 9 = 0 $。
(1) 求证:该方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若该方程有一个根为－1,求 $ m $ 的值。
(1) 求证:该方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若该方程有一个根为－1,求 $ m $ 的值。
答案
(1) $\Delta=(-4m)^2-4×1×(4m^2-9)=36＞0$,所以方程总有两个不相等的实数根。
(2) 把$x=-1$代入原方程,得$4m^2+4m-8=0$,即$m^2+m-2=0$,解得$m=1$或$-2$。
(2) 把$x=-1$代入原方程,得$4m^2+4m-8=0$,即$m^2+m-2=0$,解得$m=1$或$-2$。
解析
【分析】
(1) 要判断一元二次方程的根的情况，只需计算判别式$\Delta$的值即可：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。因此先确定本题方程的各项系数，代入判别式公式计算，判断结果是否恒大于0即可完成证明。
(2) 方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根$x=-1$代入原方程，即可得到关于$m$的一元二次方程，求解该方程就能得到$m$的取值。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 - 4mx + 4m^2 - 9 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4m$，常数项$c=4m^2-9$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4m)^2 - 4×1×(4m^2-9) = 16m^2 -16m^2 +36 = 36$，
因为$36＞0$恒成立，所以该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 将$x=-1$代入原方程得：
$(-1)^2 -4m×(-1) +4m^2 -9 = 0$，
整理得$4m^2 +4m -8 =0$，两边同时除以4化简为$m^2 +m -2 =0$，
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=-2$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根，证明成立；(2) $m=1$或$m=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察根的判别式的应用、方程解的定义两个核心知识点，计算难度较低，掌握一元二次方程的基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断一元二次方程的根的情况，只需计算判别式$\Delta$的值即可：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。因此先确定本题方程的各项系数，代入判别式公式计算，判断结果是否恒大于0即可完成证明。
(2) 方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根$x=-1$代入原方程，即可得到关于$m$的一元二次方程，求解该方程就能得到$m$的取值。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 - 4mx + 4m^2 - 9 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4m$，常数项$c=4m^2-9$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4m)^2 - 4×1×(4m^2-9) = 16m^2 -16m^2 +36 = 36$，
因为$36＞0$恒成立，所以该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 将$x=-1$代入原方程得：
$(-1)^2 -4m×(-1) +4m^2 -9 = 0$，
整理得$4m^2 +4m -8 =0$，两边同时除以4化简为$m^2 +m -2 =0$，
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=-2$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根，证明成立；(2) $m=1$或$m=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察根的判别式的应用、方程解的定义两个核心知识点，计算难度较低，掌握一元二次方程的基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m + 1 = 0$。
（1）求证：无论$m$取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求$m$的值。
（1）求证：无论$m$取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求$m$的值。
答案
(1) 根据题意得$\Delta=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4(m+1)=m^2≥0$,所以无论$m$取何值,方程总有两个实数根。
(2) 原方程可化为$(x-1)(x-m-1)=0$,所以$x_1=1$,$x_2=m+1$。由题意可得$m+1=2$或$m+1=\frac{1}{2}$,所以$m=1$或$-\frac{1}{2}$。
(2) 原方程可化为$(x-1)(x-m-1)=0$,所以$x_1=1$,$x_2=m+1$。由题意可得$m+1=2$或$m+1=\frac{1}{2}$,所以$m=1$或$-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值都有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta≥0$恒成立即可。先确定方程各项系数$a、b、c$，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，判断其取值范围即可得证。
（2）已知两根存在倍数关系，可先通过因式分解求出方程的两个根，再分两种情况讨论：其中一个根是另一个根的两倍，分别列方程求解$m$的值，注意不要漏解。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m+1$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m+1) = m^2+4m+4 -4m-4 = m^2$
