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1.计算:
(1)$m · m^3 =$
(2)$(x^5)^2 =$
(3)$(-x^4)^3 =$
(4)$(2y^3)^2 =$
(5)$(-x^2y^3z)^3 =$
(6)$(x^2)^3 · x^4 =$
(7)$(\frac{1}{2}x) · (\frac{1}{2}x)^2 · (-\frac{1}{2}x)^3 =$
(8)$(-2x^3y)^2 - 3x^6y^2 =$
(1)$m · m^3 =$
$m^4$
;(2)$(x^5)^2 =$
$x^{10}$
;(3)$(-x^4)^3 =$
$-x^{12}$
;(4)$(2y^3)^2 =$
$4y^6$
;(5)$(-x^2y^3z)^3 =$
$-x^6y^9z^3$
;(6)$(x^2)^3 · x^4 =$
$x^{10}$
;(7)$(\frac{1}{2}x) · (\frac{1}{2}x)^2 · (-\frac{1}{2}x)^3 =$
$-\frac{1}{64}x^6$
;(8)$(-2x^3y)^2 - 3x^6y^2 =$
$x^6y^2$
.答案
1.(1)$m^4$ (2)$x^{10}$ (3)$-x^{12}$ (4)$4y^6$ (5)$-x^6y^9z^3$ (6)$x^{10}$ (7)$-\frac{1}{64}x^6$ (8)$x^6y^2$
解析
【分析】
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，解题时首先要判断每道小题对应的运算类型，再匹配对应法则计算：①同底数幂相乘：底数不变，指数相加；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③积的乘方：将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。运算时注意顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时注意负数奇次幂为负、偶次幂为正的符号规则，系数也要同步参与运算。
【解析】
(1) 同底数幂相乘，$m = m^1$，根据法则得：$m·m^3 = m^{1+3}=m^4$；
(2) 幂的乘方运算，根据法则得：$(x^5)^2 = x^{5×2}=x^{10}$；
(3) 先算积的乘方，再算幂的乘方：$(-x^4)^3 = (-1)^3·(x^4)^3 = -1·x^{4×3}=-x^{12}$；
(4) 积的乘方运算：$(2y^3)^2 = 2^2·(y^3)^2 =4·y^{3×2}=4y^6$；
(5) 多个因式的积的乘方运算：$(-x^2y^3z)^3 = (-1)^3·(x^2)^3·(y^3)^3·z^3 = -1·x^6·y^9·z^3=-x^6y^9z^3$；
(6) 先算幂的乘方，再算同底数幂相乘：$(x^2)^3·x^4 = x^{2×3}·x^4 =x^6·x^4=x^{6+4}=x^{10}$；
(7) 先分别计算乘方，再算同底数幂相乘：
原式$=(\frac{1}{2}x)·(\frac{1}{4}x^2)·(-\frac{1}{8}x^3) = [\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×(-\frac{1}{8})]·x^{1+2+3}=-\frac{1}{64}x^6$；
(8) 先算乘方，再合并同类项：
原式$=(-2)^2·(x^3)^2·y^2 -3x^6y^2 =4x^6y^2 -3x^6y^2 =x^6y^2$。
【答案】
(1)$m^4$ (2)$x^{10}$ (3)$-x^{12}$ (4)$4y^6$ (5)$-x^6y^9z^3$ (6)$x^{10}$ (7)$-\frac{1}{64}x^6$ (8)$x^6y^2$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题时需注意区分不同运算的指数计算规则，尤其要重视符号和系数的运算，避免因粗心出错，通过练习可有效夯实整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，解题时首先要判断每道小题对应的运算类型，再匹配对应法则计算：①同底数幂相乘：底数不变，指数相加；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③积的乘方：将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。运算时注意顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时注意负数奇次幂为负、偶次幂为正的符号规则，系数也要同步参与运算。
【解析】
(1) 同底数幂相乘，$m = m^1$，根据法则得：$m·m^3 = m^{1+3}=m^4$；
(2) 幂的乘方运算，根据法则得：$(x^5)^2 = x^{5×2}=x^{10}$；
(3) 先算积的乘方，再算幂的乘方：$(-x^4)^3 = (-1)^3·(x^4)^3 = -1·x^{4×3}=-x^{12}$；
(4) 积的乘方运算：$(2y^3)^2 = 2^2·(y^3)^2 =4·y^{3×2}=4y^6$；
(5) 多个因式的积的乘方运算：$(-x^2y^3z)^3 = (-1)^3·(x^2)^3·(y^3)^3·z^3 = -1·x^6·y^9·z^3=-x^6y^9z^3$；
