登录
1[2025山西大同模拟]明明和亮亮两人用如图所示的正四面体(每个面上分别刻有数字0,1,2,-2)做游戏,两人各掷两次四面体,四面体与地面接触的面上的数字之和为奇数,则明明胜;和为偶数,则亮亮胜,你对这个游戏公平性的评价是 (
A.公平
B.对明明有利
C.对亮亮有利
D.无法判断
C
)A.公平
B.对明明有利
C.对亮亮有利
D.无法判断
答案
1. C 【解析】画树状图如下：
由树状图可得,共有16种等可能出现的结果,其中四面体与地面接触的面上的数字之和为奇数的结果有6种,和为偶数的结果有10种,
∴明明胜的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$,亮亮胜的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$,$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$,
∴对亮亮有利. 故选C.
解析
【分析】
要判断该游戏是否公平，核心是比较明明和亮亮两人获胜的概率是否相等。我们可以先通过树状图列举出两次掷正四面体所有等可能的结果，再分别统计两次数字之和为奇数、偶数的结果数，根据概率公式分别计算两人获胜的概率，最后比较两个概率的大小即可得出结论。
【解析】
我们通过画树状图分析所有可能的结果：
由树状图可知，两次掷正四面体共有16种等可能出现的结果。
其中两次数字之和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求情况数}}{\mathrm{总情况数}}$可得：
明明获胜的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，
亮亮获胜的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$，即亮亮获胜的概率更大，所以这个游戏对亮亮有利。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，游戏公平性，树状图法
【点评】
本题是概率的实际应用类问题，解题的关键是正确梳理出所有等可能的事件结果，准确计算对应事件的概率再进行比较，能够很好地考查学生对概率知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断该游戏是否公平，核心是比较明明和亮亮两人获胜的概率是否相等。我们可以先通过树状图列举出两次掷正四面体所有等可能的结果，再分别统计两次数字之和为奇数、偶数的结果数，根据概率公式分别计算两人获胜的概率，最后比较两个概率的大小即可得出结论。
【解析】
我们通过画树状图分析所有可能的结果：
由树状图可知，两次掷正四面体共有16种等可能出现的结果。
其中两次数字之和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求情况数}}{\mathrm{总情况数}}$可得：
明明获胜的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，
亮亮获胜的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$，即亮亮获胜的概率更大，所以这个游戏对亮亮有利。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，游戏公平性，树状图法
【点评】
本题是概率的实际应用类问题，解题的关键是正确梳理出所有等可能的事件结果，准确计算对应事件的概率再进行比较，能够很好地考查学生对概率知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
2 在联欢会上,有A,B,C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是$△ ABC$的 (
A.三边中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三边上高(或高所在直线)的交点处
B
)A.三边中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三边上高(或高所在直线)的交点处
答案
2. B 【解析】
∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,
∴凳子应放的最适当的位置是△ABC的三条垂直平分线的交点处. 故选B.
∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,
∴凳子应放的最适当的位置是△ABC的三条垂直平分线的交点处. 故选B.
