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三、解答题(本大题共4小题,共60分)
11 [2026云南昭通期末]计算:(1)$[-2^{-3} - 8^{-1} × (-1)^{-2}] × (\frac{1}{2})^{-2} × 7^{0}$；
(2)$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 + 3xy + 2y^2} ÷ \frac{x - y}{$
$x^2 - 5xy - 6y^2} · \frac{x + y}{x^2 - y^2}$。
11 [2026云南昭通期末]计算:(1)$[-2^{-3} - 8^{-1} × (-1)^{-2}] × (\frac{1}{2})^{-2} × 7^{0}$；
(2)$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 + 3xy + 2y^2} ÷ \frac{x - y}{$
$x^2 - 5xy - 6y^2} · \frac{x + y}{x^2 - y^2}$。答案
(1) $[-2^{-3} - 8^{-1} × (-1)^{-2}] × (\frac{1}{2})^{-2} × 7^{0} = [-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{8}×\frac{1}{(-1)^2}] × \frac{1}{(\frac{1}{2})^2}×1 = (-\frac{1}{8}-\frac{1}{8})×4×1 = -\frac{1}{4}×4×1 = -1$.
(2) $\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+3xy+2y^2} ÷ \frac{x-y}{x^2-5xy-6y^2} · \frac{x+y}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x+2y)} ÷ \frac{x-y}{(x-6y)(x+y)} · \frac{x+y}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x+2y)} · \frac{(x-6y)(x+y)}{x-y} · \frac{x+y}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-6y}{x+2y}$.
(2) $\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+3xy+2y^2} ÷ \frac{x-y}{x^2-5xy-6y^2} · \frac{x+y}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x+2y)} ÷ \frac{x-y}{(x-6y)(x+y)} · \frac{x+y}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x+2y)} · \frac{(x-6y)(x+y)}{x-y} · \frac{x+y}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-6y}{x+2y}$.
12[2026河北沧州调研]嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：$\frac{4}{a^2 -4} - \frac{1}{a-2}$”.
(1)老师在批改时,发现两位同学都出错了,请你分别指出他们最先出错的是哪一步?
(2)请你写出正确的计算过程,并求出当$a=1$时,原式的值.
(1)老师在批改时,发现两位同学都出错了,请你分别指出他们最先出错的是哪一步?
(2)请你写出正确的计算过程,并求出当$a=1$时,原式的值.
答案
(1)嘉嘉最先出错的是第①步,淇淇最先出错的是第②步.
(2) $\frac{4}{a^2-4}-\frac{1}{a-2}=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}=-\frac{1}{a+2}$, 当a=1时,原式=$-\frac{1}{1+2}=-\frac{1}{3}$.
(2) $\frac{4}{a^2-4}-\frac{1}{a-2}=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}=-\frac{1}{a+2}$, 当a=1时,原式=$-\frac{1}{1+2}=-\frac{1}{3}$.
13[2026湖南湘潭质检]定义:如果两个分式$A$与$B$的差为1,则称$A$是$B$的“最友好分式”,如分式$A=\frac{x}{x-1}, B=\frac{1}{x-1}, A-B=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$,则$A$是$B$的“最友好分式”.
(1)已知分式$C=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}, D=\frac{4}{x-2}$,请判断$C$是否为$D$的“最友好分式”,并说明理由;
(2)已知分式$E=\frac{P}{x^2-4}, F=\frac{x}{x+2}$,且$E$是$F$的“最友好分式”,求$P$(用含$x$的式子表示).
(1)已知分式$C=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}, D=\frac{4}{x-2}$,请判断$C$是否为$D$的“最友好分式”,并说明理由;
(2)已知分式$E=\frac{P}{x^2-4}, F=\frac{x}{x+2}$,且$E$是$F$的“最友好分式”,求$P$(用含$x$的式子表示).
答案
(1)C是D的“最友好分式”. 理由如下:
∵ 分式$C=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4},D=\frac{4}{x-2}$,
∴ $C-D=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{4}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}=1$,
∴ C是D的“最友好分式”.