(6) 先算幂的乘方，再算同底数幂相乘：$(x^2)^3·x^4 = x^{2×3}·x^4 =x^6·x^4=x^{6+4}=x^{10}$；
(7) 先分别计算乘方，再算同底数幂相乘：
原式$=(\frac{1}{2}x)·(\frac{1}{4}x^2)·(-\frac{1}{8}x^3) = [\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×(-\frac{1}{8})]·x^{1+2+3}=-\frac{1}{64}x^6$；
(8) 先算乘方，再合并同类项：
原式$=(-2)^2·(x^3)^2·y^2 -3x^6y^2 =4x^6y^2 -3x^6y^2 =x^6y^2$。
【答案】
(1)$m^4$ (2)$x^{10}$ (3)$-x^{12}$ (4)$4y^6$ (5)$-x^6y^9z^3$ (6)$x^{10}$ (7)$-\frac{1}{64}x^6$ (8)$x^6y^2$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题时需注意区分不同运算的指数计算规则，尤其要重视符号和系数的运算，避免因粗心出错，通过练习可有效夯实整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
2.计算：
(1)$(-m)^{12} · (-m)^{5}$；
(2)$(2x^{2})^{3} - x^{2} · x^{4}$；
(3)$x^{2} · x^{5} · x + (-2x^{4})^{2} + (x^{2})^{4}$；
(4)$(a - b)^{2} · (b - a)^{3} + (a - b)^{4} · (b - a)$。
(1)$(-m)^{12} · (-m)^{5}$；
(2)$(2x^{2})^{3} - x^{2} · x^{4}$；
(3)$x^{2} · x^{5} · x + (-2x^{4})^{2} + (x^{2})^{4}$；
(4)$(a - b)^{2} · (b - a)^{3} + (a - b)^{4} · (b - a)$。
答案
2.(1)原式=$-m^{17}$ (2)原式=$7x^6$ (3)原式=$6x^8$ (4)原式=$2(b-a)^5$
解析
【分析】
这组题目主要考查幂的运算法则的综合应用，解题思路如下：①先回忆幂的相关运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。②运算顺序遵循先乘方、再乘除、最后加减的规则，有同类项的要合并同类项。③遇到底数互为相反数的式子，先统一底数再进行运算，注意符号处理。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则计算：
原式$=(-m)^{12+5}=(-m)^{17}=-m^{17}$
(2) 先分别计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项：
原式$=2^3· (x^2)^3 - x^{2+4}=8x^6 - x^6=7x^6$
(3) 先分别计算同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，再合并同类项：
原式$=x^{2+5+1} + (-2)^2· (x^4)^2 + x^{2×4}=x^8 + 4x^8 + x^8=6x^8$
(4) 先利用偶次幂的性质统一底数为$(b-a)$，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项：
$\because (a-b)^2=(b-a)^2$，$(a-b)^4=(b-a)^4$
$\therefore$原式$=(b-a)^2· (b-a)^3 + (b-a)^4· (b-a)=(b-a)^{5} + (b-a)^5=2(b-a)^5$
【答案】
(1)$-m^{17}$；(2)$7x^6$；(3)$6x^8$；(4)$2(b-a)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，运算时要注意运算顺序和符号处理，遇到底数不统一的情况先转化为同底数幂再计算，是巩固幂运算规则的典型习题。
【难度系数】
0.8
这组题目主要考查幂的运算法则的综合应用，解题思路如下：①先回忆幂的相关运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。②运算顺序遵循先乘方、再乘除、最后加减的规则，有同类项的要合并同类项。③遇到底数互为相反数的式子，先统一底数再进行运算，注意符号处理。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则计算：
原式$=(-m)^{12+5}=(-m)^{17}=-m^{17}$
(2) 先分别计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项：
原式$=2^3· (x^2)^3 - x^{2+4}=8x^6 - x^6=7x^6$
(3) 先分别计算同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，再合并同类项：
原式$=x^{2+5+1} + (-2)^2· (x^4)^2 + x^{2×4}=x^8 + 4x^8 + x^8=6x^8$
(4) 先利用偶次幂的性质统一底数为$(b-a)$，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项：