解析
【分析】
要使抢凳子游戏公平，首先需满足A、B、C三名选手到凳子的距离相等，因此问题可转化为：在△ABC内找一个点，使该点到三个顶点的距离相等。接下来逐一分析各选项对应交点的性质：中线交点（重心）到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三顶点等距；三边垂直平分线的交点（外心），根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，该点到三角形三个顶点的距离均相等，符合要求；角平分线交点（内心）到三角形三边的距离相等，而非到顶点，不符合；高的交点（垂心）无到三顶点等距的性质，不符合，因此可选出正确答案。
【解析】
要使游戏公平，需凳子到A、B、C三名选手的距离相等，即凳子所在点到△ABC三个顶点的距离相等。
∵三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点处。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形外心的性质，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活游戏场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际公平需求转化为几何中的距离相等条件，再结合三角形特殊点的性质判断即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要使抢凳子游戏公平，首先需满足A、B、C三名选手到凳子的距离相等，因此问题可转化为：在△ABC内找一个点，使该点到三个顶点的距离相等。接下来逐一分析各选项对应交点的性质：中线交点（重心）到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三顶点等距；三边垂直平分线的交点（外心），根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，该点到三角形三个顶点的距离均相等，符合要求；角平分线交点（内心）到三角形三边的距离相等，而非到顶点，不符合；高的交点（垂心）无到三顶点等距的性质，不符合，因此可选出正确答案。
【解析】
要使游戏公平，需凳子到A、B、C三名选手的距离相等，即凳子所在点到△ABC三个顶点的距离相等。
∵三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点处。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形外心的性质，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活游戏场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际公平需求转化为几何中的距离相等条件，再结合三角形特殊点的性质判断即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3 某不透明的口袋中有10个球，其中白球$x$个，绿球$2x$个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲将摸出的球放回袋中；乙再从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜.要使游戏对甲、乙双方公平，则$x$应该是
2
.答案
3. 2 【解析】由题意知绿球与黑球的个数应相等,则黑球也为2x个,故$x+2x+2x=10$,解得$x=2$.
解析
【分析】要判断游戏对甲、乙双方公平，核心是两人获胜的概率相等。由于摸球后均放回，两次摸球的总球数均为10，因此甲获胜的概率为绿球数除以总球数，乙获胜的概率为黑球数除以总球数，要使两个概率相等，只需绿球个数等于黑球个数即可。接下来先表示出黑球的个数，再根据等量关系列方程求解即可得到x的值。
【解析】要使游戏对甲、乙双方公平，则甲获胜的概率等于乙获胜的概率。
因为摸球后均放回，摸球时总球数恒为10，因此绿球的个数与黑球的个数相等。
已知白球x个，绿球2x个，所以黑球个数为$10 - x - 2x = 10 - 3x$，
根据绿球数=黑球数列方程：$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
【答案】2
【知识点】游戏公平性判断，概率应用，一元一次方程应用
【点评】本题是概率与代数结合的基础题型，解题关键是理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，进而将概率问题转化为方程问题求解，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】要使游戏对甲、乙双方公平，则甲获胜的概率等于乙获胜的概率。
因为摸球后均放回，摸球时总球数恒为10，因此绿球的个数与黑球的个数相等。
已知白球x个，绿球2x个，所以黑球个数为$10 - x - 2x = 10 - 3x$，
根据绿球数=黑球数列方程：$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
【答案】2
【知识点】游戏公平性判断，概率应用，一元一次方程应用
【点评】本题是概率与代数结合的基础题型，解题关键是理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，进而将概率问题转化为方程问题求解，难度较低。
【难度系数】0.7
4 甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图。游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各1次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜。若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘。
(1)用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由。
(1)用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由。
答案
4.【解】(1)画树状图如图.
共有6种等可能的结果,其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果有4种,
∴甲获胜的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平.理由如下:
∵甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$,
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
解析
【分析】
(1) 求解甲获胜的概率，首先需要梳理两个转盘转动后所有等可能的数字组合，再统计其中数字之积为偶数的情况数，利用概率公式计算即可，可借助树状图或列表法清晰列举所有结果，避免遗漏或重复。(2) 判断游戏是否公平的依据是甲、乙两人获胜的概率是否相等，分别求出两人获胜的概率进行比较即可得出结论。
【解析】
(1) 首先根据转盘的数字分布画树状图列举所有可能的结果：
A盘转动可能得到数字2或3，对应每个A盘的结果，B盘转动可能得到3、4、5，由此得到所有组合：(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,3)、(3,4)、(3,5)，共6种等可能的结果。
计算各组的乘积分别为6、8、10、9、12、15，其中乘积为偶数的有4种，
根据概率公式，甲获胜的概率为$\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(2) 游戏公平性判断：
乙获胜的情况为数字之积是奇数，共有2种结果，乙获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
对比甲、乙获胜的概率：$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，两人获胜的概率不相等，因此游戏规则不公平。
【答案】
(1) 画树状图如图.
