1. 当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为$ x,y $.选取5组数对$ (x,y) $，在平面直角坐标系中进行描点，则正确的是 （）

1.C

【分析】
解题时首先利用菱形面积公式推导两条对角线长x和y的函数关系，明确x、y均为正数，可得y是x的反比例函数；再结合第一象限内反比例函数的性质：y随x的增大而减小，且x趋近于0时y趋近于正无穷、x趋近于正无穷时y趋近于0，逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
设菱形的面积为定值S（S＞0），根据菱形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}xy$，整理得$y=\frac{2S}{x}$。
∵x、y是菱形的两条对角线长，
∴x＞0，y＞0，即y是x的反比例函数，函数图像仅位于第一象限，且在第一象限内y随x的增大而减小。
对选项逐一分析：
选项A、D中点的分布呈y随x增大而增大的趋势，不符合反比例函数性质，排除；
选项B中x趋近于0时y的值较小，不符合反比例函数x→0+时y→+∞的变化趋势，排除；
选项C中点的分布符合第一象限反比例函数的特征，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
菱形面积计算，反比例函数的图像，反比例函数的性质
【点评】
本题结合几何图形的面积公式考查反比例函数的实际应用，解题的核心是先建立变量间的函数关系，再结合函数性质和实际取值范围判断点的分布，能有效考查学生结合几何知识应用函数的能力。
【难度系数】
0.7

2. 当温度不变时，气球内气体的气压$p$(单位：kPa)是气体体积$V$(单位：$\mathrm{m}^3$)的函数，下表记录了一组实验数据：

$P$与$V$的函数解析式可能是 （）

A.$P=96V$
B.$P=-16V+112$
C.$P=\frac{96}{V}$
D.$P=16V^2 -96V +176$

2.C

【分析】
要判断p与V的函数解析式，有两种常见解题思路：一是结合反比例函数的特征，若两个变量成反比例关系，则它们的乘积为定值，可通过计算表格中每组V和p的乘积验证；二是用代入排除法，将表格中的数值逐一代入四个选项，排除不符合的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
方法一：利用反比例函数特征判断
计算每组V与p的乘积：
当$V=1\mathrm{m}^3$时，$V· p=1×96=96$；
当$V=1.5\mathrm{m}^3$时，$V· p=1.5×64=96$；
当$V=2\mathrm{m}^3$时，$V· p=2×48=96$；
当$V=2.5\mathrm{m}^3$时，$V· p=2.5×38.4=96$；
当$V=3\mathrm{m}^3$时，$V· p=3×32=96$。
可见$V$和$p$的乘积为定值96，因此$p=\frac{96}{V}$，对应选项C。
方法二：代入排除法
代入A选项：当$V=1.5$时，$p=96×1.5=144≠64$，排除A；
代入B选项：当$V=2$时，$p=-16×2+112=80≠48$，排除B；
代入D选项：当$V=1.5$时，$p=16×(1.5)^2-96×1.5+176=36-144+176=68≠64$，排除D；
只有C选项满足所有组的实验数据，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 函数解析式的验证
【点评】
本题结合生活实际情境考查函数类型的判断，解题方法灵活，既可以利用反比例函数的性质快速求解，也可以通过代入数值逐一排除错误选项，注意验证多组数据，避免因部分数据匹配错选答案。
【难度系数】
0.8

3. 小明同学利用如图所示的电路探究电流 I 与电阻 R 的关系.已知电源电压保持不变,实验用到的电阻阻值和测得的电流如表所示:

实验结束后,小明同学发现电流 I 和电阻 R 之间是一种数学函数模型,请写出 I 和 R 之间函数关系式:.

3.$I=\frac{6}{R}$

【分析】
要推导I与R的函数关系式，首先根据题意判断二者的函数类型：电流与电阻成反比，符合反比例函数的特征，因此可先设反比例函数的一般形式$ I=\frac{k}{R} $（k为非零常数）；再从表格中选取一组对应的I、R值代入解析式，求出常数k；最后用其余组实验数据验证k值是否符合，确认无误后即可得到最终的函数关系式。
【解析】
由题意可知，电流I与电阻R成反比例关系，设I与R的函数关系式为$ I = \frac{k}{R} $（k为常数，$ k≠0 $，$ R＞0 $）。
选取表格中任意一组对应值代入解析式，例如取$ R=10\Omega $，$ I=0.6A $，代入得：
$ 0.6 = \frac{k}{10} $
解得$ k=6 $。
将其余各组实验数据代入$ I=\frac{6}{R} $验证，均符合等式，说明k=6是正确的。
因此I和R之间的函数关系式为$ I=\frac{6}{R} $。
【答案】
$ I=\frac{6}{R} $
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理实验情境考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先准确判断函数类型，再用待定系数法求解常数，最后验证解析式的合理性，既体现了跨学科知识的融合，也考查了学生运用数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

4. 为做好儿童青少年近视的防治工作，国家印发了《近视防治指南(2024年版)》，其中根据近视度数分为三类:低度近视(50度至300度)、中度近视(300度至600度)和高度近视(超过600度).小明到眼镜店调查到的近视眼镜的镜片度数和镜片焦距的关系如下表:

根据上表体现出来的规律,若小明所戴眼镜镜片的焦距为20 cm,则他镜片度数是度.