$\because (a-b)^2=(b-a)^2$，$(a-b)^4=(b-a)^4$
$\therefore$原式$=(b-a)^2· (b-a)^3 + (b-a)^4· (b-a)=(b-a)^{5} + (b-a)^5=2(b-a)^5$
【答案】
(1)$-m^{17}$；(2)$7x^6$；(3)$6x^8$；(4)$2(b-a)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，运算时要注意运算顺序和符号处理，遇到底数不统一的情况先转化为同底数幂再计算，是巩固幂运算规则的典型习题。
【难度系数】
0.8
3.已知$x^{a+b} · x^{2b - a} = x^9$，求$(-3)^b + (-3)^3$。
答案
3.$\because x^{a+b} · x^{2b-a} = x^9$,$\therefore a+b+2b-a=9$,解得$b=3$,$\therefore (-3)^b+(-3)^3=(-3)^3+(-3)^3=-27-27=-54$
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。第一步先对等式左边进行运算，合并指数；第二步根据等式两边底数相同（底数不为0、1时），指数相等，列出关于指数的等式，化简后可消去a求出b的值；第三步将b的值代入所求代数式，按照乘方运算和有理数加法法则计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x^{a+b} · x^{2b - a} = x^9$
根据同底数幂的乘法法则，得：$x^{(a+b)+(2b-a)} = x^9$
即 $x^{3b} = x^9$
$\therefore$ 指数相等，可得：$3b = 9$
解得 $b = 3$
将$b=3$代入$(-3)^b + (-3)^3$得：
原式$= (-3)^3 + (-3)^3 = -27 + (-27) = -54$
【答案】
$-54$
【知识点】
同底数幂的乘法；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是利用同底数幂的乘法法则建立方程求出未知参数b的值，再代入计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。第一步先对等式左边进行运算，合并指数；第二步根据等式两边底数相同（底数不为0、1时），指数相等，列出关于指数的等式，化简后可消去a求出b的值；第三步将b的值代入所求代数式，按照乘方运算和有理数加法法则计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x^{a+b} · x^{2b - a} = x^9$
根据同底数幂的乘法法则，得：$x^{(a+b)+(2b-a)} = x^9$
即 $x^{3b} = x^9$
$\therefore$ 指数相等，可得：$3b = 9$
解得 $b = 3$
将$b=3$代入$(-3)^b + (-3)^3$得：
原式$= (-3)^3 + (-3)^3 = -27 + (-27) = -54$
【答案】
$-54$
【知识点】
同底数幂的乘法；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是利用同底数幂的乘法法则建立方程求出未知参数b的值，再代入计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
4.计算：
(1)$0.25^{222} × (-4)^{223}$；
(2)$2^{100} × 4^{100} × 0.125^{99}$。
(1)$0.25^{222} × (-4)^{223}$；
(2)$2^{100} × 4^{100} × 0.125^{99}$。
答案
4.(1)原式=$-4$ (2)原式=$8$
解析
【分析】
这两道题均考查幂的运算法则的灵活运用，核心思路是逆用积的乘方公式简化计算：
(1) 观察到0.25和-4相乘得-1，两个幂的指数分别为222和223，可将$(-4)^{223}$拆分为$(-4)^{222}×(-4)$，凑出同指数的两个幂，逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$即可快速计算。
(2) 观察到2、4、0.125相乘得1，三个幂的指数有99和100，可将指数为100的幂拆分为指数为99的幂乘底数本身，凑出同指数的三个幂，逆用积的乘方公式计算后，再乘剩余的因数即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$0.25^{222} × (-4)^{223}$：
$\begin{aligned}原式&=0.25^{222} × (-4)^{222} × (-4)\\&=[0.25×(-4)]^{222} × (-4)\\&=(-1)^{222} × (-4)\\&=1×(-4)\\&=-4\end{aligned}$
(2) 计算$2^{100} × 4^{100} × 0.125^{99}$：
$\begin{aligned}原式&=2^{99}×2 × 4^{99}×4 × 0.125^{99}\\&=(2^{99}×4^{99}×0.125^{99}) × (2×4)\\&=(2×4×0.125)^{99} ×8\\&=1^{99}×8\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的运算法则
