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1[2025江苏南京质检]马老师带领数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（
A.掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面
B.一副去掉大小王的普通扑克牌(52张，四种花色数量相同)洗匀后，从中任意抽出1张牌，花色是梅花
C.不透明的袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出1个球是白球
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”
A
）A.掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面
B.一副去掉大小王的普通扑克牌(52张，四种花色数量相同)洗匀后，从中任意抽出1张牌，花色是梅花
C.不透明的袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出1个球是白球
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头”
答案
1.A 【解析】由折线统计图可知,随着试验次数的增多,某结果出现的频率稳定在0.5附近,所以估计该结果出现的概率为0.5. 选项A,掷一枚质地均匀的硬币,硬币落下后朝上的是正面的概率为$\frac{1}{2}$,符合题意;选项B,一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任意抽出1张牌,花色是梅花的概率为$\frac{1}{4}$,不符合题意;选项C,不透明的袋子中有1个红球和4个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意取出1个球是白球的概率为$\frac{4}{5}$,不符合题意;选项D,在玩“石头、剪刀、布”的游戏中,小颖随机出的是“石头”的概率为$\frac{1}{3}$,不符合题意. 故选A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要用到频率的稳定性相关知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。解题时第一步先从折线统计图中找到频率稳定的数值，估算出对应事件的概率；第二步分别计算四个选项中各事件的概率，和估算概率匹配的即为正确选项。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该结果出现的频率稳定在0.5附近，因此估计该事件发生的概率为0.5。
逐一计算各选项事件的概率：
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，和估算概率一致，符合题意；
B. 去掉大小王的普通扑克牌共52张，其中梅花有13张，从中任意抽1张是梅花的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，不符合题意；
C. 袋子中共有$1+4=5$个除颜色外都相同的球，其中白球有4个，任意取出1个是白球的概率为$\frac{4}{5}=0.8$，不符合题意；
D. “石头、剪刀、布”的游戏中共有3种等可能的出法，小颖随机出“石头”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
频率的稳定性，简单概率计算
【点评】
本题是频率稳定性的基础应用考题，解题核心是掌握“大量重复试验下，频率的稳定值等于事件发生的概率”这一规律，再结合简单概率计算对比即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要用到频率的稳定性相关知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。解题时第一步先从折线统计图中找到频率稳定的数值，估算出对应事件的概率；第二步分别计算四个选项中各事件的概率，和估算概率匹配的即为正确选项。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该结果出现的频率稳定在0.5附近，因此估计该事件发生的概率为0.5。
逐一计算各选项事件的概率：
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，和估算概率一致，符合题意；
B. 去掉大小王的普通扑克牌共52张，其中梅花有13张，从中任意抽1张是梅花的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，不符合题意；
C. 袋子中共有$1+4=5$个除颜色外都相同的球，其中白球有4个，任意取出1个是白球的概率为$\frac{4}{5}=0.8$，不符合题意；
D. “石头、剪刀、布”的游戏中共有3种等可能的出法，小颖随机出“石头”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
频率的稳定性，简单概率计算
【点评】
本题是频率稳定性的基础应用考题，解题核心是掌握“大量重复试验下，频率的稳定值等于事件发生的概率”这一规律，再结合简单概率计算对比即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
2[2025福建泉州期末]在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，则布袋中蓝色球个数最接近（
A.9个
B.19个
C.25个
D.38个
B
）A.9个
B.19个
C.25个
D.38个
答案
2.B 【解析】
∵摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，
∴估计摸到蓝色球的概率为38%，
∴布袋中蓝色球个数最接近50×38% = 19(个). 故选B.
∵摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，
∴估计摸到蓝色球的概率为38%，
∴布袋中蓝色球个数最接近50×38% = 19(个). 故选B.
