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1. [2025 阜阳段考]一抛物线的形状、开口方向与抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +4x -3$相同，顶点为$(-3,2)$，则此抛物线的表达式为（
A.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2 +2$
B.$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$
C.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2 -2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -2$
B
）A.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2 +2$
B.$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$
C.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2 -2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -2$
答案
B
2. [2026合肥经开区月考]已知二次函数的图象如图
所示,则它的表达式为 (
A.$y=x^2 - 3$
B.$y=-x^2 + 3$
C.$y=-\dfrac{3}{4}x^2 + 3$
D.$y=-\dfrac{3}{4}x^2 - 3$
所示,则它的表达式为 (C
)A.$y=x^2 - 3$
B.$y=-x^2 + 3$
C.$y=-\dfrac{3}{4}x^2 + 3$
D.$y=-\dfrac{3}{4}x^2 - 3$
答案
由题图可知抛物线的顶点坐标为$(0,3)$,可设抛物线的表达式为$y=ax^2 +3$,把$(2,0)$代入,得$a×2^2 +3=0$,解得$a=-\frac{3}{4}$,所以抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{4}x^2 +3.$
3. [2025周口段考]已知抛物线$y=ax^2+bx$经过点$A(-3,-3)$，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的表达式为（
A.$y=\frac{1}{3}x^2 +2x$
B.$y=-\frac{1}{3}x^2 +2x$
C.$y=\frac{1}{3}x^2 -2x$
D.$y=-\frac{1}{3}x^2 -2x$
A
）A.$y=\frac{1}{3}x^2 +2x$
B.$y=-\frac{1}{3}x^2 +2x$
C.$y=\frac{1}{3}x^2 -2x$
D.$y=-\frac{1}{3}x^2 -2x$
答案
∵ 抛物线$y=ax^2 +bx$经过点$A( -3, -3)$,且该抛物线的对称轴经过点A,
∴ $\begin{cases} -\dfrac{b}{2a}=-3, \\9a -3b = -3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{3}, \\b=2, \end{cases}$
∴ 该抛物线的表达式为$y=\frac{1}{3}x^2 +2x.$
4. [2026合肥四十八中月考]已知点$(0,3)$在二次函数的图象上,且当$x=1$时,函数有最小值2.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)如果两个不同的点$C(m,6)$,$D(n,6)$也在这个函数的图象上,求$m+n$的值.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)如果两个不同的点$C(m,6)$,$D(n,6)$也在这个函数的图象上,求$m+n$的值.
答案
(1)
∵ 当x=1时,函数有最小值2,
∴ 点(1,2)为这个函数图象的顶点坐标.
可设这个二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2 +2$,
把(0,3)代入,得$a+2=3$,解得$a=1$,
∴ 这个二次函数的表达式为$y=(x-1)^2 +2$,即$y=x^2 -2x +3.$
(2)由(1)可知这个二次函数图象的对称轴为直线x=1.
∵ 点$C(m,6),D(n,6)$都在这个二次函数的图象上,
∴ 点C,D关于直线x=1对称,
∴ $\frac{m+n}{2}=1$,
∴ $m+n=2.$
∵ 当x=1时,函数有最小值2,
∴ 点(1,2)为这个函数图象的顶点坐标.
可设这个二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2 +2$,
把(0,3)代入,得$a+2=3$,解得$a=1$,
∴ 这个二次函数的表达式为$y=(x-1)^2 +2$,即$y=x^2 -2x +3.$
(2)由(1)可知这个二次函数图象的对称轴为直线x=1.