4.500

【分析】
首先观察表格中镜片度数$ y $和焦距$ x $的对应数值，计算每组$ x $和$ y $的乘积可发现乘积为定值，说明二者成反比例函数关系，先确定函数解析式，再将焦距的单位换算为米后代入解析式，即可求出对应的镜片度数。
【解析】
观察表格数据可得：
$1×100=100$，$0.5×200=100$，$0.25×400=100$，$0.1×1000=100$，
因此$ y $与$ x $满足反比例函数关系，解析式为$ y=\frac{100}{x} $（$x＞0$）。
已知镜片焦距为20cm，换算单位得$ x=20\mathrm{cm}=0.2\mathrm{m} $，将$ x=0.2 $代入解析式：
$ y=\frac{100}{0.2}=500 $（度）。
【答案】
500
【知识点】
反比例函数的应用，单位换算
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题关键是从表格数据中归纳出两个变量的反比例关系，建立正确的函数模型，计算前注意统一单位，避免因单位不符出错。
【难度系数】
0.7

5. 小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB=1 m. 若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小益发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
| 点A与点O的距离 l/m | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拉力的大小 F/N | 300 | 200 | 150 | a | 100 |
(1)表格中a的值是.
(2)小益通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系. 在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象.
(3)根据以上数据和图象，直接写出F关于l的函数解析式(不要求写自变量l的取值范围)，并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
(4)已知横杆总长为8 m，小益想用40 N的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由.

5.解:(1)120
(2)F与l之间的函数图象如图所示.
(3)F是l的反比例函数,解析式为$F=\frac{300}{l}$,当OA的长增大时,拉力F是减小.
理由如下:$\because Fl=300,\therefore F=\frac{300}{l}.\because k＞0,\therefore$在第一象限内,F随l的增大而减小,即当OA的长增大时,拉力F是减小.
(4)小益不能成功,理由如下:由题意,得OA的最大长度为7 m,$\because$用40 N的拉力,$\therefore$令F=40,则$l=\frac{300}{40}=7.5$.$\because 7.5\ \mathrm{m}＞7\ \mathrm{m}$,$\therefore$小益不能成功.

【分析】
本题结合古代汲水工具桔槔的实际场景，考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据杠杆平衡原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，已知阻力为300N、阻力臂OB=1m，可得$F· l=300$为定值，将l=2.5代入即可求出a的值；
2. 第(2)问：将表格中每组(l,F)作为坐标点，在坐标系中准确描出对应点，再用平滑曲线连接各点即可得到函数图象；
3. 第(3)问：由$F· l=300$的恒等关系，可判断F是l的反比例函数，写出解析式后，结合反比例函数的性质：当k＞0时，第一象限内函数值随自变量增大而减小，即可判断F的变化趋势；
4. 第(4)问：先确定OA的最大长度，横杆总长8m，OB占1m，因此OA最长为7m，将F=40代入解析式求出对应的l值，与最大长度对比，若超过则不能成功。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，代入已知数据得$F· l=300\mathrm{N}×1\mathrm{m}=300\mathrm{N· m}$。当$l=2.5\mathrm{m}$时，$a=\frac{300}{2.5}=120$。
(2) 依次描出点(1,300)、(1.5,200)、(2,150)、(2.5,120)、(3,100)，用平滑曲线连接各点，得到函数图象如下：
(3) 由$F· l=300$变形可得F关于l的函数解析式为$F=\frac{300}{l}$。当OA的长增大时拉力F减小，理由：该反比例函数中$k=300＞0$，且l＞0，因此在第一象限内F随l的增大而减小，即OA越长，所需拉力越小。
(4) 小益不能成功，理由：横杆总长为8m，OB=1m，因此OA的最大长度为$8-1=7\mathrm{m}$。当$F=40\mathrm{N}$时，代入解析式得$l=\frac{300}{40}=7.5\mathrm{m}$，$7.5\mathrm{m}＞7\mathrm{m}$，超过OA的最大长度，因此无法实现。
【答案】
(1) 120
(2) F与l之间的函数图象如图所示.
(3) F是l的反比例函数,解析式为$F=\frac{300}{l}$,当OA的长增大时,拉力F是减小.
(4) 小益不能成功.
【知识点】
反比例函数的应用，杠杆平衡原理，反比例函数的性质
【点评】
本题将数学知识、物理原理与古代生产场景结合，考查学生建立反比例函数模型解决实际问题的能力，解题时需注意实际场景中自变量的取值范围限制，避免忽略边界条件出错。
【难度系数】
0.7