1.「2025山东威海中考」2025年，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，“三进制”逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.
二进制数的组成数字为0,1.十进制数22化为二进制数：
$22=1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+0×2^0=(10110)_2$.
传统三进制数的组成数字为0,1,2.十进制数22化为三进制数：
$22=2×3^2+1×3^1+1×3^0=(211)_3$.
将二进制数$(1011)_2$化为三进制数为$(a^0=1,a≠0)$
$\begin{array}{llll}\mathrm{A. }(102)_3 & \mathrm{B. }(101)_3 & \mathrm{C. }(110)_3 & \mathrm{D. }(12)_3\end{array}$

1.A 将二进制数$(1011)_2$化为十进制数为$1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=11$,
因为$11=1×3^2+0×3^1+2×3^0$,所以将二进制数$(1011)_2$化为三进制数为$(102)_3$.故选 A.

2.「2025宁夏中考」定义:若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字,则这个三位数叫作“极差数”.例如三位数231,因为3-1=2,所以它是“极差数”.
【理解定义】
三位数265是不是“极差数”? .
【建模推理】
(1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c,则a,b,c的关系式为 .
(2)任意一个“极差数”都能被11整除吗?为什么?

2.解析 【理解定义】不是.详解:因为6-5=1≠2,所以265不是“极差数”.
【建模推理】(1)$b-c=a$.
(2)任意一个“极差数”都能被 11 整除.理由如下:
设任意一个“极差数”为 $100a+10b+c$,
因为 $b-c=a$,所以 $b=a+c$,
所以 $100a+10b+c=100a+10(a+c)+c$
$=100a+10a+10c+c=110a+11c$
$=11(10a+c)$.
因为 $a$ 为正整数,且 $c$ 为非负整数,所以 $10a+c$ 为正整数,
所以 $11(10a+c)$ 能被 11 整除,
即任意一个“极差数”都能被 11 整除.

3.「2025四川资阳中考」《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何.”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的$\frac{1}{2}$，第2关收税金为此时所持金的$\frac{1}{3}$，第3关收税金为此时所持金的$\frac{1}{4}$，第4关收税金为此时所持金的$\frac{1}{5}$，第5关收税金为此时所持金的$\frac{1}{6}$.五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（）

A.$\frac{6}{5}$斤
B.$\frac{7}{5}$斤
C.$\frac{8}{5}$斤
D.$\frac{9}{5}$斤

3.A 设原本持金 $x$ 斤,
第 1 关收税金为 $\frac{1}{2}x$ 斤,剩余 $x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$(斤),
第 2 关收税金为 $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}x$(斤),剩余 $\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}x$(斤),
第 3 关收税金为 $\frac{1}{4}×\frac{1}{3}x=\frac{1}{12}x$(斤),剩余 $\frac{1}{3}x-\frac{1}{12}x=\frac{1}{4}x$(斤),
第 4 关收税金为 $\frac{1}{5}×\frac{1}{4}x=\frac{1}{20}x$(斤),剩余 $\frac{1}{4}x-\frac{1}{20}x=\frac{1}{5}x$(斤),
第 5 关收税金为 $\frac{1}{6}×\frac{1}{5}x=\frac{1}{30}x$(斤),
所以五关税金之和为 $\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{20}x+\frac{1}{30}x=\frac{5}{6}x$(斤),
根据总税金为 1 斤,得 $\frac{5}{6}x=1$,解得 $x=\frac{6}{5}$,
故原本持金为 $\frac{6}{5}$斤.故选 A.

4.「2025吉林中考」《孙子算经》中记载了这样一道题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问车几何?其译文如下:有若干人乘车,若每3人同乘一车,最终剩余2辆空车;若每2人同乘一车,最终剩下9人因无车可乘而步行.问有多少辆车?为解决此问题,设共有x辆车,可列方程为.

4.答案 $3(x-2)=2x+9$
解析 因为共有 $x$ 辆车,根据“若每 3 人同乘一车,最终剩余 2 辆空车”可得人数为 $3(x-2)$,根据“若每 2 人同乘一车,最终剩下 9 人因无车可乘而步行”可得人数为 $2x+9$,故可列方程为 $3(x-2)=2x+9$.

5.「2025四川巴中中考」所有放射性物质都有自己的半衰期.半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间,是一个不变的量.质量为$m$的放射性物质,经历了3个半衰期后的质量为
$( )$

A.$\dfrac{1}{3}m$
B.$\dfrac{1}{4}m$
C.$\dfrac{1}{6}m$
D.$\dfrac{1}{8}m$

5.D 经历了 3 个半衰期后的质量为$(\frac{1}{2})^3 m=\frac{1}{8}m$.故选 D.