(2)
∵ 分式$E=\frac{P}{x^2-4},F=\frac{x}{x+2}$,且E是F的“最友好分式”,
∴ $E-F=\frac{P}{x^2-4}-\frac{x}{x+2}=1$,
∴ $\frac{P}{x^2-4}-\frac{x(x-2)}{x^2-4}=1$,
∴ $\frac{P-x^2+2x}{x^2-4}=1$,
∴ $P-x^2+2x=x^2-4$,
∴ $P=2x^2-2x-4$.
∵ 分式$C=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4},D=\frac{4}{x-2}$,
∴ $C-D=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{4}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}=1$,
∴ C是D的“最友好分式”.
(2)
∵ 分式$E=\frac{P}{x^2-4},F=\frac{x}{x+2}$,且E是F的“最友好分式”,
∴ $E-F=\frac{P}{x^2-4}-\frac{x}{x+2}=1$,
∴ $\frac{P}{x^2-4}-\frac{x(x-2)}{x^2-4}=1$,
∴ $\frac{P-x^2+2x}{x^2-4}=1$,
∴ $P-x^2+2x=x^2-4$,
∴ $P=2x^2-2x-4$.
14[2025湖北黄石期末]一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地,出发后1 h内按原计划的速度匀速行驶,1 h后以原来速度的1.5倍匀速行驶,并比原计划提前40 min到达目的地.
(1)求汽车实际走完全程所花的时间.
(2)汽车按原路返回时,若司机一半路程以a km/h的速度行驶,另一半路程以b km/h的速度行驶(a≠b),则用时$l_1$ h;若司机一半时间以a km/h的速度行驶,另一半时间以b km/h的速度行驶,则用时$l_2$ h,请比较$l_1$,$l_2$的大小,并说明理由.
永不放弃鸭
(1)求汽车实际走完全程所花的时间.
(2)汽车按原路返回时,若司机一半路程以a km/h的速度行驶,另一半路程以b km/h的速度行驶(a≠b),则用时$l_1$ h;若司机一半时间以a km/h的速度行驶,另一半时间以b km/h的速度行驶,则用时$l_2$ h,请比较$l_1$,$l_2$的大小,并说明理由.
永不放弃鸭
答案
(1)设出发后1 h内行驶的速度为x km/h,则1 h后行驶的速度为1.5x km/h. 根据题意得$\frac{180-x}{x}-\frac{180-x}{1.5x}=\frac{40}{60}$,解得x=60,经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意,
∴ $\frac{180}{x}-\frac{40}{60}=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$.
答:汽车实际走完全程所花的时间为$\frac{7}{3}$ h.
(2)$l_1＞l_2$. 理由如下:由题意得$l_1=\frac{90}{a}+\frac{90}{b}=\frac{90(a+b)}{ab}$,$l_2=2×\frac{180}{a+b}=\frac{360}{a+b}$,则$l_1-l_2=\frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}=\frac{90(a+b)^2-360ab}{ab(a+b)}=\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}$.
∵ a,b均为正数,且a≠b,
∴ $(a-b)^2＞0$,$ab(a+b)＞0$,
∴ $\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$,即$\frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}＞0$,
∴ $l_1＞l_2$.
∴ $\frac{180}{x}-\frac{40}{60}=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$.
答:汽车实际走完全程所花的时间为$\frac{7}{3}$ h.
(2)$l_1＞l_2$. 理由如下:由题意得$l_1=\frac{90}{a}+\frac{90}{b}=\frac{90(a+b)}{ab}$,$l_2=2×\frac{180}{a+b}=\frac{360}{a+b}$,则$l_1-l_2=\frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}=\frac{90(a+b)^2-360ab}{ab(a+b)}=\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}$.
∵ a,b均为正数,且a≠b,
∴ $(a-b)^2＞0$,$ab(a+b)＞0$,
∴ $\frac{90(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$,即$\frac{90(a+b)}{ab}-\frac{360}{a+b}＞0$,
∴ $l_1＞l_2$.