解析
【分析】
解题时首先回忆频率与概率的关系：当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在某个数值附近，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值。本题已知摸到蓝色球的频率稳定在38%，因此可先估计摸到蓝色球的概率为38%，再结合球的总个数，用总个数乘蓝色球的概率即可求出蓝色球的近似个数，对应匹配选项即可。
【解析】
∵多次摸球试验后摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，
∴估计摸到蓝色球的概率为38%，
∴布袋中蓝色球的个数最接近 $ 50 × 38\% = 19 $（个）。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题是概率应用的基础题，核心是掌握“大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值”这一结论，再结合简单的乘法计算就能求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆频率与概率的关系：当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在某个数值附近，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值。本题已知摸到蓝色球的频率稳定在38%，因此可先估计摸到蓝色球的概率为38%，再结合球的总个数，用总个数乘蓝色球的概率即可求出蓝色球的近似个数，对应匹配选项即可。
【解析】
∵多次摸球试验后摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，
∴估计摸到蓝色球的概率为38%，
∴布袋中蓝色球的个数最接近 $ 50 × 38\% = 19 $（个）。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题是概率应用的基础题，核心是掌握“大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值”这一结论，再结合简单的乘法计算就能求解。
【难度系数】
0.85
3 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验,结果如下(频率精确到0.001):
种子个数：100 200 300 400 500 800 1 100 1 400 1 700 2 000
发芽种子个数：94 187 282 337 718 994 1 254 1 531 1 797
种子频率：0.940 0.935 0.940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896 0.901 0.899
根据试验数据,在相同条件下,估计1 000 kg该种作物种子能发芽的有
种子个数：100 200 300 400 500 800 1 100 1 400 1 700 2 000
发芽种子个数：94 187 282 337 718 994 1 254 1 531 1 797
种子频率：0.940 0.935 0.940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896 0.901 0.899
根据试验数据,在相同条件下,估计1 000 kg该种作物种子能发芽的有
900
kg.答案
3. 900 【解析】观察表格发现随着试验次数的增多，发芽种子频率逐渐稳定在0.9附近，故估计种子发芽的概率为0.9，所以估计1 000 kg该种作物种子能发芽的有1 000×0.9 = 900(kg). 故答案为900.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到频率估计概率的相关知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。首先观察表格里的发芽频率数据，随着试验种子的个数不断增加，发芽频率逐渐趋近于0.9，因此可以先估计该作物种子的发芽概率为0.9，再用总种子质量乘发芽概率，就能得到可发芽的种子质量。
【解析】
观察表格中的试验数据可知，随着试验种子数量的增多，发芽种子的频率逐渐稳定在0.9附近，因此可估计该种作物种子的发芽概率为0.9。
则1000kg该种作物种子中，能发芽的质量为：$1000×0.9=900$（kg）。
【答案】
900
【知识点】
频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用类题目，解题核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，找到频率的稳定值得到概率后，结合实际条件计算即可，这类题目贴近生活，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要用到频率估计概率的相关知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。首先观察表格里的发芽频率数据，随着试验种子的个数不断增加，发芽频率逐渐趋近于0.9，因此可以先估计该作物种子的发芽概率为0.9，再用总种子质量乘发芽概率，就能得到可发芽的种子质量。
【解析】
观察表格中的试验数据可知，随着试验种子数量的增多，发芽种子的频率逐渐稳定在0.9附近，因此可估计该种作物种子的发芽概率为0.9。
则1000kg该种作物种子中，能发芽的质量为：$1000×0.9=900$（kg）。
【答案】
900
【知识点】
频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用类题目，解题核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，找到频率的稳定值得到概率后，结合实际条件计算即可，这类题目贴近生活，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.8
4[2025陕西汉中期末]现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，结果如下：
(1)填空：a=
(2)估计任意抽取一件衬衣是合格品的概率为
(1)填空：a=
0.88
，b=0.89
；(2)估计任意抽取一件衬衣是合格品的概率为
0.9
.(结果精确到0.1)答案
4. (1)0.88 0.89 (2)0.9 【解析】(1)a = 88÷100 = 0.88，b = 445÷500 = 0.89. 故答案为0.88，0.89. (2)当抽取件数不断增加时，合格频率趋近于0.9，所以估计任意抽取一件衬衣是合格的概率为0.9. 故答案为0.9.
解析
【分析】
（1）求a、b的值需依据频率的计算公式：合格频率=合格数÷抽取件数，分别代入对应批次的合格数和抽取件数计算，结果按要求精确到0.01即可；（2）根据频率估计概率的原理，当试验次数（抽取件数）足够大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数就是所求概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到结果。
【解析】
(1) 根据合格频率的计算公式：
当抽取件数为100，合格数为88时，$a = 88÷100 = 0.88$；
当抽取件数为500，合格数为445时，$b = 445÷500 = 0.89$。
(2) 观察表格数据可知，随着抽取件数不断增加，合格频率逐渐稳定在0.90附近，结合频率估计概率的知识，估计任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.9。
【答案】
(1) 0.88；0.89 (2) 0.9
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率
【点评】
本题为基础题型，解题核心是牢记频率的计算方法，理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，计算时要注意题目对结果精确度的要求。
【难度系数】
0.85
（1）求a、b的值需依据频率的计算公式：合格频率=合格数÷抽取件数，分别代入对应批次的合格数和抽取件数计算，结果按要求精确到0.01即可；（2）根据频率估计概率的原理，当试验次数（抽取件数）足够大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数就是所求概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到结果。
【解析】
(1) 根据合格频率的计算公式：
当抽取件数为100，合格数为88时，$a = 88÷100 = 0.88$；
当抽取件数为500，合格数为445时，$b = 445÷500 = 0.89$。
(2) 观察表格数据可知，随着抽取件数不断增加，合格频率逐渐稳定在0.90附近，结合频率估计概率的知识，估计任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.9。
【答案】
(1) 0.88；0.89 (2) 0.9
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率
【点评】
本题为基础题型，解题核心是牢记频率的计算方法，理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，计算时要注意题目对结果精确度的要求。
【难度系数】
0.85
5[2025浙江宁波期末]数学家皮尔逊为了研究概率问题,进行了大量重复抛硬币试验,并用频率来估计概率.当他把一枚硬币抛掷24 000次时,下列正面朝上的次数中与该试验结果比较符合的是 (
A.11 011次
B.12 012次
C.13 013次
D.14 014次
B
)A.11 011次
B.12 012次
C.13 013次
D.14 014次
答案
5.B 【解析】当重复试验够多时，估计正面朝上的频率为0.5，
∴24 000×0.5 = 12 000(次)，12 012与12 000最接近. 故选B.