【点评】
本题是幂运算简便计算的典型题型，解题关键是观察底数的乘积是否为±1等特殊值，通过拆分指数凑相同指数，逆用积的乘方公式简化运算，避免直接计算高次幂，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查幂的运算法则的灵活运用，核心思路是逆用积的乘方公式简化计算：
(1) 观察到0.25和-4相乘得-1，两个幂的指数分别为222和223，可将$(-4)^{223}$拆分为$(-4)^{222}×(-4)$，凑出同指数的两个幂，逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$即可快速计算。
(2) 观察到2、4、0.125相乘得1，三个幂的指数有99和100，可将指数为100的幂拆分为指数为99的幂乘底数本身，凑出同指数的三个幂，逆用积的乘方公式计算后，再乘剩余的因数即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$0.25^{222} × (-4)^{223}$：
$\begin{aligned}原式&=0.25^{222} × (-4)^{222} × (-4)\\&=[0.25×(-4)]^{222} × (-4)\\&=(-1)^{222} × (-4)\\&=1×(-4)\\&=-4\end{aligned}$
(2) 计算$2^{100} × 4^{100} × 0.125^{99}$：
$\begin{aligned}原式&=2^{99}×2 × 4^{99}×4 × 0.125^{99}\\&=(2^{99}×4^{99}×0.125^{99}) × (2×4)\\&=(2×4×0.125)^{99} ×8\\&=1^{99}×8\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的运算法则
【点评】
本题是幂运算简便计算的典型题型，解题关键是观察底数的乘积是否为±1等特殊值，通过拆分指数凑相同指数，逆用积的乘方公式简化运算，避免直接计算高次幂，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
5.(方程思想)已知$2^{3x+2} · 5^{3x+2} = 100^{2x}$，求$x$的值.
答案
5.$(2×5)^{3x+2}=(10^2)^{2x}$,$10^{3x+2}=10^{4x}$,$\therefore 3x+2=4x$,$\therefore x=2$
解析
【分析】
解题时先观察等式结构：左边是两个指数相同的幂相乘，符合积的乘方逆运算的特征，可先合并为底数是10的幂；再将右边底数100转化为$10^2$，利用幂的乘方法则把右边也化为底数是10的幂；最后根据同底数幂相等时指数相等（底数不为0和1）的性质列一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
解：对等式左边逆用积的乘方法则，得
$(2×5)^{3x+2}=100^{2x}$
即 $10^{3x+2}=100^{2x}$
将右边的底数100改写为$10^2$，利用幂的乘方法则计算，得
$10^{3x+2}=(10^2)^{2x}=10^{4x}$
因为底数$10≠0$且$10≠1$，所以两幂相等时指数相等，可得
$3x+2=4x$
移项解得：$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方，一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算法则与方程思想结合的典型习题，核心是将等式两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等的性质建立方程求解，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察等式结构：左边是两个指数相同的幂相乘，符合积的乘方逆运算的特征，可先合并为底数是10的幂；再将右边底数100转化为$10^2$，利用幂的乘方法则把右边也化为底数是10的幂；最后根据同底数幂相等时指数相等（底数不为0和1）的性质列一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
解：对等式左边逆用积的乘方法则，得
$(2×5)^{3x+2}=100^{2x}$
即 $10^{3x+2}=100^{2x}$
将右边的底数100改写为$10^2$，利用幂的乘方法则计算，得
$10^{3x+2}=(10^2)^{2x}=10^{4x}$
因为底数$10≠0$且$10≠1$，所以两幂相等时指数相等，可得
$3x+2=4x$
移项解得：$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方，一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算法则与方程思想结合的典型习题，核心是将等式两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等的性质建立方程求解，熟练掌握幂的各类运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. $5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}$（n为正整数）能被13整除吗？请说明理由.