∵ 点$C(m,6),D(n,6)$都在这个二次函数的图象上,
∴ 点C,D关于直线x=1对称,
∴ $\frac{m+n}{2}=1$,
∴ $m+n=2.$
5. ▶一题多解 [2026安庆联考]已知抛物线$y=-x^2 -bx +n$经过$(-2,0)$和$(4,0)$两点，则$b$的值为（
A.-2
B.-4
C.2
D.4
A
）A.-2
B.-4
C.2
D.4
答案
通解
∵ 点$(-2,0)$和$(4,0)$在抛物线$y=-x^2 -bx +n$上,
∴ 抛物线的表达式为$y=-(x+2)(x-4)=-x^2 +2x +8$,
∴ $-b=2$,即$b=-2.$
另解
∵ 点$(-2,0)$和$(4,0)$在抛物线$y=-x^2 -bx +n$上,
∴ $\begin{cases} 0=-4+2b +n, \\0=-16-4b +n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2, \\n=8. \end{cases}$
∵ 点$(-2,0)$和$(4,0)$在抛物线$y=-x^2 -bx +n$上,
∴ 抛物线的表达式为$y=-(x+2)(x-4)=-x^2 +2x +8$,
∴ $-b=2$,即$b=-2.$
另解
∵ 点$(-2,0)$和$(4,0)$在抛物线$y=-x^2 -bx +n$上,
∴ $\begin{cases} 0=-4+2b +n, \\0=-16-4b +n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2, \\n=8. \end{cases}$
6. 若$y=ax^2 -2x +b(a≠0,b是实数)$，则由下列表格中的信息可知该二次函数的表达式为（
A.$y=2x^2 -x +2$
B.$y=x^2 -2x +2$
C.$y=-2x^2 -5x +2$
D.$y=-x^2 +2x +2$
B
）A.$y=2x^2 -x +2$
B.$y=x^2 -2x +2$
C.$y=-2x^2 -5x +2$
D.$y=-x^2 +2x +2$
答案
由题表可知抛物线$y=ax^2 -2x +b$经过点$(-1,5)$和$(2,2)$,
∴ $\begin{cases} a+2 +b=5, \\4a -4 +b=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1, \\b=2, \end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=x^2 -2x +2.$
∴ $\begin{cases} a+2 +b=5, \\4a -4 +b=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1, \\b=2, \end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=x^2 -2x +2.$
7. [2025平顶山模拟]如图,在平面直角坐标系中,点$A(3,-1)$,$B(4,-2)$,$C(2,-3)$,若抛物线$y=ax^2 + bx - 2$经过$A$,$B$,$C$三点中的两个点,则符合题意的$a$的最大值是 (
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{5}{6}$
D.$\dfrac{6}{5}$
C
)A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{5}{6}$
D.$\dfrac{6}{5}$
答案
①当抛物线经过A,B两点时,可得$\begin{cases}9a +3b -2=-1, \\16a +4b -2=-2, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} a=-\dfrac{1}{3}, \\b=\dfrac{4}{3}. \end{cases}$
②当抛物线经过B,C两点时,可得$\begin{cases}16a +4b -2=-2, \\4a +2b -2=-3, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} a=\dfrac{1}{4}, \\b=-1. \end{cases}$
③当抛物线经过A,C两点时,可得$\begin{cases}9a +3b -2=-1, \\4a +2b -2=-3, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} a=\dfrac{5}{6}, \\b=-\dfrac{13}{6}. \end{cases}$
综上,可知符合题意的a的最大值是$\frac{5}{6}.$
∴ $\begin{cases} a=-\dfrac{1}{3}, \\b=\dfrac{4}{3}. \end{cases}$
②当抛物线经过B,C两点时,可得$\begin{cases}16a +4b -2=-2, \\4a +2b -2=-3, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} a=\dfrac{1}{4}, \\b=-1. \end{cases}$
③当抛物线经过A,C两点时,可得$\begin{cases}9a +3b -2=-1, \\4a +2b -2=-3, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} a=\dfrac{5}{6}, \\b=-\dfrac{13}{6}. \end{cases}$
综上,可知符合题意的a的最大值是$\frac{5}{6}.$
8. [2026合肥段考]已知抛物线$y = ax^2 + bx - a$（$a,b$是常数，$a≠0$）.
(1)若此抛物线经过点$(1,2)$和$(-2,-1)$，求此抛物线的表达式.
(2)若$b = a + 3$，当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围.
(1)若此抛物线经过点$(1,2)$和$(-2,-1)$，求此抛物线的表达式.
(2)若$b = a + 3$，当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围.
答案
(1)由题意可得$\begin{cases} a +b -a=2, \\4a -2b -a=-1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1, \\b=2, \end{cases}$
∴ 此抛物线的表达式为$y=x^2 +2x -1.$
(2)
∵ $b=a +3$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a +3}{2a}.$
∵ 当$x ＞ -1$时,y随x的增大而增大,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴在直线$x=-1$左侧或与直线$x=-1$重合,即$a＞0,-\frac{a +3}{2a}≤ -1$,解得$0 ＜ a ≤ 3.$
解得$\begin{cases} a=1, \\b=2, \end{cases}$
∴ 此抛物线的表达式为$y=x^2 +2x -1.$
(2)
∵ $b=a +3$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a +3}{2a}.$
∵ 当$x ＞ -1$时,y随x的增大而增大,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴在直线$x=-1$左侧或与直线$x=-1$重合,即$a＞0,-\frac{a +3}{2a}≤ -1$,解得$0 ＜ a ≤ 3.$