∵ 无论$m$取何实数，$m^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$
∴ 无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
（2）解：对原方程左边因式分解可得：
$(x-1)(x-m-1)=0$
解得方程两根为$x_1=1$，$x_2=m+1$。
根据题意一个根是另一个根的两倍，分两种情况讨论：
① 当$x_2=2x_1$时，$m+1=2×1$，解得$m=1$；
② 当$x_1=2x_2$时，$1=2(m+1)$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$m=1$或$m=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于一元二次方程基础常考题，第一问核心考查判别式与根的个数的对应关系，第二问需要明确两根倍数关系的两种情况，避免漏解，整体侧重考查基础运算能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值都有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta≥0$恒成立即可。先确定方程各项系数$a、b、c$，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，判断其取值范围即可得证。
（2）已知两根存在倍数关系，可先通过因式分解求出方程的两个根，再分两种情况讨论：其中一个根是另一个根的两倍，分别列方程求解$m$的值，注意不要漏解。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m+1$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m+1) = m^2+4m+4 -4m-4 = m^2$
∵ 无论$m$取何实数，$m^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$
∴ 无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
（2）解：对原方程左边因式分解可得：
$(x-1)(x-m-1)=0$
解得方程两根为$x_1=1$，$x_2=m+1$。
根据题意一个根是另一个根的两倍，分两种情况讨论：
① 当$x_2=2x_1$时，$m+1=2×1$，解得$m=1$；
② 当$x_1=2x_2$时，$1=2(m+1)$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$m=1$或$m=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于一元二次方程基础常考题，第一问核心考查判别式与根的个数的对应关系，第二问需要明确两根倍数关系的两种情况，避免漏解，整体侧重考查基础运算能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.7
13 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + 2m - 1 = 0$有两个不相等的实数根。
（1）求$m$的取值范围；
（2）若$m$为正整数，且该方程的根都是整数，求$m$的值。
（1）求$m$的取值范围；
（2）若$m$为正整数，且该方程的根都是整数，求$m$的值。
答案
(1) $m＜\frac{5}{2}$
(2) 因为$m$为正整数,所以$m=1$或2。当$m=1$时,方程为$x^2-4x+1=0$的根$x=2±\sqrt{3}$不是整数;当$m=2$时,方程为$x^2-4x+3=0$的根$x_1=1$,$x_2=3$,都是整数。综上所述,$m=2$。
(2) 因为$m$为正整数,所以$m=1$或2。当$m=1$时,方程为$x^2-4x+1=0$的根$x=2±\sqrt{3}$不是整数;当$m=2$时,方程为$x^2-4x+3=0$的根$x_1=1$,$x_2=3$,都是整数。综上所述,$m=2$。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可利用根的判别式Δ＞0列不等式求解m的取值范围，先确定方程各项系数，代入判别式公式计算后解不等式即可。
（2）先结合第一问得到的m的取值范围和m为正整数的条件，确定m的所有可能取值，再将每个候选值代入原方程，求解方程的根，判断根是否为整数，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 4x + 2m - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=2m-1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(2m-1) = 16 - 8m + 4 = 20 - 8m$
列不等式：$20 - 8m ＞ 0$
解不等式得：$8m ＜ 20$，即$m ＜ \frac{5}{2}$
（2）
∵ m为正整数，且$m ＜ \frac{5}{2}$
∴ m的可能取值为1、2
① 当$m=1$时，原方程为$x^2 - 4x + 1 = 0$
解得$x = \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2} = 2\pm\sqrt{3}$，根不是整数，不符合要求，舍去；
② 当$m=2$时，原方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，根均为整数，符合要求。
综上，m的值为2。
【答案】
(1) $m＜\frac{5}{2}$；(2) $m=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程求解
【点评】
本题围绕一元二次方程根的性质展开，解题的核心是熟练运用根的判别式确定参数范围，再结合给定的限制条件逐一验证筛选结果，解题过程中需注意不要遗漏验证步骤，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可利用根的判别式Δ＞0列不等式求解m的取值范围，先确定方程各项系数，代入判别式公式计算后解不等式即可。
（2）先结合第一问得到的m的取值范围和m为正整数的条件，确定m的所有可能取值，再将每个候选值代入原方程，求解方程的根，判断根是否为整数，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 4x + 2m - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=-4$，$c=2m-1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(2m-1) = 16 - 8m + 4 = 20 - 8m$
列不等式：$20 - 8m ＞ 0$
解不等式得：$8m ＜ 20$，即$m ＜ \frac{5}{2}$