∴24 000×0.5 = 12 000(次)，12 012与12 000最接近. 故选B.
解析
【分析】
解题时首先明确：抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的理论概率为0.5；根据用频率估计概率的知识，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此抛掷24000次硬币时，正面朝上的次数应该接近总次数乘正面朝上的概率，计算出近似次数后，对比选项找到最接近的数值即可。
【解析】
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$。根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的规律，可得抛掷24000次时，正面朝上的次数大约为$24000×0.5=12000$次。对比四个选项，12012与12000的差值最小，最符合试验结果。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；概率的意义
【点评】
本题结合经典的抛硬币试验考查概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的理论概率为0.5；根据用频率估计概率的知识，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此抛掷24000次硬币时，正面朝上的次数应该接近总次数乘正面朝上的概率，计算出近似次数后，对比选项找到最接近的数值即可。
【解析】
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$。根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的规律，可得抛掷24000次时，正面朝上的次数大约为$24000×0.5=12000$次。对比四个选项，12012与12000的差值最小，最符合试验结果。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；概率的意义
【点评】
本题结合经典的抛硬币试验考查概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
6 小江为了估计某山区内鸟群中鸟的数量，先捕捉40只鸟给它们分别做上标记，然后放回，等待有标记的鸟完全混合鸟群后，第二次捕捉120只鸟，发现其中4只有标记，则该山区的鸟群中鸟约有
1 200
只。答案
6. 1 200 【解析】设该山区的鸟群中鸟约有a只，则山区中有标记的鸟的概率为$\frac{40}{a}$. 根据题意得，$\frac{40}{a}$=$\frac{4}{120}$，解得a = 1 200. 经检验，a = 1 200是原分式方程的解，即该山区的鸟群中鸟约有1 200只. 故答案为1 200.
解析
【分析】
这是利用标记重捕法估算种群数量的概率应用问题，解题核心逻辑是：当标记的鸟完全混合到鸟群后，整个鸟群中有标记的鸟占总数量的比例，和第二次捕捉的样本中有标记的鸟占捕捉数量的比例是近似相等的。我们可以根据这个等量关系列方程求解：先设总鸟数为未知数，分别表示出总体中标记鸟的占比和样本中标记鸟的占比，令二者相等列出分式方程，解方程后检验结果的合理性即可得到答案。
【解析】
设该山区的鸟群中鸟约有$a$只，
总体中有标记的鸟的占比为$\frac{40}{a}$，第二次捕捉的样本中有标记的鸟的占比为$\frac{4}{120}$，根据二者近似相等列方程：
$\frac{40}{a}=\frac{4}{120}$
交叉相乘得：$4a = 40×120$
解得：$a=1200$
经检验，$a=1200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
1200
【知识点】
用样本估计总体；概率的应用；分式方程应用
【点评】
本题是概率在实际估算场景中的典型基础题，解题关键是找准“总体中标记个体占比与样本中标记个体占比近似相等”的等量关系建立方程，题目贴近生活实际，能够考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
这是利用标记重捕法估算种群数量的概率应用问题，解题核心逻辑是：当标记的鸟完全混合到鸟群后，整个鸟群中有标记的鸟占总数量的比例，和第二次捕捉的样本中有标记的鸟占捕捉数量的比例是近似相等的。我们可以根据这个等量关系列方程求解：先设总鸟数为未知数，分别表示出总体中标记鸟的占比和样本中标记鸟的占比，令二者相等列出分式方程，解方程后检验结果的合理性即可得到答案。
【解析】
设该山区的鸟群中鸟约有$a$只，
总体中有标记的鸟的占比为$\frac{40}{a}$，第二次捕捉的样本中有标记的鸟的占比为$\frac{4}{120}$，根据二者近似相等列方程：
$\frac{40}{a}=\frac{4}{120}$
交叉相乘得：$4a = 40×120$
解得：$a=1200$
经检验，$a=1200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
1200
【知识点】
用样本估计总体；概率的应用；分式方程应用
【点评】
本题是概率在实际估算场景中的典型基础题，解题关键是找准“总体中标记个体占比与样本中标记个体占比近似相等”的等量关系建立方程，题目贴近生活实际，能够考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
7 根据频率估计概率原理，可以用随机模拟的方法对圆周率π进行估计. 用计算机随机产生$m$个有序数对$(x,y)(0≤ x≤1,0≤ y≤1)$，它们对应的点全部在平面直角坐标系中某一个正方形的边界及其内部. 若统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有$n$个，则可估计π的值是
$\frac{4n}{m}$
.(用含$m,n$的代数式表示)答案
7. $\frac{4n}{m}$
思路分析
0≤x≤1, 0≤y≤1 → 边长为1的正方形，且在第一象限
到原点距离不大于1 → 以原点为圆心，半径为1的圆中
【解析】根据题意作图如图. 根据题意知有n个有序数对(x,y)对应的点落在图中的阴影部分，
∴每个点落在阴影部分的频率为$\frac{n}{m}$，每个点落在阴影部分的概率为$\frac{\frac{1}{4}π}{1}$.
