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5.「2026山东德州期中」我们知道:若 $a - b ＞ 0$,则 $a ＞ b$;若 $a - b = 0$,则 $a = b$;若 $a - b ＜ 0$,则 $a ＜ b$.这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.
(1)试比较代数式 $5m^2 - 4m + 2$ 与 $4m^2 - 4m -7$ 的值的大小关系.
解:$(5m^2 -4m +2)-(4m^2 -4m -7)=5m^2 -4m +2 -4m^2 +4m +7=m^2 +9$,
因为 $m^2 ≥ 0$,所以 $m^2 +9 ＞0$,所以 $5m^2 -4m +2$
(2)已知 $A=5m^2 -4(\frac{7}{4}m - \frac{1}{2}), B=7(m^2 -m)+3$,请你运用前面介绍的方法比较A与B的值的大小.
(3)已知 $A=6m^2 +4m +2, B=3(2m^2 +m +1)$,比较A,B的值的大小.
(1)试比较代数式 $5m^2 - 4m + 2$ 与 $4m^2 - 4m -7$ 的值的大小关系.
解:$(5m^2 -4m +2)-(4m^2 -4m -7)=5m^2 -4m +2 -4m^2 +4m +7=m^2 +9$,
因为 $m^2 ≥ 0$,所以 $m^2 +9 ＞0$,所以 $5m^2 -4m +2$
＞
$4m^2 -4m -7$(用“＞”或“＜”填空).(2)已知 $A=5m^2 -4(\frac{7}{4}m - \frac{1}{2}), B=7(m^2 -m)+3$,请你运用前面介绍的方法比较A与B的值的大小.
(3)已知 $A=6m^2 +4m +2, B=3(2m^2 +m +1)$,比较A,B的值的大小.
答案
(1)＞.
(2)$\because A=5m^2-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2}),B=7(m^2-m)+3$，
$\therefore A-B=5m^2-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})-7(m^2-m)-3=5m^2-7m+2-7m^2+7m-3=-2m^2-1≤-1＜0$，
$\therefore A＜B$,即$A$的值小于$B$的值.
(3)$\because A=6m^2+4m+2,B=3(2m^2+m+1)$，
$\therefore A-B=6m^2+4m+2-3(2m^2+m+1)=m-1$，
当$m＞1$时,$m-1＞0$,则$A＞B$，
当$m=1$时,$m-1=0$,则$A=B$，
当$m＜1$时,$m-1＜0$,则$A＜B$.
(2)$\because A=5m^2-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2}),B=7(m^2-m)+3$，
$\therefore A-B=5m^2-4(\frac{7}{4}m-\frac{1}{2})-7(m^2-m)-3=5m^2-7m+2-7m^2+7m-3=-2m^2-1≤-1＜0$，
$\therefore A＜B$,即$A$的值小于$B$的值.
(3)$\because A=6m^2+4m+2,B=3(2m^2+m+1)$，
$\therefore A-B=6m^2+4m+2-3(2m^2+m+1)=m-1$，
当$m＞1$时,$m-1＞0$,则$A＞B$，
当$m=1$时,$m-1=0$,则$A=B$，
当$m＜1$时,$m-1＜0$,则$A＜B$.
6.【情境创设】$\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},\dots$是一组有规律的数,我们如何求这些连续数的和呢?
【探索活动】
(1)根据规律,第6个数是________,$\frac{1}{132}$是第________个数.
(2)我们知道:$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\dots\dots$,用含有n的式子表示你发现的规律:________.
【方法展示】
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.这种方法叫“裂项相消法”,构造只有符号不同的中间项,将其全部消掉.
【实践应用】
(3)根据上面获得的经验完成下面的计算:$\frac{1}{1×2}+$
.
【问题解决】
(4)容器里有1升水,按如下要求把水倒出:第一次倒出$\frac{1}{2}$升水,第二次倒出的水量是$\frac{1}{2}$升的$\frac{1}{3}$,第三次倒出的水量是$\frac{1}{3}$升的$\frac{1}{4}$,第四次倒出的水量是$\frac{1}{4}$升的$\frac{1}{5}$,……,第n次倒出的水量是$\frac{1}{n}$升水的$\frac{1}{n+1}$.按照这种倒水方式,这1升水能否倒完?说明理由.
【探索活动】
(1)根据规律,第6个数是________,$\frac{1}{132}$是第________个数.
(2)我们知道:$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\dots\dots$,用含有n的式子表示你发现的规律:________.
【方法展示】
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.这种方法叫“裂项相消法”,构造只有符号不同的中间项,将其全部消掉.
【实践应用】
(3)根据上面获得的经验完成下面的计算:$\frac{1}{1×2}+$
.【问题解决】
(4)容器里有1升水,按如下要求把水倒出:第一次倒出$\frac{1}{2}$升水,第二次倒出的水量是$\frac{1}{2}$升的$\frac{1}{3}$,第三次倒出的水量是$\frac{1}{3}$升的$\frac{1}{4}$,第四次倒出的水量是$\frac{1}{4}$升的$\frac{1}{5}$,……,第n次倒出的水量是$\frac{1}{n}$升水的$\frac{1}{n+1}$.按照这种倒水方式,这1升水能否倒完?说明理由.
答案
(1)$\because \frac{1}{2}=\frac{1}{1×2},\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3},\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4},\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5},\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}$，……，
$\therefore$第6个数是$\frac{1}{6×7}=\frac{1}{42}$，
$\because \frac{1}{132}=\frac{1}{11×12}$，
$\therefore \frac{1}{132}$是第11个数.
故答案为$\frac{1}{42}$;11.
(2)$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$($n$是大于或等于1的整数).
(3)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$.
(4)不能倒完.理由如下：
$1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1})$
$=1-[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
$=\frac{1}{n+1}$.
故这1升水不能倒完.
$\therefore$第6个数是$\frac{1}{6×7}=\frac{1}{42}$，
$\because \frac{1}{132}=\frac{1}{11×12}$，
$\therefore \frac{1}{132}$是第11个数.
故答案为$\frac{1}{42}$;11.
(2)$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$($n$是大于或等于1的整数).
(3)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$.
(4)不能倒完.理由如下：
$1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1})$
$=1-[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
$=\frac{1}{n+1}$.
故这1升水不能倒完.
