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9. ▶教材P60T1(2)变式 无论$h$为任何数，抛物线$y=a(x+h)^2 +k$的顶点总在直线$y=-x$上，则（
A.$k=h$
B.$k=-h$
C.$hk=0$
D.无法确定
A
）A.$k=h$
B.$k=-h$
C.$hk=0$
D.无法确定
答案
9 A $\because$ 抛物线$y = a(x + h)^2 + k$的顶点坐标为$(-h,k)$,且顶点总在直线$y = -x$上,$\therefore k = -(-h)$,即$k = h$.
10. [2025安庆大观区二模]若二次函数$y=a(x+m)^2 +n$的图象如图所示，则一次函数$y=mx +n$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10 A $\because$ 抛物线$y = a(x + m)^2 + n$的顶点$(-m,n)$在第四象限,$\therefore -m ＞ 0$,$n ＜ 0$,$\therefore m ＜ 0$,$n ＜ 0$,$\therefore$ 一次函数$y = mx + n$的图象不经过第一象限.
11. [2026上海长宁区期末]已知$m$是常数，它满足以下要求：
(1)抛物线$y=(m+1)x^2$的最高点就是它的顶点。
(2)抛物线$y=(x+m)^2 + m +1$的对称轴在$y$轴的右侧。
(3)沿着$x$轴的正方向看，抛物线$y=(m+3)x^2 +1$在$y$轴左侧是下降的。
那么常数$m$可以取的值是 (
A. $-3$ B. $-2$ C. $-1$ D. $0$
(1)抛物线$y=(m+1)x^2$的最高点就是它的顶点。
(2)抛物线$y=(x+m)^2 + m +1$的对称轴在$y$轴的右侧。
(3)沿着$x$轴的正方向看，抛物线$y=(m+3)x^2 +1$在$y$轴左侧是下降的。
那么常数$m$可以取的值是 (
B
)A. $-3$ B. $-2$ C. $-1$ D. $0$
答案
11 B $\because$ 抛物线$y = (m + 1)x^2$的最高点就是它的顶点,$\therefore m + 1 ＜ 0$,即$m ＜ -1$. $\because y = (x + m)^2 + m + 1$的对称轴在$y$轴的右侧,且其对称轴为直线$x = -m$,$\therefore -m ＞ 0$,即$m ＜ 0$. $\because$ 抛物线$y = (m + 3)x^2 + 1$在$y$轴左侧是下降的,$\therefore m + 3 ＞ 0$,即$m ＞ -3$. 综上,$m$的取值范围为$-3 ＜ m ＜ -1$,结合选项可知只有选项B符合.
12.已知抛物线$y=a(x-h)^2 +k$与x轴有两个交点$A(-1,0),B(3,0)$，抛物线$y=a(x-h-m)^2 +k$与x轴的一个交点是$(4,0)$，则m的值是
微专题
一题练透 二次
5或1
。微专题
一题练透 二次
答案
12 5或1 易知抛物线$y = a(x - h - m)^2 + k$是由抛物线$y = a(x - h)^2 + k$向右(或向左)平移$|m|$个单位长度得到的,所以当点$A(-1,0)$平移后的对应点为$(4,0)$时,$m = 4 - (-1) = 5$;当点$B(3,0)$平移后的对应点为$(4,0)$时,$m = 4 - 3 = 1$. 综上,$m$的值为5或1.
已知抛物线$y=-(x-2)^2+2$.
(1)当$-1≤x≤1$时,$y$的最大值为
(2)当$-2≤x≤4$时,$y$的最小值为
(3)当$m≤x≤3$时,$y$的最大值为2,求$m$的取值范围.
(1)当$-1≤x≤1$时,$y$的最大值为
1
.(2)当$-2≤x≤4$时,$y$的最小值为
-14
.(3)当$m≤x≤3$时,$y$的最大值为2,求$m$的取值范围.
答案
解:(1)1
$\because$ 抛物线$y = -(x - 2)^2 + 2$ 的开口向下,对称轴为直线$x = 2$,$\therefore$ 当$x ＜ 2$时,$y$随$x$的增大而增大. $\therefore$ 当$x = 1$时,$y$取得最大值,为1.
(2) -14
$\because$ 抛物线$y = -(x - 2)^2 + 2$ 的开口向下,对称轴为直线$x = 2$,且$|-2 - 2| ＞ |4 - 2|$,$\therefore$ 当$x = -2$时,$y$取得最小值,为-14.
(3)$\because$ 抛物线$y = -(x - 2)^2 + 2$ 的开口向下,顶点坐标为$(2,2)$,$\therefore$ 当$x = 2$时,$y$取得最大值,为2.
