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1. 有若干面积相同的矩形，长为$ x $ cm，宽为$ y $ cm，已知$ x=4 $时，$ y=6 $。
(1)$ y $与$ x $的函数关系式为
(2)取各组$(x,y)$作为点的坐标描点连线，所得曲线是反比例函数图象第
(3)过图象上任意一点作坐标轴垂线，围成矩形面积为
(1)$ y $与$ x $的函数关系式为
$y=\frac{24}{x}$
；(2)取各组$(x,y)$作为点的坐标描点连线，所得曲线是反比例函数图象第
一
象限的一支；(3)过图象上任意一点作坐标轴垂线，围成矩形面积为
24
。答案
1.(1)$y=\frac{24}{x}$ (2)一 (3)24
解析
【分析】
本题围绕矩形面积不变的条件考查反比例函数的相关知识，解题思路如下：1. 先根据已知的长和宽求出矩形固定面积，再结合反比例函数定义推导y与x的函数关系式；2. 根据反比例函数的性质，结合实际问题中长、宽均为正数的取值要求，判断图象所在象限；3. 利用反比例函数中k的几何意义，直接得出围成矩形的面积。
【解析】
(1) 已知矩形面积固定，由矩形面积公式可得$S=xy$。将$x=4$，$y=6$代入，得$S=4×6=24$，因此$xy=24$，整理可得$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{24}{x}$（$x＞0$）。
(2) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k=24＞0$，因此其图象位于第一、三象限；又因为矩形的长$x$、宽$y$均为正数，即$x＞0,y＞0$，因此所得曲线是反比例函数图象第一象限的一支。
(3) 根据反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为$\left|k\right|$。本题中$k=24$，因此围成矩形的面积为24。
【答案】
(1)$y=\frac{24}{x}$ (2)一 (3)24
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象；反比例函数k的几何意义
【点评】
本题结合实际几何场景考查反比例函数的基础核心知识点，难度较低，解题的关键是抓住矩形面积不变的核心条件，同时注意实际问题中自变量的取值范围对函数图象的限制，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题围绕矩形面积不变的条件考查反比例函数的相关知识，解题思路如下：1. 先根据已知的长和宽求出矩形固定面积，再结合反比例函数定义推导y与x的函数关系式；2. 根据反比例函数的性质，结合实际问题中长、宽均为正数的取值要求，判断图象所在象限；3. 利用反比例函数中k的几何意义，直接得出围成矩形的面积。
【解析】
(1) 已知矩形面积固定，由矩形面积公式可得$S=xy$。将$x=4$，$y=6$代入，得$S=4×6=24$，因此$xy=24$，整理可得$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{24}{x}$（$x＞0$）。
(2) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k=24＞0$，因此其图象位于第一、三象限；又因为矩形的长$x$、宽$y$均为正数，即$x＞0,y＞0$，因此所得曲线是反比例函数图象第一象限的一支。
(3) 根据反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为$\left|k\right|$。本题中$k=24$，因此围成矩形的面积为24。
【答案】
(1)$y=\frac{24}{x}$ (2)一 (3)24
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象；反比例函数k的几何意义
【点评】
本题结合实际几何场景考查反比例函数的基础核心知识点，难度较低，解题的关键是抓住矩形面积不变的核心条件，同时注意实际问题中自变量的取值范围对函数图象的限制，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 下表是8个面积相等的矩形的长与宽：
(1)请补全表格；
(2)设∠A为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取∠A的8个对角的顶点，把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来，并写出这条曲线的函数解析式。
(1)请补全表格；
(2)设∠A为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取∠A的8个对角的顶点，把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来，并写出这条曲线的函数解析式。
答案
解:(1)6 8 10 10 5 $\frac{10}{3}$ $\frac{5}{2}$
(2)如图所示
.函数解析式为$y=\frac{10}{x}$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先利用已知的一组长和宽求出矩形的面积，由于所有矩形面积相等，可得长y与宽x的乘积为定值，再根据这个关系计算表格中所有未知的长和宽；解决第(2)问时，将公共角∠A的顶点作为坐标原点，两边分别与x轴、y轴正半轴重合，矩形的对角顶点坐标为(x,y)，结合面积关系即可得到函数解析式，再描点连线得到对应曲线。
【解析】
(1) 由表格已知当长$y=5\mathrm{cm}$时，宽$x=2\mathrm{cm}$，因为8个矩形面积相等，所以单个矩形面积$S=xy=5×2=10\mathrm{cm}^2$，即$xy=10$。
计算长$y$的未知值：
当$x=\frac{5}{3}\mathrm{cm}$时，$y=\frac{10}{\frac{5}{3}}=6\mathrm{cm}$；当$x=\frac{5}{4}\mathrm{cm}$时，$y=\frac{10}{\frac{5}{4}}=8\mathrm{cm}$；当$x=1\mathrm{cm}$时，$y=\frac{10}{1}=10\mathrm{cm}$。
计算宽$x$的未知值：
当$y=1\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{1}=10\mathrm{cm}$；当$y=2\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{2}=5\mathrm{cm}$；当$y=3\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{3}\mathrm{cm}$；当$y=4\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
