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7. 将 1 000 减去它的$\frac{1}{2}$,再减去余下的$\frac{1}{3}$,再减去余下的$\frac{1}{4}$,再减去余下的$\frac{1}{5}$……以此类推,直到最后减去余下的$\frac{1}{1000}$,最后结果是
1
.答案
7. 1 解析:由题意有 $1\ 000×(1-\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×\dots×(1-\dfrac{1}{1\ 000}) = 1\ 000×\dfrac{1}{1\ 000}=1.$
解析
【分析】
解题时首先要理解“减去余下的几分之几”的含义，即减去后剩余的部分是当前余下的$1-$对应分数。我们可以先把每一次操作后剩余的量用乘法表示，得到连乘算式，再观察算式中分数的特点，通过约分简化计算，就能快速得到结果，不需要一步步硬算。
【解析】
根据题意，每次减去余下的几分之几后，剩余的量为当前余下的$1-\frac{1}{n}$（n为每次减去的分数的分母），因此可列算式：
$1000×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{1000})$
先计算每个括号内的结果：
$=1000×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{999}{1000}$
观察发现相邻分数的分子和分母可以依次约分，中间的数全部约去后，仅剩：
$=1000×\frac{1}{1000}$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
有理数乘法运算，分数约分，规律探究
【点评】
本题属于有理数乘法的规律应用类题目，解题的核心是将文字描述的操作转化为连乘算式，利用分数约分的规律简化计算，避免逐次计算的繁琐，考查了对运算的灵活运用和规律观察能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要理解“减去余下的几分之几”的含义，即减去后剩余的部分是当前余下的$1-$对应分数。我们可以先把每一次操作后剩余的量用乘法表示，得到连乘算式，再观察算式中分数的特点，通过约分简化计算，就能快速得到结果，不需要一步步硬算。
【解析】
根据题意，每次减去余下的几分之几后，剩余的量为当前余下的$1-\frac{1}{n}$（n为每次减去的分数的分母），因此可列算式：
$1000×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{1000})$
先计算每个括号内的结果：
$=1000×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{999}{1000}$
观察发现相邻分数的分子和分母可以依次约分，中间的数全部约去后，仅剩：
$=1000×\frac{1}{1000}$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
有理数乘法运算，分数约分，规律探究
【点评】
本题属于有理数乘法的规律应用类题目，解题的核心是将文字描述的操作转化为连乘算式，利用分数约分的规律简化计算，避免逐次计算的繁琐，考查了对运算的灵活运用和规律观察能力。
【难度系数】
0.6
8. 计算：
(1) $(-3) × (-\dfrac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (-3\dfrac{1}{2}) × 25\%$；
(2) $-17.48 × 37 + (-174.8) × 1.9 + (-8.74) × 88$。
(1) $(-3) × (-\dfrac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (-3\dfrac{1}{2}) × 25\%$；
(2) $-17.48 × 37 + (-174.8) × 1.9 + (-8.74) × 88$。
答案
7.5×12=90（克）
90＜100
答：准备100克杜仲够。
90＜100
答：准备100克杜仲够。
9. 阅读材料，回答问题：
$(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})=\frac{3}{2}×\frac{2}{3}=1;$
$(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{5})=\frac{3}{2}×\frac{5}{4}×\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{5}{4}×\frac{4}{5})=1×1=1.$
根据以上信息，请求出下式的结果.
$(-1-\frac{1}{2})×(-1-\frac{1}{4})×(-1-\frac{1}{6})×···×(-1-\frac{1}{20})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{5})×(1-\frac{1}{7})×···×(1-\frac{1}{21}).$
$(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})=\frac{3}{2}×\frac{2}{3}=1;$
$(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{5})=\frac{3}{2}×\frac{5}{4}×\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{5}{4}×\frac{4}{5})=1×1=1.$
根据以上信息，请求出下式的结果.
$(-1-\frac{1}{2})×(-1-\frac{1}{4})×(-1-\frac{1}{6})×···×(-1-\frac{1}{20})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{5})×(1-\frac{1}{7})×···×(1-\frac{1}{21}).$
答案
6 - 1 = 5（层）
0.25 × 5 = 1.25（分钟）
答：他从1楼到6楼需要1.25分钟。
0.25 × 5 = 1.25（分钟）
答：他从1楼到6楼需要1.25分钟。
10. 阅读理解:计算$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$时,若把$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$与$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$分别看作一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大简化运算.过程如下:
解:设$A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4},B=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$,
则原式$=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=B-A=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{5}$.
请用上面方法计算:
(1)$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})$;
(2)$(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n})(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n+1})-(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n+1})(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n})$.
解:设$A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4},B=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$,
则原式$=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=B-A=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{5}$.
请用上面方法计算:
(1)$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})$;
(2)$(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n})(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n+1})-(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n+1})(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-···-\dfrac{1}{n})$.