∵当试验次数足够多时，可用频率估计概率，
∴$\frac{\frac{1}{4}π}{1} \approx \frac{n}{m}$，解得$π=\frac{4n}{m}$. 故可估计π的值为$\frac{4n}{m}$。
解析
【分析】
解决本题可按三步思考：第一步明确所有随机点的分布范围：0≤x≤1、0≤y≤1对应的是第一象限内边长为1的正方形，所有m个点都落在这个正方形的边界及内部，正方形面积为1；第二步确定满足条件的点的分布范围：到原点距离小于等于1的点，落在以原点为圆心、半径为1的圆在第一象限的部分（即四分之一圆），该部分面积为整圆面积的$\frac{1}{4}$；第三步结合频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，点落在四分之一圆内的频率$\frac{n}{m}$近似等于该事件发生的概率，而该概率等于四分之一圆的面积与正方形面积的比值，据此列等式即可求出π的估计值。
【解析】
解：由题意可知，所有有序数对$(x,y)$对应的点都落在边长为1的正方形内，该正方形的面积为$1×1=1$。
其中到原点距离小于或等于1的点，落在以原点为圆心、半径为1的圆的第一象限部分（即四分之一圆），该部分的面积为$\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，点落在四分之一圆内的频率可近似等于其发生的概率，即：
$\frac{\mathrm{四分之一圆的面积}}{\mathrm{正方形的面积}} \approx \frac{n}{m}$
将面积代入得：$\frac{\frac{π}{4}}{1} \approx \frac{n}{m}$
整理等式可得：$π \approx \frac{4n}{m}$
【答案】
$\frac{4n}{m}$
【知识点】
频率估计概率、面积法求概率、圆的面积计算
【点评】
本题是概率与几何知识结合的典型应用题，将圆周率的估算和概率原理、几何面积计算相结合，既考查了对频率估计概率原理的理解，也考查了利用面积比计算概率的能力，能体现数学知识在实际估算场景中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步思考：第一步明确所有随机点的分布范围：0≤x≤1、0≤y≤1对应的是第一象限内边长为1的正方形，所有m个点都落在这个正方形的边界及内部，正方形面积为1；第二步确定满足条件的点的分布范围：到原点距离小于等于1的点，落在以原点为圆心、半径为1的圆在第一象限的部分（即四分之一圆），该部分面积为整圆面积的$\frac{1}{4}$；第三步结合频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，点落在四分之一圆内的频率$\frac{n}{m}$近似等于该事件发生的概率，而该概率等于四分之一圆的面积与正方形面积的比值，据此列等式即可求出π的估计值。
【解析】
解：由题意可知，所有有序数对$(x,y)$对应的点都落在边长为1的正方形内，该正方形的面积为$1×1=1$。
其中到原点距离小于或等于1的点，落在以原点为圆心、半径为1的圆的第一象限部分（即四分之一圆），该部分的面积为$\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，点落在四分之一圆内的频率可近似等于其发生的概率，即：
$\frac{\mathrm{四分之一圆的面积}}{\mathrm{正方形的面积}} \approx \frac{n}{m}$
将面积代入得：$\frac{\frac{π}{4}}{1} \approx \frac{n}{m}$
整理等式可得：$π \approx \frac{4n}{m}$
【答案】
$\frac{4n}{m}$
【知识点】
频率估计概率、面积法求概率、圆的面积计算
【点评】
本题是概率与几何知识结合的典型应用题，将圆周率的估算和概率原理、几何面积计算相结合，既考查了对频率估计概率原理的理解，也考查了利用面积比计算概率的能力，能体现数学知识在实际估算场景中的应用价值。
【难度系数】
0.7