答案
6.$5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}$(n为正整数)能被13整除.理由如下:$5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}=5^2×(3^{2n}×3)×2^n - 3^n×(6^n×6^2)=75×18^n - 36×18^n=39×18^n=13×3×18^n$,$\because n$为正整数,$\therefore 3×18^n$是正整数,$\therefore 5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}$能被13整除
解析
【分析】要判断给定的整式能否被13整除，核心是将整式化简为13与某个正整数乘积的形式。解题时首先利用同底数幂乘法的逆运算，把指数为和的幂拆分为两个同底数幂相乘的形式，再通过积的乘方的逆运算将指数相同的幂合并，最后合并同类项后观察化简结果是否含有因数13即可。
【解析】
解：原式能被13整除，理由如下：
根据同底数幂的乘法逆运算拆分各幂项：
$5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}$
$=25×(3^{2n}×3)×2^n - 3^n×(6^n×6^2)$
整理系数后，根据积的乘方逆运算合并同指数的幂：
$=75×(9^n×2^n) - 36×(3^n×6^n)$
$=75×18^n - 36×18^n$
合并同类项并分解因数：
$=(75-36)×18^n=39×18^n=13×3×18^n$
∵n为正整数，
∴$3×18^n$是正整数，即原式是13的正整数倍，因此原式能被13整除。
【答案】能被13整除。理由如下：$5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}=5^2×(3^{2n}×3)×2^n - 3^n×(6^n×6^2)=75×18^n - 36×18^n=39×18^n=13×3×18^n$，$\because n$为正整数，$\therefore 3×18^n$是正整数，$\therefore 5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}$能被13整除。
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；整除判定
【点评】本题重点考查幂的运算法则的灵活应用，解题核心是通过幂的运算性质的正逆使用，将原式变形为含有公因数13的乘积形式，需要熟练掌握幂的运算规则才能快速变形求解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：原式能被13整除，理由如下：
根据同底数幂的乘法逆运算拆分各幂项：
$5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}$
$=25×(3^{2n}×3)×2^n - 3^n×(6^n×6^2)$
整理系数后，根据积的乘方逆运算合并同指数的幂：
$=75×(9^n×2^n) - 36×(3^n×6^n)$
$=75×18^n - 36×18^n$
合并同类项并分解因数：
$=(75-36)×18^n=39×18^n=13×3×18^n$
∵n为正整数，
∴$3×18^n$是正整数，即原式是13的正整数倍，因此原式能被13整除。
【答案】能被13整除。理由如下：$5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}=5^2×(3^{2n}×3)×2^n - 3^n×(6^n×6^2)=75×18^n - 36×18^n=39×18^n=13×3×18^n$，$\because n$为正整数，$\therefore 3×18^n$是正整数，$\therefore 5^2 · 3^{2n+1} · 2^n - 3^n · 6^{n+2}$能被13整除。
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；整除判定
【点评】本题重点考查幂的运算法则的灵活应用，解题核心是通过幂的运算性质的正逆使用，将原式变形为含有公因数13的乘积形式，需要熟练掌握幂的运算规则才能快速变形求解。
【难度系数】0.7