共有6种等可能的结果,其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果有4种,
∴甲获胜的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
(2) 这个游戏规则对甲、乙双方不公平.理由如下:
∵甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$,
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率应用的基础题型，重点考查对列举法求概率的掌握，以及游戏公平性的判断逻辑，熟练掌握树状图或列表法列举所有等可能结果是解题的关键，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 求解甲获胜的概率，首先需要梳理两个转盘转动后所有等可能的数字组合，再统计其中数字之积为偶数的情况数，利用概率公式计算即可，可借助树状图或列表法清晰列举所有结果，避免遗漏或重复。(2) 判断游戏是否公平的依据是甲、乙两人获胜的概率是否相等，分别求出两人获胜的概率进行比较即可得出结论。
【解析】
(1) 首先根据转盘的数字分布画树状图列举所有可能的结果：
A盘转动可能得到数字2或3，对应每个A盘的结果，B盘转动可能得到3、4、5，由此得到所有组合：(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,3)、(3,4)、(3,5)，共6种等可能的结果。
计算各组的乘积分别为6、8、10、9、12、15，其中乘积为偶数的有4种，
根据概率公式，甲获胜的概率为$\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(2) 游戏公平性判断：
乙获胜的情况为数字之积是奇数，共有2种结果，乙获胜的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
对比甲、乙获胜的概率：$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，两人获胜的概率不相等，因此游戏规则不公平。
【答案】
(1) 画树状图如图.
共有6种等可能的结果,其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果有4种,
∴甲获胜的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
(2) 这个游戏规则对甲、乙双方不公平.理由如下:
∵甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$,
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率应用的基础题型，重点考查对列举法求概率的掌握，以及游戏公平性的判断逻辑，熟练掌握树状图或列表法列举所有等可能结果是解题的关键，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
5[2025江苏苏州姑苏区期末]在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机取出一个小球不放回,记下数字为x;小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,点Q坐标记作(x,y).
(1)用画树状图或列表的方法,写出Q点所有的坐标.
(2)计算点Q(x,y)在函数$y=2x$图象上的概率.
(3)小明、小红约定做一个游戏,其规则是若x,y满足$xy＞6$,则小明胜;若x,y满足$xy＜6$,则小红胜.这个游戏公平吗?请说明理由.若不公平,怎么修改规则才对双方公平?
(1)用画树状图或列表的方法,写出Q点所有的坐标.
(2)计算点Q(x,y)在函数$y=2x$图象上的概率.
(3)小明、小红约定做一个游戏,其规则是若x,y满足$xy＞6$,则小明胜;若x,y满足$xy＜6$,则小红胜.这个游戏公平吗?请说明理由.若不公平,怎么修改规则才对双方公平?
答案
5.【解】(1)画树状图如下：
共有12种等可能的结果,它们是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
(2)只有点(1,2),(2,4)在函数$y=2x$的图象上,
∴点Q(x,y)在函数$y=2x$图象上的概率为$\frac{1}{6}$.
(3)这个游戏不公平.理由如下:由(1)得x,y满足$xy＞6$的结果有4个,x,y满足$xy＜6$的结果有6个,
∴P(小明胜)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,P(小红胜)=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
∵P(小明胜)＜P(小红胜),
∴这个游戏不公平.
这个游戏规则可改为若x,y满足$xy≥6$,则小明胜;若x,y满足$xy＜6$,则小红胜(规则修改不唯一).