$\because$ 当$m≤x≤3$时,$y$的最大值为2,
$\therefore m$ 的取值范围为$m≤2$.
(4)$\because$ 当$x = -3$时,$y = -23 ＞ -34$,
$\therefore$ 当$x = m$时,$y$的最小值为-34,
$\therefore -(m - 2)^2 + 2 = -34$,
解得$m_1 = 8$,$m_2 = -4$(不符合题意,舍去),
$\therefore m = 8$.
(5)$\because$ 当$x = 2$时,$y$取得最大值,为2,当$m≤x≤m + 1$时,$y$的最大值为1,
$\therefore x = 2$ 不满足$m≤x≤m + 1$.
当$m + 1 ＜ 2$,即$m ＜ 1$时,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$x = m + 1$时,$y$取得最大值,
即$-(m + 1 - 2)^2 + 2 = 1$,解得$m_1 = 0$,$m_2 = 2$(不符合题意,舍去).
当$m ＞ 2$时,$y$随$x$的增大而减小,
$\therefore$ 当$x = m$时,$y$取得最大值,
即$-(m - 2)^2 + 2 = 1$,解得$m_1 = 3$,$m_2 = 1$(不符合题意,舍去).
综上,$m$ 的值为0或3.
$\because$ 抛物线$y = -(x - 2)^2 + 2$ 的开口向下,对称轴为直线$x = 2$,$\therefore$ 当$x ＜ 2$时,$y$随$x$的增大而增大. $\therefore$ 当$x = 1$时,$y$取得最大值,为1.
(2) -14
$\because$ 抛物线$y = -(x - 2)^2 + 2$ 的开口向下,对称轴为直线$x = 2$,且$|-2 - 2| ＞ |4 - 2|$,$\therefore$ 当$x = -2$时,$y$取得最小值,为-14.
(3)$\because$ 抛物线$y = -(x - 2)^2 + 2$ 的开口向下,顶点坐标为$(2,2)$,$\therefore$ 当$x = 2$时,$y$取得最大值,为2.
$\because$ 当$m≤x≤3$时,$y$的最大值为2,
$\therefore m$ 的取值范围为$m≤2$.
(4)$\because$ 当$x = -3$时,$y = -23 ＞ -34$,
$\therefore$ 当$x = m$时,$y$的最小值为-34,
$\therefore -(m - 2)^2 + 2 = -34$,
解得$m_1 = 8$,$m_2 = -4$(不符合题意,舍去),
$\therefore m = 8$.
(5)$\because$ 当$x = 2$时,$y$取得最大值,为2,当$m≤x≤m + 1$时,$y$的最大值为1,
$\therefore x = 2$ 不满足$m≤x≤m + 1$.
当$m + 1 ＜ 2$,即$m ＜ 1$时,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$x = m + 1$时,$y$取得最大值,
即$-(m + 1 - 2)^2 + 2 = 1$,解得$m_1 = 0$,$m_2 = 2$(不符合题意,舍去).
当$m ＞ 2$时,$y$随$x$的增大而减小,
$\therefore$ 当$x = m$时,$y$取得最大值,
即$-(m - 2)^2 + 2 = 1$,解得$m_1 = 3$,$m_2 = 1$(不符合题意,舍去).
综上,$m$ 的值为0或3.
13. 如图,抛物线 $y_1 = \frac{1}{2}(x-h)^2 + k$ 与 $y_2 = a(x+3)^2 -1$ 交于点A,且分别交y轴于点P,Q,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.已知B(3,3),BC=10.
(1)求a的值.
(2)若点(2,m),(3,n)及(4,p)都在抛物线$y_1$上,判断m,n,p的大小关系,并说明理由.
(3)求PQ的长.
(1)求a的值.
(2)若点(2,m),(3,n)及(4,p)都在抛物线$y_1$上,判断m,n,p的大小关系,并说明理由.
(3)求PQ的长.
答案
13 解:(1)$\because B(3,3)$,$BC = 10$,$BC // x$轴,且点$C$在第二象限,$\therefore C(-7,3)$.
把$C(-7,3)$代入$y_2 = a(x + 3)^2 - 1$,
得$3 = a(-7 + 3)^2 - 1$,解得$a = \frac{1}{4}$.
(2)$m ＜ n ＜ p$. 理由如下:
$\because a = \frac{1}{4}$,$\therefore y_2 = \frac{1}{4}(x + 3)^2 - 1$.
