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1[2025吉林长春质检]将分式$\frac{m+n}{m^2+n^2}$中$m$与$n$的值同时扩大为原来的2倍,则分式的值（
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.不变
D.无法确定
B
）A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.不变
D.无法确定
答案
将分式$\frac{m+n}{m^2+n^2}$中m与n的值同时扩大为原来的2倍可得$\frac{2m+2n}{(2m)^2+(2n)^2}=\frac{2(m+n)}{4(m^2+n^2)}=\frac{m+n}{2(m^2+n^2)}$,即分式的值缩小为原来的$\frac{1}{2}$. 故选B.
2 新考向传统文化 [2026 江苏宿迁质检]我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为$\frac{355}{113}$（密率），它与π的误差小于0.0000003。将0.0000003用科学记数法可以表示为（
A.$3×10^{-7}$
B.$0.3×10^{-6}$
C.$3×10^{-6}$
D.$3×10^{7}$
A
）A.$3×10^{-7}$
B.$0.3×10^{-6}$
C.$3×10^{-6}$
D.$3×10^{7}$
答案
$0.000\ 000\ 3=3×10^{-7}$. 故选A.
3[2026浙江湖州期中]某工厂生产质量分别为1 g、5 g、10 g、25 g四种规格的球，现从中取x个球装到一个空箱子里，这时箱子里球的平均质量为20 g，若再放入一个25 g的球，此时箱子里球的平均质量变为21 g，则x的值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
根据题意得$\frac{20x+25}{x+1}=21$,解得x=4. 经检验,x=4是原方程的解,所以x的值是4. 故选B.
4 下列结论:①无论 $a$ 为何值，$\frac{a}{a^2 + 1}$都有意义；②当 $a=-1$ 时，分式$\frac{a+1}{a^2 -1}$的值为0；③若$\frac{x^2 +1}{x-1}$的值为负数，则 $x$ 的取值范围是 $x＜1$；④若$\frac{x+1}{x+2} ÷ \frac{x+1}{x}$有意义，则 $x$ 的取值范围是 $x≠-2$ 且 $x≠0$。
其中正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
其中正确的个数是（
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
①
∵ $a^2≥0$,
∴ $a^2+1≥1≠0$,
∴ 无论a为何值,$\frac{a}{a^2+1}$都有意义,故①正确; ②
∵ 当a=-1时,$a^2-1=1-1=0$,
∴ 此时分式无意义,故②错误; ③
∵ $\frac{x^2+1}{x-1}$的值为负数,且$x^2+1＞0$,
∴ x-1＜0,
∴ x＜1,故③正确; ④
∵ $\frac{x+1}{x+2}÷\frac{x+1}{x}$有意义,
∴ $\begin{cases}x+2≠0,\\x≠0,\\x+1≠0,\end{cases}$ 解得x≠-2且x≠0且x≠-1,故④错误. 综上所述,其中正确的个数是2. 故选B.
∵ $a^2≥0$,
∴ $a^2+1≥1≠0$,
∴ 无论a为何值,$\frac{a}{a^2+1}$都有意义,故①正确; ②
∵ 当a=-1时,$a^2-1=1-1=0$,
∴ 此时分式无意义,故②错误; ③
∵ $\frac{x^2+1}{x-1}$的值为负数,且$x^2+1＞0$,
∴ x-1＜0,
∴ x＜1,故③正确; ④
∵ $\frac{x+1}{x+2}÷\frac{x+1}{x}$有意义,
∴ $\begin{cases}x+2≠0,\\x≠0,\\x+1≠0,\end{cases}$ 解得x≠-2且x≠0且x≠-1,故④错误. 综上所述,其中正确的个数是2. 故选B.
5[2026河北石家庄质检]小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“□”为（
A.$\dfrac{x+1}{x-1}$
B.$\dfrac{x+5}{x-1}$
C.$1$
D.$\dfrac{x}{x-2}$
C
）A.$\dfrac{x+1}{x-1}$
B.$\dfrac{x+5}{x-1}$
C.$1$
D.$\dfrac{x}{x-2}$
答案
由题意得撕坏的一角中“□”为$\frac{1}{x-2}·\frac{x^2-4}{x-1}+\frac{3}{1-x}=\frac{1}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{x+2-3}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$,故选C.
6[2025黑龙江哈尔滨质检]如图,若x为正整数,则表示$\frac{x^2 + 3x}{x^3 - x} · \frac{x - 1}{3 + x} - (x^{-1} - 1) ÷ (x^{-1} + 1)$的值的点落在 
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
答案
$\frac{x^2+3x}{x^3-x}·\frac{x-1}{3+x}-(x^{-1}-1)÷(x^{-1}+1)=\frac{x^2+3x}{x^3-x}·\frac{x-1}{3+x}-\frac{1-x}{x}÷\frac{1+x}{x}=\frac{x(x+3)}{x(x-1)(x+1)}·\frac{x-1}{3+x}-\frac{1-x}{x}·\frac{x}{1+x}=\frac{1}{x+1}-\frac{1-x}{1+x}=\frac{x}{x+1}$.
