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1.「2026山东滨州无棣月考」我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中给出了$(a+b)^n$展开式的系数规律如下.
$1 \quad (a+b)^0=1$
$1 \quad 1 \quad (a+b)^1=a+b$
$1 \quad 2 \quad 1 \quad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$······ \quad ······$
当代数式$x^4 -12x^3 +54x^2 -108x +81$的值为1时，x的值为（
A.2
B.-4
C.2或4
D.2或-4
$1 \quad (a+b)^0=1$
$1 \quad 1 \quad (a+b)^1=a+b$
$1 \quad 2 \quad 1 \quad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$······ \quad ······$
当代数式$x^4 -12x^3 +54x^2 -108x +81$的值为1时，x的值为（
C
）A.2
B.-4
C.2或4
D.2或-4
答案
由题中的规律可得$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$，
令$a=x,b=-3$，
$\therefore (x-3)^4=x^4-12x^3+54x^2-108x+81$，
$\because x^4-12x^3+54x^2-108x+81=1$，
$\therefore (x-3)^4=1,\therefore x-3=\pm1$，
$\therefore x=4$或$x=2$，故选C.
令$a=x,b=-3$，
$\therefore (x-3)^4=x^4-12x^3+54x^2-108x+81$，
$\because x^4-12x^3+54x^2-108x+81=1$，
$\therefore (x-3)^4=1,\therefore x-3=\pm1$，
$\therefore x=4$或$x=2$，故选C.
2.「2026山东枣庄滕州期中」让我们轻松一下,做一个数字游戏:
第一步:取一个自然数$n_1=5$,计算$n_1^2+1$得$a_1$;
第二步:算出$a_1$的各位数字之和得$n_2$,计算$n_2^2+1$得$a_2$;
第三步:算出$a_2$的各位数字之和得$n_3$,计算$n_3^2+1$得$a_3$;
……
以此类推,则$a_{2025}$的值为（
A.26
B.65
C.122
D.123
第一步:取一个自然数$n_1=5$,计算$n_1^2+1$得$a_1$;
第二步:算出$a_1$的各位数字之和得$n_2$,计算$n_2^2+1$得$a_2$;
第三步:算出$a_2$的各位数字之和得$n_3$,计算$n_3^2+1$得$a_3$;
……
以此类推,则$a_{2025}$的值为（
C
）A.26
B.65
C.122
D.123
答案
根据题意可知,$n_1=5$时,$a_1=26$，
$\therefore n_2=8$,则$a_2=65$，
$\therefore n_3=11$,则$a_3=122$，
$\therefore n_4=5$,则$a_4=26$，
$\therefore n_5=8$,则$a_5=65$，
……
由此可得,3组数为一循环，
因为$2025÷3=675$，
$\therefore a_{2025}=122$.故选C.
$\therefore n_2=8$,则$a_2=65$，
$\therefore n_3=11$,则$a_3=122$，
$\therefore n_4=5$,则$a_4=26$，
$\therefore n_5=8$,则$a_5=65$，
……
由此可得,3组数为一循环，
因为$2025÷3=675$，
$\therefore a_{2025}=122$.故选C.
3.「2026山东日照东港期末」已知整数 $ a_1, a_2, a_3, a_4, \dots $ 满足下列条件：$ a_1 = 0, a_2 = -|a_1 + 1|, a_3 = -|a_2 + 2|, a_4 = -|a_3 + 3|, \dots $，以此类推，则 $ a_{2026} $ 的值为（
A.-2023
B.-2022
C.-1013
D.-1011
C
）A.-2023
B.-2022
C.-1013
D.-1011
答案
由题意得$a_2=-|a_1+1|=-1$,$a_3=-|a_2+2|=-1$,$a_4=-|a_3+3|=-2$,$a_5=-|a_4+4|=-2$,$a_6=-|a_5+5|=-3$,$a_7=-|a_6+6|=-3$，……，
由此可以发现$a_{2n}=-n$，
当$2n=2026$时,$n=1013$，
$\therefore a_{2026}$的值为$-1013$.
故选C.
由此可以发现$a_{2n}=-n$，
当$2n=2026$时,$n=1013$，
$\therefore a_{2026}$的值为$-1013$.
故选C.
4. 学科特色 数形结合思想 「2026山东济南长清期中」我们知道，可以利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种数学中的思想方法称为数形结合.
利用数形结合的思想解决下列问题.
(1)如图1,一个边长为1的正方形,依次取正方形的$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$,根据图示我们可以知道：
第一次取走$\frac{1}{2}$后还剩$\frac{1}{2}$,即$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$；
前两次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$后还剩$\frac{1}{4}$,即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$；
前三次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$后还剩$\frac{1}{8}$,即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$；……
前n次取走后,还剩
(2)如图2,一个边长为1的正方形,依次取剩余部分的$\frac{2}{3}$,根据图示计算:$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}$.
(3)图3是一个边长为1的正方形,根据图示计算:$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}$.
利用数形结合的思想解决下列问题.
(1)如图1,一个边长为1的正方形,依次取正方形的$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots,\frac{1}{2^n}$,根据图示我们可以知道：
第一次取走$\frac{1}{2}$后还剩$\frac{1}{2}$,即$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$；
前两次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$后还剩$\frac{1}{4}$,即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$；
前三次取走$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$后还剩$\frac{1}{8}$,即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$；……
前n次取走后,还剩
$\frac{1}{2^n}$
,即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$
.(2)如图2,一个边长为1的正方形,依次取剩余部分的$\frac{2}{3}$,根据图示计算:$\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}$.
(3)图3是一个边长为1的正方形,根据图示计算:$\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}$.
答案
(1)$\frac{1}{2^n}$；$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$.
(2)第一次取走$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3}$，
第二次取走剩余的$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3^2}$，
第三次取走剩余的$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3^3}$，
……
前$n$次取走后,还剩$\frac{1}{3^n}$，
$\therefore \frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}=1-\frac{1}{3^n}$.
(3)第一次取$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2}{3}$，
第二次取剩余的$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2^2}{3^2}$，
第三次取剩余的$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2^2}{3^2}×\frac{2}{3}=\frac{2^3}{3^3}$，
……
第$n$次取剩余的$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2^n}{3^n}$，
$\therefore \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}=1-\frac{2^n}{3^n}$.
(2)第一次取走$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3}$，
第二次取走剩余的$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3^2}$，
第三次取走剩余的$\frac{2}{3}$后还剩$\frac{1}{3^3}$，
……
前$n$次取走后,还剩$\frac{1}{3^n}$，
$\therefore \frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\dots+\frac{2}{3^n}=1-\frac{1}{3^n}$.
(3)第一次取$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2}{3}$，
第二次取剩余的$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2^2}{3^2}$，
第三次取剩余的$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2^2}{3^2}×\frac{2}{3}=\frac{2^3}{3^3}$，
……
第$n$次取剩余的$\frac{1}{3}$后还剩$\frac{2^n}{3^n}$，
$\therefore \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\dots+\frac{2^{n-1}}{3^n}=1-\frac{2^n}{3^n}$.
