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7 [中]两个反比例函数 $ C_1: y=\frac{2}{x} $ 和 $ C_2: y=\frac{1}{x} $ 在第一象限内的图象如图所示，点P在$ C_1 $上，$ PC ⊥ x $轴于点C，交$ C_2 $于点A，$ PD ⊥ y $轴于点D，交$ C_2 $于点B，则四边形PAOB的面积为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7. A 【解析】$\because PC⊥ x$轴,$PD⊥ y$轴,$\therefore S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2},S_{矩形PCOD}=|2|=2,$
∴四边形PAOB的面积为$2-2×\frac{1}{2}=1.$
∴四边形PAOB的面积为$2-2×\frac{1}{2}=1.$
解析
【分析】
要求不规则四边形PAOB的面积，直接计算难度较大，可采用割补法转化为规则图形的面积差求解：观察图形可知，四边形PAOB的面积 = 矩形PCOD的面积 - △AOC的面积 - △BOD的面积。再结合反比例函数k的几何意义，分别求出上述规则图形的面积后代入计算即可。
【解析】
∵ $PC ⊥ x$轴，$PD ⊥ y$轴，点P在$C_1:y=\frac{2}{x}$上，点A、B在$C_2:y=\frac{1}{x}$上，
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × |1|=\frac{1}{2}$，
$S_{矩形PCOD}=|2|=2$，
∴ 四边形PAOB的面积为 $S_{矩形PCOD} - S_{△ AOC} - S_{△ BOD} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义、割补法求不规则图形面积
【点评】
本题是反比例函数面积类问题的典型考法，核心是利用反比例函数k的几何意义快速得到相关规则图形的面积，再通过割补法将不规则图形面积转化为规则图形的和差求解，解题关键是熟练掌握k的几何意义。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形PAOB的面积，直接计算难度较大，可采用割补法转化为规则图形的面积差求解：观察图形可知，四边形PAOB的面积 = 矩形PCOD的面积 - △AOC的面积 - △BOD的面积。再结合反比例函数k的几何意义，分别求出上述规则图形的面积后代入计算即可。
【解析】
∵ $PC ⊥ x$轴，$PD ⊥ y$轴，点P在$C_1:y=\frac{2}{x}$上，点A、B在$C_2:y=\frac{1}{x}$上，
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × |1|=\frac{1}{2}$，
$S_{矩形PCOD}=|2|=2$，
∴ 四边形PAOB的面积为 $S_{矩形PCOD} - S_{△ AOC} - S_{△ BOD} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义、割补法求不规则图形面积
【点评】
本题是反比例函数面积类问题的典型考法，核心是利用反比例函数k的几何意义快速得到相关规则图形的面积，再通过割补法将不规则图形面积转化为规则图形的和差求解，解题关键是熟练掌握k的几何意义。
【难度系数】
0.7
8[2026安徽安庆校级质检,中]已知反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$与$y=-\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC//y轴，分别交反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$与$y=-\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象于点A,C，点D,E(点E在点D的上方)在y轴正半轴上，且DE=AC，则四边形ACDE的面积为（
A.6.5
B.7
C.7.5
D.8
B
）A.6.5
B.7
C.7.5
D.8
答案
8. B 【解析】如图,连接AD,OA,OC.$\because AC// y$轴,$DE=AC$,
∴四边形ACDE为平行四边形,$\therefore S_{四边形ACDE}=2S_{△ ADC}. \because AC// y$轴,$\therefore S_{△ ADC}=S_{△ AOC}. \because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×|4|=2,S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×|-3|=\frac{3}{2},\therefore S_{△ AOC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}=\frac{7}{2},\therefore S_{四边形ACDE}=2S_{△ AOC}=7$,故选 B.
