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一、填空题
1. 如图，点M，N在线段AB上，N是AB的中点，$AM=\frac{1}{3}AN=2$，则AB=
1. 如图，点M，N在线段AB上，N是AB的中点，$AM=\frac{1}{3}AN=2$，则AB=
12
。答案
1. 12
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知$\frac{1}{3}AN=2$，可先求出AN的长度；再结合N是AB中点这一条件，根据线段中点的性质（中点将线段分为长度相等的两段，即原线段长度是中点分得的小段长度的2倍），即可求出AB的长度。
【解析】
解：$\because \frac{1}{3}AN=2$
$\therefore AN=2×3=6$
又$\because$ N是AB的中点
$\therefore AB=2AN=2×6=12$
【答案】
12
【知识点】
线段中点的定义；线段长度计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，重点考查对线段中点性质的理解和应用，解题时先从已知的等量关系入手求出中间量AN的长度，再结合中点性质计算即可，整体思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理已知条件：已知$\frac{1}{3}AN=2$，可先求出AN的长度；再结合N是AB中点这一条件，根据线段中点的性质（中点将线段分为长度相等的两段，即原线段长度是中点分得的小段长度的2倍），即可求出AB的长度。
【解析】
解：$\because \frac{1}{3}AN=2$
$\therefore AN=2×3=6$
又$\because$ N是AB的中点
$\therefore AB=2AN=2×6=12$
【答案】
12
【知识点】
线段中点的定义；线段长度计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题，重点考查对线段中点性质的理解和应用，解题时先从已知的等量关系入手求出中间量AN的长度，再结合中点性质计算即可，整体思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
2. 如，∠AOB=118°，∠COD=28°，∠COD=2∠DOB，则∠AOC的度数为
76°
。答案
2. 76°
解析
【分析】
解题时先从已知的角的倍分关系入手，先求出∠DOB的度数，再根据角的和的关系求出∠BOC的度数，最后用大角∠AOB减去∠BOC的度数，即可得到所求的∠AOC的度数。
【解析】
第一步：根据角的倍分关系求∠DOB
已知∠COD=28°，且∠COD=2∠DOB，因此$∠ DOB=∠ COD÷2=28°÷2=14°$。
第二步：求∠BOC的度数
观察角的位置可知，$∠ BOC=∠ COD+∠ DOB$，代入数值得$∠ BOC=28°+14°=42°$。
第三步：求∠AOC的度数
因为$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$，所以$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$，代入$∠ AOB=118°$得$∠ AOC=118°-42°=76°$。
【答案】
76°
【知识点】
角的倍分计算，角的和差运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是理清各个角之间的数量关系和位置关系，按照从已知到未知的顺序逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知的角的倍分关系入手，先求出∠DOB的度数，再根据角的和的关系求出∠BOC的度数，最后用大角∠AOB减去∠BOC的度数，即可得到所求的∠AOC的度数。
【解析】
第一步：根据角的倍分关系求∠DOB
已知∠COD=28°，且∠COD=2∠DOB，因此$∠ DOB=∠ COD÷2=28°÷2=14°$。
第二步：求∠BOC的度数
观察角的位置可知，$∠ BOC=∠ COD+∠ DOB$，代入数值得$∠ BOC=28°+14°=42°$。
第三步：求∠AOC的度数
因为$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$，所以$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$，代入$∠ AOB=118°$得$∠ AOC=118°-42°=76°$。
【答案】
76°
【知识点】
角的倍分计算，角的和差运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是理清各个角之间的数量关系和位置关系，按照从已知到未知的顺序逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.85
3. 周末,小明和家人去海边游玩.他们站在海边的灯塔O处(如图),小明用望远镜观测到远处有一艘轮船A,爸爸告诉他轮船A位于北偏西$53°30'$的方向,这时,妈妈又发现了另一艘轮船B,在南偏西$60°40'$的方向,则$∠ AOB$的余角的度数为
24°10'
.答案
3. 24°10'
解析
【分析】
本题是方向角结合角的运算的题目，解题思路如下：1. 首先明确正北方向和正南方向在同一直线上，二者夹角为平角180°；2. 用180°减去轮船A、B对应的两个方向角的度数，即可求出∠AOB的度数，计算时要注意度分秒是60进制；3. 根据余角的定义（两个角的和为90°，则这两个角互余），用90°减去∠AOB的度数，就能得到∠AOB的余角的度数。
【解析】
解：
∵ 正北方向与正南方向的夹角为180°
∴ 先计算∠AOB的度数：