解析
【分析】
(1) 要列举Q点的所有坐标，因为是不放回抽取，先确定小明抽取x的4种等可能情况，每种x对应小红从剩余3个球中抽取y的3种情况，用树状图即可不重不漏列出所有结果；
(2) 求点在y=2x图象上的概率，先从所有结果中筛选满足y=2x的点的个数，再根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可；
(3) 判断游戏是否公平，需分别计算小明、小红获胜的概率，若两者概率相等则游戏公平，否则不公平，修改规则只要使双方获胜概率相等即可。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，Q点所有坐标为：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)。
(2) 代入验证可知，满足y=2x的点为(1,2)、(2,4)，共2个，
$\therefore$ 点Q(x,y)在函数$y=2x$图象上的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(3) 游戏不公平，理由如下：
从12个结果中筛选得：满足$xy＞6$的结果有4个，满足$xy＜6$的结果有6个，
$\therefore P(\mathrm{小明胜})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{小红胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
$\because \frac{1}{3}＜\frac{1}{2}$，即$P(\mathrm{小明胜})＜P(\mathrm{小红胜})$，$\therefore$ 游戏不公平。
规则修改示例：若x,y满足$xy≥6$，则小明胜；若x,y满足$xy＜6$，则小红胜（规则修改不唯一，只要双方获胜概率相等即可）。
【答案】
(1)画树状图如下：
共有12种等可能的结果,它们是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)。
(2)点Q(x,y)在函数$y=2x$图象上的概率为$\frac{1}{6}$。
(3)这个游戏不公平。理由如下:由(1)得x,y满足$xy＞6$的结果有4个,x,y满足$xy＜6$的结果有6个,
∴P(小明胜)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,P(小红胜)=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
∵P(小明胜)＜P(小红胜),
∴这个游戏不公平.
这个游戏规则可改为若x,y满足$xy≥6$,则小明胜;若x,y满足$xy＜6$,则小红胜(规则修改不唯一)。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的常规应用题型，核心考查等可能事件概率的计算方法，要求学生掌握不重不漏列举所有结果的技巧，明确游戏公平性的判断依据是双方获胜概率相等，属于概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要列举Q点的所有坐标，因为是不放回抽取，先确定小明抽取x的4种等可能情况，每种x对应小红从剩余3个球中抽取y的3种情况，用树状图即可不重不漏列出所有结果；
(2) 求点在y=2x图象上的概率，先从所有结果中筛选满足y=2x的点的个数，再根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可；
(3) 判断游戏是否公平，需分别计算小明、小红获胜的概率，若两者概率相等则游戏公平，否则不公平，修改规则只要使双方获胜概率相等即可。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，Q点所有坐标为：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)。
(2) 代入验证可知，满足y=2x的点为(1,2)、(2,4)，共2个，
$\therefore$ 点Q(x,y)在函数$y=2x$图象上的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(3) 游戏不公平，理由如下：
从12个结果中筛选得：满足$xy＞6$的结果有4个，满足$xy＜6$的结果有6个，
$\therefore P(\mathrm{小明胜})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{小红胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
$\because \frac{1}{3}＜\frac{1}{2}$，即$P(\mathrm{小明胜})＜P(\mathrm{小红胜})$，$\therefore$ 游戏不公平。
规则修改示例：若x,y满足$xy≥6$，则小明胜；若x,y满足$xy＜6$，则小红胜（规则修改不唯一，只要双方获胜概率相等即可）。
【答案】
(1)画树状图如下：
共有12种等可能的结果,它们是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)。
(2)点Q(x,y)在函数$y=2x$图象上的概率为$\frac{1}{6}$。
(3)这个游戏不公平。理由如下:由(1)得x,y满足$xy＞6$的结果有4个,x,y满足$xy＜6$的结果有6个,
∴P(小明胜)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,P(小红胜)=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
∵P(小明胜)＜P(小红胜),
∴这个游戏不公平.
这个游戏规则可改为若x,y满足$xy≥6$,则小明胜;若x,y满足$xy＜6$,则小红胜(规则修改不唯一)。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的常规应用题型，核心考查等可能事件概率的计算方法，要求学生掌握不重不漏列举所有结果的技巧，明确游戏公平性的判断依据是双方获胜概率相等，属于概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
