7.(2025·广州)如图,$\odot O$的直径$AB=4$,C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,点D在$\overset{\frown}{BC}$上,$\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$,P是AB上的一个动点,则$△ PCD$周长的最小值是 ()

A.$2+\sqrt{7}$
B.$2+2\sqrt{3}$
C.$3+\sqrt{7}$
D.$4+4\sqrt{3}$

7.B

8.(2025·滨城区期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=52°$,$\odot O$截$△ ABC$三边所得的弦长相等,则$∠ BOC$的度数是.

8.116°

9.如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，点M，N在$\overset{\frown}{AB}$上，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F。有下列结论：①$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BN}$；②ME=NF；③AE=BF；④ME=2AE。其中正确的有。（填序号）

9.①②③

10.如图，O是∠MPN平分线上一点，以点O为圆心的圆和PM，PN分别交于点A，B，C，D。求证：∠OBA=∠OCD。

10.证明:如答图,过点O作$OE ⊥ AB$于点E,$OF ⊥ CD$于点F.
$\because PO$平分$∠ MPN,\therefore OE=OF.$
在$\mathrm{Rt}△ BOE$和$\mathrm{Rt}△ COF$中,$OB=OC,OE=OF,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BOE≌ \mathrm{Rt}△ COF(\mathrm{HL}),\therefore ∠ OBA=∠ OCD.$

11. 如图①，AD，BC是$\odot O$的弦，且AD=BC，连接AB，CD.
(1)求证：AB=CD；
(2)如图②，连接BD，若$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}$，BD=24，AB=$4\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径.

11.(1)证明:$\because AD=BC,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD.$
(2)解:如答图,过点O作$OE ⊥ BD$于点E,交$\odot O$于点F,连接OB,BF,
则$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{DF},\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{DF},BE=DE=12.$
$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD},\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF},\therefore AB=BF=4\sqrt{13},$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BEF$中,$EF=\sqrt{BF^2-BE^2}=8.$
设$\odot O$的半径为r,则$OE=r-8,$
根据勾股定理,得$12^2+(r-8)^2=r^2$,解得$r=13,$
即$\odot O$的半径为13.