令$y_2 = 3$,得$3 = \frac{1}{4}(x + 3)^2 - 1$,
解得$x = 1$或$x = -7$,
结合题图,可知$A(1,3)$,$\therefore h = \frac{1 + 3}{2} = 2$,
$\therefore$ 抛物线$y_1 = \frac{1}{2}(x - h)^2 + k$ 的对称轴是直线$x = 2$.
$\because$ 抛物线$y_1$开口向上,且$|2 - 2| ＜ |3 - 2| ＜ |4 - 2|$,
$\therefore m ＜ n ＜ p$.
(3)把$B(3,3)$代入$y_1 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + k$,
得$\frac{1}{2}(3 - 2)^2 + k = 3$,解得$k = \frac{5}{2}$,
$\therefore y_1 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + \frac{5}{2}$,
令$x = 0$,得$y = \frac{9}{2}$,$\therefore P(0,\frac{9}{2})$.
在$y_2 = \frac{1}{4}(x + 3)^2 - 1$ 中,
令$x = 0$,得$y = \frac{5}{4}$,$\therefore Q(0,\frac{5}{4})$,
$\therefore PQ = \frac{9}{2} - \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.
把$C(-7,3)$代入$y_2 = a(x + 3)^2 - 1$,
得$3 = a(-7 + 3)^2 - 1$,解得$a = \frac{1}{4}$.
(2)$m ＜ n ＜ p$. 理由如下:
$\because a = \frac{1}{4}$,$\therefore y_2 = \frac{1}{4}(x + 3)^2 - 1$.
令$y_2 = 3$,得$3 = \frac{1}{4}(x + 3)^2 - 1$,
解得$x = 1$或$x = -7$,
结合题图,可知$A(1,3)$,$\therefore h = \frac{1 + 3}{2} = 2$,
$\therefore$ 抛物线$y_1 = \frac{1}{2}(x - h)^2 + k$ 的对称轴是直线$x = 2$.
$\because$ 抛物线$y_1$开口向上,且$|2 - 2| ＜ |3 - 2| ＜ |4 - 2|$,
$\therefore m ＜ n ＜ p$.
(3)把$B(3,3)$代入$y_1 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + k$,
得$\frac{1}{2}(3 - 2)^2 + k = 3$,解得$k = \frac{5}{2}$,
$\therefore y_1 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + \frac{5}{2}$,
令$x = 0$,得$y = \frac{9}{2}$,$\therefore P(0,\frac{9}{2})$.
在$y_2 = \frac{1}{4}(x + 3)^2 - 1$ 中,
令$x = 0$,得$y = \frac{5}{4}$,$\therefore Q(0,\frac{5}{4})$,
$\therefore PQ = \frac{9}{2} - \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.
14. 推理能力 [2025滁州段考]已知二次函数$y=a(x-5)^2 + c$，当$x=x_1$时，函数值为$y_1$；当$x=x_2$时，函数值为$y_2$。若$|x_1 -5| ＞ |x_2 -5|$，则下列结论正确的是（
A. $y_1 + y_2 ＞0$
B. $y_1 - y_2 ＞0$
C. $a(y_1 + y_2) ＞0$
D. $a(y_1 - y_2) ＞0$
答案 P08
次函数的最值问题
(4)当$-3≤ x≤ m$时，$y$的最小值为$-34$，求$m$的值.
(5)当$m≤ x≤ m+1$时，$y$的最大值为$1$，求$m$的值.
D
）A. $y_1 + y_2 ＞0$
B. $y_1 - y_2 ＞0$
C. $a(y_1 + y_2) ＞0$
D. $a(y_1 - y_2) ＞0$
答案 P08
次函数的最值问题
(4)当$-3≤ x≤ m$时，$y$的最小值为$-34$，求$m$的值.
(5)当$m≤ x≤ m+1$时，$y$的最大值为$1$，求$m$的值.
答案
14 D 分情况讨论如下:①当$a ＞ 0$时,二次函数图象开口向上. $\because |x_1 - 5| ＞ |x_2 - 5|$,$\therefore y_1 ＞ y_2$,$\therefore a(y_1 - y_2) ＞ 0$. ②当$a ＜ 0$时,二次函数图象开口向下. $\because |x_1 - 5| ＞ |x_2 - 5|$,$\therefore y_1 ＜ y_2$,$\therefore a(y_1 - y_2) ＞ 0$. $\because$ 无法确定$y_1 + y_2$的正负情况,$\therefore a(y_1 + y_2)$的正负情况也无法确定. 综上,可知正确的是$a(y_1 - y_2) ＞ 0$.