解析
【分析】
解题时先观察边的关系：由AC平行于y轴可得AC//DE，结合DE=AC，可判定四边形ACDE是平行四边形，其面积为△ADC面积的2倍；再利用AC//y轴的条件，可知△ADC和△AOC同底等高，面积相等，由此可将四边形面积转化为2倍的△AOC的面积；最后借助反比例函数k的几何意义，计算△AOB和△BOC的面积，求和后乘2即可得到最终结果。
【解析】
如图，连接AD、OA、OC。
$\because AC// y$轴，DE在y轴上，$\therefore AC// DE$，
又$\because DE=AC$，$\therefore$ 四边形ACDE为平行四边形，
$\therefore S_{四边形ACDE}=2S_{△ ADC}$。
$\because AC// y$轴，$△ ADC$和$△ AOC$以AC为底时高相等，
$\therefore S_{△ ADC}=S_{△ AOC}$。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×\left|4\right|=2$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\left|-3\right|=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ AOC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$，
$\therefore S_{四边形ACDE}=2×\frac{7}{2}=7$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定与性质，同底等高三角形面积
【点评】
本题属于反比例函数面积计算的常规题型，解题关键是通过面积转化将所求四边形面积和反比例函数的几何意义结合起来，省去了设点坐标代入计算的繁琐步骤，能够很好地考察学生对反比例函数性质和图形面积转化的掌握程度。
【难度系数】
0.6
解题时先观察边的关系：由AC平行于y轴可得AC//DE，结合DE=AC，可判定四边形ACDE是平行四边形，其面积为△ADC面积的2倍；再利用AC//y轴的条件，可知△ADC和△AOC同底等高，面积相等，由此可将四边形面积转化为2倍的△AOC的面积；最后借助反比例函数k的几何意义，计算△AOB和△BOC的面积，求和后乘2即可得到最终结果。
【解析】
如图，连接AD、OA、OC。
$\because AC// y$轴，DE在y轴上，$\therefore AC// DE$，
又$\because DE=AC$，$\therefore$ 四边形ACDE为平行四边形，
$\therefore S_{四边形ACDE}=2S_{△ ADC}$。
$\because AC// y$轴，$△ ADC$和$△ AOC$以AC为底时高相等，
$\therefore S_{△ ADC}=S_{△ AOC}$。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×\left|4\right|=2$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×\left|-3\right|=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ AOC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$，
$\therefore S_{四边形ACDE}=2×\frac{7}{2}=7$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定与性质，同底等高三角形面积
【点评】
本题属于反比例函数面积计算的常规题型，解题关键是通过面积转化将所求四边形面积和反比例函数的几何意义结合起来，省去了设点坐标代入计算的繁琐步骤，能够很好地考察学生对反比例函数性质和图形面积转化的掌握程度。
【难度系数】
0.6
9[2026安徽合肥蜀山区校级期中,中]如图所示,已知点E是y轴正半轴上的一点,过点E作$BD// x$轴,分别交反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$和$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象于点D,B,以BD为对角线作$□ ABCD$.若点A在x轴上,$□ ABCD$的面积为12,则k的值为
-8
.答案
9. $\boldsymbol{-8}$ 【解析】连接OB,OD,如图. 由条件可知$S_{△ BOD}=S_{△ BDA},S_{△ BDA}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×12=6. \because S_{△ BEO}=\frac{1}{2}|k|$,$S_{△ DEO}=\frac{1}{2}×|4|=2,S_{△ BDA}=S_{△ BOD}=S_{△ BEO}+S_{△ DEO}=\frac{1}{2}|k|+2=6,\therefore |k|=8.$
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象在第二象限,$\therefore k=-8$,故答案为-8.