（2）
∵ m为正整数，且$m ＜ \frac{5}{2}$
∴ m的可能取值为1、2
① 当$m=1$时，原方程为$x^2 - 4x + 1 = 0$
解得$x = \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2} = 2\pm\sqrt{3}$，根不是整数，不符合要求，舍去；
② 当$m=2$时，原方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，根均为整数，符合要求。
综上，m的值为2。
【答案】
(1) $m＜\frac{5}{2}$；(2) $m=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程求解
【点评】
本题围绕一元二次方程根的性质展开，解题的核心是熟练运用根的判别式确定参数范围，再结合给定的限制条件逐一验证筛选结果，解题过程中需注意不要遗漏验证步骤，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
14 规定:对于任意实数 $a$、$b$、$c$、$d$,有 $[a,b]*[c,d]=ac - bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算。如:$[3,2]*[5,1]=3×5 - 2×1=13$。
(1) 求 $[-4,3]*[2,-6]$ 的值;
(2) 已知关于 $x$ 的方程 $[x,2x -1]*[mx +1,m]=0$ 有两个实数根,求 $m$ 的取值范围。
(1) 求 $[-4,3]*[2,-6]$ 的值;
(2) 已知关于 $x$ 的方程 $[x,2x -1]*[mx +1,m]=0$ 有两个实数根,求 $m$ 的取值范围。
答案
(1) 由题意知,原式$=-4×2-3×(-6)=-8+18=10$。
(2) 由题意得$x(mx+1)-m(2x-1)=0$,整理得$mx^2+(1-2m)x+m=0$。因为方程有两个实数根,所以$m≠0$,且$\Delta=(1-2m)^2-4m^2≥0$,所以$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$。
(2) 由题意得$x(mx+1)-m(2x-1)=0$,整理得$mx^2+(1-2m)x+m=0$。因为方程有两个实数根,所以$m≠0$,且$\Delta=(1-2m)^2-4m^2≥0$,所以$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)首先明确题目给出的新运算规则：$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，第一问直接将对应数值代入规则计算即可；(2)第二问先按照新运算规则将等式左边展开，整理得到关于$x$的方程，题目说明方程有两个实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，再结合一元二次方程有实数根的条件：判别式$\Delta≥0$，联立两个条件即可求出$m$的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的限制。
【解析】
(1) 根据新运算规则$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，代入对应数值：
原式$=-4×2 - 3×(-6)$
$=-8 + 18$
$=10$
(2) 按照新运算规则展开方程左边：
$x(mx + 1) - m(2x - 1) = 0$
整理得：$mx^2 + (1 - 2m)x + m = 0$
∵ 方程有两个实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，需满足两个条件：
① 二次项系数不为0：$m≠0$
② 判别式非负：$\Delta=(1 - 2m)^2 - 4· m· m≥0$
计算判别式：
$\Delta=1 - 4m + 4m^2 - 4m^2=1 - 4m≥0$
解得$m≤\frac{1}{4}$
综上，$m$的取值范围是$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{m≤\frac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义
【点评】
本题结合新定义运算考查方程相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生问题转化为熟悉的方程问题求解，需要注意“方程有两个实数根”的表述隐含了方程为一元二次方程，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，解题思路如下：(1)首先明确题目给出的新运算规则：$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，第一问直接将对应数值代入规则计算即可；(2)第二问先按照新运算规则将等式左边展开，整理得到关于$x$的方程，题目说明方程有两个实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，再结合一元二次方程有实数根的条件：判别式$\Delta≥0$，联立两个条件即可求出$m$的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的限制。
【解析】
(1) 根据新运算规则$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，代入对应数值：
原式$=-4×2 - 3×(-6)$
$=-8 + 18$
$=10$
(2) 按照新运算规则展开方程左边：
$x(mx + 1) - m(2x - 1) = 0$
整理得：$mx^2 + (1 - 2m)x + m = 0$
∵ 方程有两个实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，需满足两个条件：
① 二次项系数不为0：$m≠0$
② 判别式非负：$\Delta=(1 - 2m)^2 - 4· m· m≥0$
计算判别式：
$\Delta=1 - 4m + 4m^2 - 4m^2=1 - 4m≥0$
解得$m≤\frac{1}{4}$
综上，$m$的取值范围是$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{m≤\frac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义
【点评】
本题结合新定义运算考查方程相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生问题转化为熟悉的方程问题求解，需要注意“方程有两个实数根”的表述隐含了方程为一元二次方程，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.6