答案
4.62×2×2×2
=9.24×2×2
=18.48×2
=36.96（米）
答：这卷红丝绳原来长36.96米。
=9.24×2×2
=18.48×2
=36.96（米）
答：这卷红丝绳原来长36.96米。
11. 用简便方法计算：
(1) $( \frac{1}{3} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42} - \frac{15}{56} ) × 21 × 8$；
(2) $2026 × 20252025 - 2025 × 20262026$；
(3) $-99999 × 22222 - 33333 × 33334$。
(1) $( \frac{1}{3} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42} - \frac{15}{56} ) × 21 × 8$；
(2) $2026 × 20252025 - 2025 × 20262026$；
(3) $-99999 × 22222 - 33333 × 33334$。
答案
11. (1) $( \dfrac{1}{3} - \dfrac{7}{12} + \dfrac{9}{20} - \dfrac{11}{30} + \dfrac{13}{42} - \dfrac{15}{56} ) × 21 × 8 = [ \dfrac{1}{3} - ( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} ) + ( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5} ) - ( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6} ) + ( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7} ) - ( \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} ) ] ×8×21 = -\dfrac{1}{8}×8×21=-21.$
(2)$2\ 026×20\ 252\ 025-2\ 025×20\ 262\ 026 = 2\ 026×2\ 025×10\ 001-2\ 025×2\ 026×10\ 001=0.$
(3)$-99\ 999×22\ 222-33\ 333×33\ 334 = -33\ 333×3×22\ 222-33\ 333×33\ 334 = -33\ 333×(3×22\ 222+33\ 334) = -33\ 333×(66\ 666+33\ 334) = -33\ 333×100\ 000=-3\ 333\ 300\ 000.$
(2)$2\ 026×20\ 252\ 025-2\ 025×20\ 262\ 026 = 2\ 026×2\ 025×10\ 001-2\ 025×2\ 026×10\ 001=0.$
(3)$-99\ 999×22\ 222-33\ 333×33\ 334 = -33\ 333×3×22\ 222-33\ 333×33\ 334 = -33\ 333×(3×22\ 222+33\ 334) = -33\ 333×(66\ 666+33\ 334) = -33\ 333×100\ 000=-3\ 333\ 300\ 000.$
解析
【分析】
(1) 观察括号内的分数，可将每个分数拆成两个相邻正整数的倒数和，如$\frac{7}{12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$、$\frac{9}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，拆分后中间项可相互抵消，简化括号内的计算，再和后面的$21×8$相乘即可快速得出结果。
(2) 观察到$20252025$是重复数，可变形为$2025×10001$，同理$20262026=2026×10001$，代入原式后两项完全相同，相减结果为0。
(3) 观察到$99999=3×33333$，可将第一项转化为含因数$33333$的式子，再提取公因数$33333$，括号内的和恰好为整十万数，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先对括号内分数裂项拆分：
$\begin{aligned}&( \frac{1}{3} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42} - \frac{15}{56} ) × 21 × 8\\=&[ \frac{1}{3} - ( \frac{1}{3}+\frac{1}{4} ) + ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} ) - ( \frac{1}{5}+\frac{1}{6} ) + ( \frac{1}{6}+\frac{1}{7} ) - ( \frac{1}{7}+\frac{1}{8} ) ] ×8×21\\=&( \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8} )×8×21\\=&-\frac{1}{8}×8×21\\=&-21\end{aligned}$
(2) 对重复数拆分变形：
$\begin{aligned}&2026 × 20252025 - 2025 × 20262026\\=&2026×2025×10001 - 2025×2026×10001\\=&0\end{aligned}$
(3) 转化因数后提取公因数：
$\begin{aligned}&-99999 × 22222 - 33333 × 33334\\=&-33333×3×22222 - 33333×33334\\=&-33333×(3×22222 + 33334)\\=&-33333×(66666 + 33334)\\=&-33333×100000\\=&-3333300000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-21}$；(2) $\boldsymbol{0}$；(3) $\boldsymbol{-3333300000}$
【知识点】
有理数乘法运算律，裂项相消法，提取公因数
【点评】
这三道题是有理数简便运算的典型题型，分别考查了分数裂项、重复数变形、公因数转化提取三类常用的简便计算技巧，熟练掌握这类方法可以有效减少计算量，提升运算正确率。
【难度系数】
0.6
(1) 观察括号内的分数，可将每个分数拆成两个相邻正整数的倒数和，如$\frac{7}{12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$、$\frac{9}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，拆分后中间项可相互抵消，简化括号内的计算，再和后面的$21×8$相乘即可快速得出结果。
(2) 观察到$20252025$是重复数，可变形为$2025×10001$，同理$20262026=2026×10001$，代入原式后两项完全相同，相减结果为0。
(3) 观察到$99999=3×33333$，可将第一项转化为含因数$33333$的式子，再提取公因数$33333$，括号内的和恰好为整十万数，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先对括号内分数裂项拆分：
$\begin{aligned}&( \frac{1}{3} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42} - \frac{15}{56} ) × 21 × 8\\=&[ \frac{1}{3} - ( \frac{1}{3}+\frac{1}{4} ) + ( \frac{1}{4}+\frac{1}{5} ) - ( \frac{1}{5}+\frac{1}{6} ) + ( \frac{1}{6}+\frac{1}{7} ) - ( \frac{1}{7}+\frac{1}{8} ) ] ×8×21\\=&( \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8} )×8×21\\=&-\frac{1}{8}×8×21\\=&-21\end{aligned}$
(2) 对重复数拆分变形：
$\begin{aligned}&2026 × 20252025 - 2025 × 20262026\\=&2026×2025×10001 - 2025×2026×10001\\=&0\end{aligned}$
(3) 转化因数后提取公因数：
$\begin{aligned}&-99999 × 22222 - 33333 × 33334\\=&-33333×3×22222 - 33333×33334\\=&-33333×(3×22222 + 33334)\\=&-33333×(66666 + 33334)\\=&-33333×100000\\=&-3333300000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-21}$；(2) $\boldsymbol{0}$；(3) $\boldsymbol{-3333300000}$
【知识点】
有理数乘法运算律，裂项相消法，提取公因数
【点评】
这三道题是有理数简便运算的典型题型，分别考查了分数裂项、重复数变形、公因数转化提取三类常用的简便计算技巧，熟练掌握这类方法可以有效减少计算量，提升运算正确率。
【难度系数】
0.6