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，平行四边形的对角线将其分成面积相等的两个三角形，因此可先求出△ABD的面积；再结合BD平行于x轴、点A在x轴的条件，可知△BOD和△ABD同底等高，面积相等；接下来利用反比例函数k的几何意义，分别表示出△BEO和△DEO的面积，两个小三角形面积之和等于△BOD的面积，据此列方程求出|k|，最后根据反比例函数所在象限确定k的正负即可得到结果。
【解析】
连接OB、OD，如图。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$S_{△ BDA}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×12=6$，
∵$BD// x$轴，点A在x轴上，
∴$△ BOD$和$△ BDA$同底BD，高均为BD到x轴的距离，
∴$S_{△ BOD}=S_{△ BDA}=6$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，$BD// x$轴，OE⊥BD，
∴$S_{△ BEO}=\frac{1}{2}|k|$，
∵点D在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$S_{△ DEO}=\frac{1}{2}×|4|=2$，
又
∵$S_{△ BOD}=S_{△ BEO}+S_{△ DEO}$，
∴$\frac{1}{2}|k|+2=6$，解得$|k|=8$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象在第二象限，$k＜0$，
∴$k=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、同底等高三角形面积性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是将平行四边形的面积转化为与反比例函数相关的三角形面积，利用k的几何意义建立方程求解，解题时要注意根据图象所在象限判断k的符号，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先从平行四边形的性质入手，平行四边形的对角线将其分成面积相等的两个三角形，因此可先求出△ABD的面积；再结合BD平行于x轴、点A在x轴的条件，可知△BOD和△ABD同底等高，面积相等；接下来利用反比例函数k的几何意义，分别表示出△BEO和△DEO的面积，两个小三角形面积之和等于△BOD的面积，据此列方程求出|k|，最后根据反比例函数所在象限确定k的正负即可得到结果。
【解析】
连接OB、OD，如图
。∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$S_{△ BDA}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×12=6$，
∵$BD// x$轴，点A在x轴上，
∴$△ BOD$和$△ BDA$同底BD，高均为BD到x轴的距离，
∴$S_{△ BOD}=S_{△ BDA}=6$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，$BD// x$轴，OE⊥BD，
∴$S_{△ BEO}=\frac{1}{2}|k|$，
∵点D在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$S_{△ DEO}=\frac{1}{2}×|4|=2$，
又
∵$S_{△ BOD}=S_{△ BEO}+S_{△ DEO}$，
∴$\frac{1}{2}|k|+2=6$，解得$|k|=8$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象在第二象限，$k＜0$，
∴$k=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、同底等高三角形面积性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是将平行四边形的面积转化为与反比例函数相关的三角形面积，利用k的几何意义建立方程求解，解题时要注意根据图象所在象限判断k的符号，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1 坐标法 [2025安徽合肥庐阳区质检,难]如图，Rt△ABO中，∠OBA=90°, OB=AB,点A和点B都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N.
（1）若△ONB的面积为4,则k的值为
（2）当k取任意正数时，$\frac{ON-AM}{ON}$的值为
（1）若△ONB的面积为4,则k的值为
8
；（2）当k取任意正数时，$\frac{ON-AM}{ON}$的值为
$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
.答案
1. (1)8 (2)$\boldsymbol{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ 【解析】(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0),S_{△ ONB}=4,\therefore k=2S_{△ ONB}=8.$ 故答案为8.
(2)如图,分别延长NB和MA交于点C,则$∠ C=∠ BNO=90°$. 设点$B(a,b)$. 证明$△ OBN≌△ BAC$,得到$AC=NB=a,BC=ON=b$,根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程$ab=(b+a)(b-a)$,整理得$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=1$,利用换元法求出$\frac{a}{b}$的值即可得到$\frac{ON-AM}{ON}$的值.
在$△ OBN$和$△ BAC$中,
$\begin{cases}∠ BNO=∠ C,\\∠ BON=∠ ABC,\\OB=AB,\end{cases}$$\therefore△ OBN≌△ BAC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AC=NB=a,BC=ON=b,\therefore C(a+b,b),A(a+b,b-a).$
∵点B和点A都在反比例函数图象上,$\therefore ab=(b+a)(b-a),\therefore ab=b^2-a^2. \because k=ab＞0,\therefore \frac{b}{a}-\frac{a}{b}=1$,设$\frac{a}{b}=t$,则方程转化为$\frac{1}{t}-t=1$,整理得$t^2+t-1=0$,解得$t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去),$\therefore \frac{a}{b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$\therefore \frac{ON-AM}{ON}=\frac{b-(b-a)}{b}=\frac{a}{b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. 故答案为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