(2) 将公共角$∠ A$的顶点与坐标原点重合，$∠ A$的两条边分别与$x$轴、$y$轴正半轴重合，矩形的宽沿$x$轴放置，长沿$y$轴放置，则每个矩形与$∠ A$相对的顶点坐标为$(x,y)$，满足$xy=10$，即$y=\frac{10}{x}(x＞0)$。依次描出8个顶点，用平滑曲线顺次连接，所得曲线如图所示。
【答案】
(1) 长$y/\mathrm{cm}$行未知值依次为$\boxed{6}$、$\boxed{8}$、$\boxed{10}$；宽$x/\mathrm{cm}$行未知值依次为$\boxed{10}$、$\boxed{5}$、$\boxed{\frac{10}{3}}$、$\boxed{\frac{5}{2}}$
(2) 如图所示，函数解析式为$\boxed{y=\frac{10}{x}(x＞0)}$
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的图像，反比例函数的应用
【点评】
本题结合矩形面积的不变性考查反比例函数的相关知识，需要先通过已知条件确定长和宽的函数关系，再利用函数关系求解未知量，同时考查了反比例函数图像的绘制方法，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，首先利用已知的一组长和宽求出矩形的面积，由于所有矩形面积相等，可得长y与宽x的乘积为定值，再根据这个关系计算表格中所有未知的长和宽；解决第(2)问时，将公共角∠A的顶点作为坐标原点，两边分别与x轴、y轴正半轴重合，矩形的对角顶点坐标为(x,y)，结合面积关系即可得到函数解析式，再描点连线得到对应曲线。
【解析】
(1) 由表格已知当长$y=5\mathrm{cm}$时，宽$x=2\mathrm{cm}$，因为8个矩形面积相等，所以单个矩形面积$S=xy=5×2=10\mathrm{cm}^2$，即$xy=10$。
计算长$y$的未知值：
当$x=\frac{5}{3}\mathrm{cm}$时，$y=\frac{10}{\frac{5}{3}}=6\mathrm{cm}$；当$x=\frac{5}{4}\mathrm{cm}$时，$y=\frac{10}{\frac{5}{4}}=8\mathrm{cm}$；当$x=1\mathrm{cm}$时，$y=\frac{10}{1}=10\mathrm{cm}$。
计算宽$x$的未知值：
当$y=1\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{1}=10\mathrm{cm}$；当$y=2\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{2}=5\mathrm{cm}$；当$y=3\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{3}\mathrm{cm}$；当$y=4\mathrm{cm}$时，$x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
(2) 将公共角$∠ A$的顶点与坐标原点重合，$∠ A$的两条边分别与$x$轴、$y$轴正半轴重合，矩形的宽沿$x$轴放置，长沿$y$轴放置，则每个矩形与$∠ A$相对的顶点坐标为$(x,y)$，满足$xy=10$，即$y=\frac{10}{x}(x＞0)$。依次描出8个顶点，用平滑曲线顺次连接，所得曲线如图所示
。【答案】
(1) 长$y/\mathrm{cm}$行未知值依次为$\boxed{6}$、$\boxed{8}$、$\boxed{10}$；宽$x/\mathrm{cm}$行未知值依次为$\boxed{10}$、$\boxed{5}$、$\boxed{\frac{10}{3}}$、$\boxed{\frac{5}{2}}$
(2) 如图所示
，函数解析式为$\boxed{y=\frac{10}{x}(x＞0)}$【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的图像，反比例函数的应用
【点评】
本题结合矩形面积的不变性考查反比例函数的相关知识，需要先通过已知条件确定长和宽的函数关系，再利用函数关系求解未知量，同时考查了反比例函数图像的绘制方法，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
测量密度
浮力式密度计是测量液体密度的仪器(如图
)，通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮。密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度$h$(单位:cm)，且液体密度$\rho$(单位:g/cm³)是浸没深度$h$(单位:cm)的反比例函数。小明在家里制作简易浮力式密度计(如图
)，经过测量与查阅资料得到浸没深度$h$与液体密度$\rho$的对应关系(如下表)。
| | 酒精 | 水 | 蜂蜜 |
| --- | --- | --- | --- |
| 浸没深度$h$(cm) | 17.5 | 14 | 10 |
| 液体密度$\rho$(g/cm³) | $m$ | 1 | $n$ |
(1)$m=$
(2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5 cm，最大浸没深度为20 cm，求该密度计能测量的液体密度$\rho$的范围。
浮力式密度计是测量液体密度的仪器(如图
)，通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮。密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度$h$(单位:cm)，且液体密度$\rho$(单位:g/cm³)是浸没深度$h$(单位:cm)的反比例函数。小明在家里制作简易浮力式密度计(如图)，经过测量与查阅资料得到浸没深度$h$与液体密度$\rho$的对应关系(如下表)。| | 酒精 | 水 | 蜂蜜 |
| --- | --- | --- | --- |
| 浸没深度$h$(cm) | 17.5 | 14 | 10 |
| 液体密度$\rho$(g/cm³) | $m$ | 1 | $n$ |
(1)$m=$
0.8
，$n=$1.4
；(2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5 cm，最大浸没深度为20 cm，求该密度计能测量的液体密度$\rho$的范围。
答案
(1)$m=0.8$，$n=1.4$
(2)设反比例函数的解析式为$\rho=\frac{k}{h}$,把$h=14,\rho=1$代入,得$1=\frac{k}{14}$,解得$k=14$. $\therefore$反比例函数的解析式为$\rho=\frac{14}{h}$. 当$h=5$时,$\rho=\frac{14}{5}=2.8$;当$h=20$时,$\rho=\frac{14}{20}=0.7$.