∵ x为正整数,
∴ 1≤x＜x+1,
∴ $\frac{1}{2}≤\frac{x}{x+1}＜1$,
∴ 表示$\frac{x^2+3x}{x^3-x}·\frac{x-1}{3+x}-(x^{-1}-1)÷(x^{-1}+1)$的值的点落在段②. 故选B.
∵ x为正整数,
∴ 1≤x＜x+1,
∴ $\frac{1}{2}≤\frac{x}{x+1}＜1$,
∴ 表示$\frac{x^2+3x}{x^3-x}·\frac{x-1}{3+x}-(x^{-1}-1)÷(x^{-1}+1)$的值的点落在段②. 故选B.
7 已知$\frac{n}{20-n}$是一个整数的平方，则满足要求的正整数n的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
∵ n为正整数且$\frac{n}{20-n}$是一个整数的平方,
∴ $\begin{cases}n＞0,\\n≥20-n,\\20-n＞0,\end{cases}$
∴ 10≤n＜20,0＜20-n≤10,
∴ $\frac{n}{20-n}$可取的整数为1,4,9,即$\frac{n}{20-n}=1^2$或$2^2$或$3^2$,
∴ n=10或16或18. 故选C.
8 已知一列均不为1的数$a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$满足如下关系：$a_2=\frac{1+a_1}{1-a_1},a_3=\frac{1+a_2}{1-a_2},a_4=\frac{1+a_3}{1-a_3},\dots,a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$，若$a_1=2$，则$a_{2023}$的值是（
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$2$
A
）A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$2$
答案
∵ $a_1=2$,
∴ $a_2=\frac{1+a_1}{1-a_1}=\frac{1+2}{1-2}=-3$,
$a_3=\frac{1+a_2}{1-a_2}=\frac{1+(-3)}{1-(-3)}=-\frac{1}{2}$, $a_4=\frac{1+a_3}{1-a_3}=\frac{1+(-\frac{1}{2})}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}$,$a_5=\frac{1+a_4}{1-a_4}=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=2$,…,
∴ 这列数按照2,-3,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$的循环规律出现.
∵ 2 023÷4=505……3,
∴ $a_{2023}$的值是$-\frac{1}{2}$,故选A.
9[2026江苏苏州质检]已知$a=-0.5^2$，$b=-5^{-2}$，$c=(-\dfrac{1}{5})^{-2}$，$d=(-\dfrac{1}{5})^0$，比较$a,b,c,d$的大小，并用“＜”号连接起来：
a＜b＜d＜c
。答案
由题意得$a=-\frac{1}{4}$,$b=-\frac{1}{25}$,$c=25$,$d=1$,
∴ a＜b＜d＜c,故答案为a＜b＜d＜c.
∴ a＜b＜d＜c,故答案为a＜b＜d＜c.
10(1)当$m=$
(2)若$\frac{5x-7}{x^2-4x-5}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}$,则$2A-B$的立方根为
-4或6
时,关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}$有增根；(2)若$\frac{5x-7}{x^2-4x-5}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}$,则$2A-B$的立方根为
1
.答案
(1)去分母,得2(x+2)+mx=3(x-2),
∴ (m-1)x=-10.
∵ 分式方程有增根,
∴ x=±2,m≠1. 当x=2时,代入(m-1)x=-10,得2(m-1)=-10,解得m=-4;当x=-2时,代入(m-1)x=-10,得-2(m-1)=-10,解得m=6,
∴ 当m=-4或6时,关于x的分式方程$\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}$有增根. 故答案为-4或6.
(2)
∵ $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{(x+1)(x-5)}=\frac{(A+B)x-5A+B}{(x+1)(x-5)}$,$\frac{5x-7}{x^2-4x-5}=\frac{5x-7}{(x+1)(x-5)}$,
∴ 5x-7=(A+B)x-5A+B,
∴ A+B=5,-5A+B=-7,解得A=2,B=3,
∴ 2A-B=4-3=1,
∴ 2A-B的立方根为1. 故答案为1.
∴ (m-1)x=-10.
∵ 分式方程有增根,
∴ x=±2,m≠1. 当x=2时,代入(m-1)x=-10,得2(m-1)=-10,解得m=-4;当x=-2时,代入(m-1)x=-10,得-2(m-1)=-10,解得m=6,
∴ 当m=-4或6时,关于x的分式方程$\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}$有增根. 故答案为-4或6.
(2)
∵ $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+1)}{(x+1)(x-5)}=\frac{(A+B)x-5A+B}{(x+1)(x-5)}$,$\frac{5x-7}{x^2-4x-5}=\frac{5x-7}{(x+1)(x-5)}$,
∴ 5x-7=(A+B)x-5A+B,
∴ A+B=5,-5A+B=-7,解得A=2,B=3,
∴ 2A-B=4-3=1,
∴ 2A-B的立方根为1. 故答案为1.