（1）第一问可利用反比例函数k的几何意义求解：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，本题图象在第一象限，$k＞0$，已知$△ ONB$的面积，代入公式即可求出k。
（2）第二问先结合$∠ OBA=90°$、$OB=AB$的条件，延长NB、MA交于点C构造直角，证明$△ OBN≌△ BAC$，用点B的坐标表示出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为k的特征列方程，得到点B横、纵坐标的比值关系，最后化简所求代数式即可得到结果。
【解析】
（1）
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$BN⊥ y$轴，
∴$S_{△ ONB}=\frac{1}{2}|k|=4$，
∵函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=2×4=8$。
（2）如图，分别延长NB和MA交于点C，则$∠ C=∠ BNO=90°$，
设$B(a,b)$，则$ON=b$，$NB=a$，$ab=k$，
∵$∠ OBA=90°$，
∴$∠ OBN+∠ ABC=90°$，
又
∵$∠ OBN+∠ BON=90°$，
∴$∠ BON=∠ ABC$，
在$△ OBN$和$△ BAC$中：
$\begin{cases}∠ BNO=∠ C\\∠ BON=∠ ABC\\OB=AB\end{cases}$
∴$△ OBN≌△ BAC(\mathrm{AAS})$，
∴$AC=NB=a$，$BC=ON=b$，
∴点A的横坐标为$a+b$，纵坐标为$b-a$，即$A(a+b,b-a)$，
∵点A在反比例函数图象上，
∴$(a+b)(b-a)=k=ab$，
整理得$b^2-a^2=ab$，两边同时除以$ab$（$a,b＞0$，$ab≠0$），得$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=1$，
设$t=\frac{a}{b}(t＞0)$，则$\frac{1}{t}-t=1$，去分母得$t^2+t-1=0$，
解得$t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（不符合$t＞0$，舍去），
∴$\frac{ON-AM}{ON}=\frac{b-(b-a)}{b}=\frac{a}{b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{8}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；全等三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考察反比例函数性质与全等三角形的应用，第一问为基础题，直接利用k的几何意义即可求解；第二问需要构造全等三角形转化线段关系，结合方程思想求比值，对学生数形结合、代数几何综合运用的能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
（1）第一问可利用反比例函数k的几何意义求解：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，本题图象在第一象限，$k＞0$，已知$△ ONB$的面积，代入公式即可求出k。
（2）第二问先结合$∠ OBA=90°$、$OB=AB$的条件，延长NB、MA交于点C构造直角，证明$△ OBN≌△ BAC$，用点B的坐标表示出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为k的特征列方程，得到点B横、纵坐标的比值关系，最后化简所求代数式即可得到结果。
【解析】
（1）
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$BN⊥ y$轴，
∴$S_{△ ONB}=\frac{1}{2}|k|=4$，
∵函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=2×4=8$。
（2）如图
，分别延长NB和MA交于点C，则$∠ C=∠ BNO=90°$，设$B(a,b)$，则$ON=b$，$NB=a$，$ab=k$，
∵$∠ OBA=90°$，
∴$∠ OBN+∠ ABC=90°$，
又
∵$∠ OBN+∠ BON=90°$，
∴$∠ BON=∠ ABC$，
在$△ OBN$和$△ BAC$中：
$\begin{cases}∠ BNO=∠ C\\∠ BON=∠ ABC\\OB=AB\end{cases}$
∴$△ OBN≌△ BAC(\mathrm{AAS})$，
∴$AC=NB=a$，$BC=ON=b$，
∴点A的横坐标为$a+b$，纵坐标为$b-a$，即$A(a+b,b-a)$，
∵点A在反比例函数图象上，
∴$(a+b)(b-a)=k=ab$，
整理得$b^2-a^2=ab$，两边同时除以$ab$（$a,b＞0$，$ab≠0$），得$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=1$，
设$t=\frac{a}{b}(t＞0)$，则$\frac{1}{t}-t=1$，去分母得$t^2+t-1=0$，
解得$t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（不符合$t＞0$，舍去），
∴$\frac{ON-AM}{ON}=\frac{b-(b-a)}{b}=\frac{a}{b}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{8}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；全等三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题综合考察反比例函数性质与全等三角形的应用，第一问为基础题，直接利用k的几何意义即可求解；第二问需要构造全等三角形转化线段关系，结合方程思想求比值，对学生数形结合、代数几何综合运用的能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
2 “三角形”化“梯形”法 [中]如图，等边$△ OAB$的边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过AB的中点M，与OB相交于点N.
(1)求k的值；
(2)连接OM，MN，求$△ OMN$的面积.
(1)求k的值；
(2)连接OM，MN，求$△ OMN$的面积.
答案
2. 【解】(1)
∵等边$△ OAB$的边长为8,点A在y轴上,点B在第一象限,$\therefore A(0,8)$,易得$B(4\sqrt{3},4)$.