根据反比例函数的增减性,得$0.7≤\rho≤2.8$.
(2)设反比例函数的解析式为$\rho=\frac{k}{h}$,把$h=14,\rho=1$代入,得$1=\frac{k}{14}$,解得$k=14$. $\therefore$反比例函数的解析式为$\rho=\frac{14}{h}$. 当$h=5$时,$\rho=\frac{14}{5}=2.8$;当$h=20$时,$\rho=\frac{14}{20}=0.7$.
根据反比例函数的增减性,得$0.7≤\rho≤2.8$.
解析
【分析】
题目明确液体密度$\rho$是浸没深度$h$的反比例函数，解题思路如下：1. 先利用已知的水的浸没深度和密度数据，求出反比例函数的常数$k$，确定函数解析式；2. 第一问将酒精、蜂蜜对应的浸没深度代入解析式，即可求出$m$、$n$的值；3. 第二问根据给出的$h$的取值范围，结合反比例函数的增减性，即可求出$\rho$的取值范围。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$\rho=\frac{k}{h}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
将$h=14\ \mathrm{cm}$，$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$代入解析式，得：
$1=\frac{k}{14}$，解得$k=14$，因此反比例函数解析式为$\rho=\frac{14}{h}$。
将酒精的浸没深度$h=17.5\ \mathrm{cm}$代入解析式，得$m=\frac{14}{17.5}=0.8$；
将蜂蜜的浸没深度$h=10\ \mathrm{cm}$代入解析式，得$n=\frac{14}{10}=1.4$。
(2) 由题意知，浸没深度的取值范围为$5≤ h≤20$。
因为反比例函数$\rho=\frac{14}{h}$中$k=14＞0$，所以当$h＞0$时，$\rho$随$h$的增大而减小：
当$h$取最小值5时，$\rho$取最大值：$\rho_{\mathrm{max}}=\frac{14}{5}=2.8$；
当$h$取最大值20时，$\rho$取最小值：$\rho_{\mathrm{min}}=\frac{14}{20}=0.7$；
因此该密度计能测量的液体密度范围为$0.7≤\rho≤2.8$。
【答案】
(1)$0.8$；$1.4$
(2)$0.7≤\rho≤2.8$
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数增减性，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合浮力密度计的生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用已知数据确定反比例函数的解析式，再结合函数增减性求解函数的取值范围，需要注意自变量与函数值的对应关系，避免颠倒大小。
【难度系数】
0.7
题目明确液体密度$\rho$是浸没深度$h$的反比例函数，解题思路如下：1. 先利用已知的水的浸没深度和密度数据，求出反比例函数的常数$k$，确定函数解析式；2. 第一问将酒精、蜂蜜对应的浸没深度代入解析式，即可求出$m$、$n$的值；3. 第二问根据给出的$h$的取值范围，结合反比例函数的增减性，即可求出$\rho$的取值范围。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$\rho=\frac{k}{h}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
将$h=14\ \mathrm{cm}$，$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$代入解析式，得：
$1=\frac{k}{14}$，解得$k=14$，因此反比例函数解析式为$\rho=\frac{14}{h}$。
将酒精的浸没深度$h=17.5\ \mathrm{cm}$代入解析式，得$m=\frac{14}{17.5}=0.8$；
将蜂蜜的浸没深度$h=10\ \mathrm{cm}$代入解析式，得$n=\frac{14}{10}=1.4$。
(2) 由题意知，浸没深度的取值范围为$5≤ h≤20$。
因为反比例函数$\rho=\frac{14}{h}$中$k=14＞0$，所以当$h＞0$时，$\rho$随$h$的增大而减小：
当$h$取最小值5时，$\rho$取最大值：$\rho_{\mathrm{max}}=\frac{14}{5}=2.8$；
当$h$取最大值20时，$\rho$取最小值：$\rho_{\mathrm{min}}=\frac{14}{20}=0.7$；
因此该密度计能测量的液体密度范围为$0.7≤\rho≤2.8$。
【答案】
(1)$0.8$；$1.4$
(2)$0.7≤\rho≤2.8$
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数增减性，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合浮力密度计的生活场景考查反比例函数的应用，解题核心是先利用已知数据确定反比例函数的解析式，再结合函数增减性求解函数的取值范围，需要注意自变量与函数值的对应关系，避免颠倒大小。
【难度系数】
0.7