∵M是AB的中点,$\therefore M(2\sqrt{3},6).$
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过AB的中点M,
$\therefore k=2\sqrt{3}×6=12\sqrt{3}.$
(2)如图,作$MC⊥ x$轴于C,$ND⊥ x$轴于D,则$S_{△ MOC}=S_{△ NOD}=\frac{1}{2}k.$
$\because B(4\sqrt{3},4),\therefore$直线OB的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x.$
联立$\begin{cases}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x,\\y=\frac{12\sqrt{3}}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=6,\\y=2\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-6,\\y=-2\sqrt{3}\end{cases}$(舍去),$\therefore N(6,2\sqrt{3}),\therefore S_{△ OMN}=S_{△ OMC}+S_{梯形MCDN}-S_{△ OND}=S_{梯形MCDN}=\frac{1}{2}(6+2\sqrt{3})(6-2\sqrt{3})=12.$
解析
【分析】
(1) 求k需先确定反比例函数上点M的坐标：首先根据等边△OAB的边长和A的位置得到A点坐标，再利用等边三角形的性质求出B点坐标，通过中点坐标公式算出AB中点M的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 直接计算△OMN的面积较为复杂，可借助反比例函数k的几何意义转化求解：作MC、ND垂直x轴，可得△MOC和△NOD面积相等，因此△OMN的面积可转化为梯形MCDN的面积。先求出直线OB的解析式，联立反比例函数解析式得到N点坐标，最后用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵等边$△ OAB$的边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，
$\therefore A(0,8)$，易得$B(4\sqrt{3},4)$。
∵M是AB的中点，根据中点坐标公式得$M(2\sqrt{3},6)$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点M，
$\therefore k=2\sqrt{3}×6=12\sqrt{3}$。
(2) 如图，作$MC⊥ x$轴于C，$ND⊥ x$轴于D，根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ MOC}=S_{△ NOD}=\frac{1}{2}k$。
$\because B(4\sqrt{3},4)$，代入直线解析式得直线OB的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
联立$\begin{cases}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\y=\frac{12\sqrt{3}}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6\\y=2\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-6\\y=-2\sqrt{3}\end{cases}$（舍去），$\therefore N(6,2\sqrt{3})$。
$\therefore S_{△ OMN}=S_{△ OMC}+S_{梯形MCDN}-S_{△ OND}=S_{梯形MCDN}=\frac{1}{2}(6+2\sqrt{3})(6-2\sqrt{3})=12$。
【答案】
(1)$k=12\sqrt{3}$；(2)$S_{△ OMN}=12$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 等边三角形的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题综合了等边三角形、一次函数与反比例函数的考点，核心是利用反比例函数k的几何意义实现不规则图形面积的转化，能有效考查数形结合和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求k需先确定反比例函数上点M的坐标：首先根据等边△OAB的边长和A的位置得到A点坐标，再利用等边三角形的性质求出B点坐标，通过中点坐标公式算出AB中点M的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 直接计算△OMN的面积较为复杂，可借助反比例函数k的几何意义转化求解：作MC、ND垂直x轴，可得△MOC和△NOD面积相等，因此△OMN的面积可转化为梯形MCDN的面积。先求出直线OB的解析式，联立反比例函数解析式得到N点坐标，最后用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵等边$△ OAB$的边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，
$\therefore A(0,8)$，易得$B(4\sqrt{3},4)$。
∵M是AB的中点，根据中点坐标公式得$M(2\sqrt{3},6)$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点M，
$\therefore k=2\sqrt{3}×6=12\sqrt{3}$。
(2) 如图，作$MC⊥ x$轴于C，$ND⊥ x$轴于D，根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ MOC}=S_{△ NOD}=\frac{1}{2}k$。
$\because B(4\sqrt{3},4)$，代入直线解析式得直线OB的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
联立$\begin{cases}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\y=\frac{12\sqrt{3}}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6\\y=2\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-6\\y=-2\sqrt{3}\end{cases}$（舍去），$\therefore N(6,2\sqrt{3})$。
$\therefore S_{△ OMN}=S_{△ OMC}+S_{梯形MCDN}-S_{△ OND}=S_{梯形MCDN}=\frac{1}{2}(6+2\sqrt{3})(6-2\sqrt{3})=12$。
【答案】
(1)$k=12\sqrt{3}$；(2)$S_{△ OMN}=12$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 等边三角形的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题综合了等边三角形、一次函数与反比例函数的考点，核心是利用反比例函数k的几何意义实现不规则图形面积的转化，能有效考查数形结合和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