$\begin{aligned}∠AOB &= 180° - 53°30' - 60°40' \\&= 180° - (53°30' + 60°40') \\&= 180° - 114°10' \\&= 179°60' - 114°10' \\&= 65°50'\end{aligned}$
根据余角的定义，∠AOB的余角为：
$90° - 65°50' = 89°60' - 65°50' = 24°10'$
【答案】
$24°10'$
【知识点】
方向角的认识；度分秒的运算；余角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查角的相关计算，解题的关键是理解方向角的含义，明确正北、正南方向构成平角，计算度分秒时注意进率为60，不要漏算最后求余角的步骤即可正确求解。
【难度系数】
0.7
本题是方向角结合角的运算的题目，解题思路如下：1. 首先明确正北方向和正南方向在同一直线上，二者夹角为平角180°；2. 用180°减去轮船A、B对应的两个方向角的度数，即可求出∠AOB的度数，计算时要注意度分秒是60进制；3. 根据余角的定义（两个角的和为90°，则这两个角互余），用90°减去∠AOB的度数，就能得到∠AOB的余角的度数。
【解析】
解：
∵ 正北方向与正南方向的夹角为180°
∴ 先计算∠AOB的度数：
$\begin{aligned}∠AOB &= 180° - 53°30' - 60°40' \\&= 180° - (53°30' + 60°40') \\&= 180° - 114°10' \\&= 179°60' - 114°10' \\&= 65°50'\end{aligned}$
根据余角的定义，∠AOB的余角为：
$90° - 65°50' = 89°60' - 65°50' = 24°10'$
【答案】
$24°10'$
【知识点】
方向角的认识；度分秒的运算；余角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查角的相关计算，解题的关键是理解方向角的含义，明确正北、正南方向构成平角，计算度分秒时注意进率为60，不要漏算最后求余角的步骤即可正确求解。
【难度系数】
0.7
4. 已知C为线段AB上一点，AB=12，AC=8，D为直线AB上一点，M，N分别是AB，CD的中点。若MN=10，则线段AD的长为
24 或 16
。答案
4. 24 或 16 解析:如图①,当点D在AB的延长线上时,因为AB=12,AC=8,所以BC=AB-AC=4. 因为M是AB的中点,所以$AM=BM=\frac{1}{2}AB=6$. 所以MC=AC-AM=2. 又MN=MC+BC+BN=2+4+BN=10,所以BN=4. 又N是CD的中点,所以DN=CN=BC+BN=8. 所以AD=AC+CN+DN=8+8+8=24. 如图②,当点D在线段BA的延长线上时,因为AB=12,AC=8,所以BC=AB-AC=4. 因为M是AB的中点,所以$AM=BM=\frac{1}{2}AB=6$. 又MN=AN+AM=AN+6=10,所以AN=4. 又N是CD的中点,所以DN=CN=AN+AC=4+8=12. 所以AD=DN+AN=12+4=16. 综上所述,AD的长为24或16.
解析
【分析】
本题中D是直线AB上的点，因此首先要分两种情况讨论点D的位置：①点D在AB的延长线上；②点D在BA的延长线上。解题时先根据已知的AB、AC长度算出BC的长度，再利用线段中点的性质求出AM、BM的长度，接着结合MN的长度，通过线段的和差关系逐步求出未知线段的长度，最终计算得到AD的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在AB的延长线上（对应图①）时：
已知AB=12，AC=8，因此$BC=AB-AC=12-8=4$。
因为M是AB的中点，所以$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，则$MC=AC-AM=8-6=2$。
已知MN=10，结合线段和差可得$MN=MC+BC+BN$，代入数值：$2+4+BN=10$，解得$BN=4$。
因为N是CD的中点，所以$DN=CN=BC+BN=4+4=8$，因此$AD=AC+CN+DN=8+8+8=24$。
2. 当点D在线段BA的延长线上（对应图②）时：
同理先算得$BC=AB-AC=4$，M是AB中点，故$AM=BM=\frac{1}{2}AB=6$。
已知MN=10，结合线段和差可得$MN=AN+AM$，代入数值：$AN+6=10$，解得$AN=4$。
因为N是CD的中点，所以$DN=CN=AN+AC=4+8=12$，因此$AD=DN+AN=12+4=16$。
综上，线段AD的长为24或16。
【答案】
24或16
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是注意“直线AB上一点”包含两种位置情况，避免漏解，解题过程中结合中点性质和线段的和差关系逐步推导即可求解，是线段计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题中D是直线AB上的点，因此首先要分两种情况讨论点D的位置：①点D在AB的延长线上；②点D在BA的延长线上。解题时先根据已知的AB、AC长度算出BC的长度，再利用线段中点的性质求出AM、BM的长度，接着结合MN的长度，通过线段的和差关系逐步求出未知线段的长度，最终计算得到AD的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在AB的延长线上（对应图①）时：
已知AB=12，AC=8，因此$BC=AB-AC=12-8=4$。
因为M是AB的中点，所以$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，则$MC=AC-AM=8-6=2$。
已知MN=10，结合线段和差可得$MN=MC+BC+BN$，代入数值：$2+4+BN=10$，解得$BN=4$。
因为N是CD的中点，所以$DN=CN=BC+BN=4+4=8$，因此$AD=AC+CN+DN=8+8+8=24$。
2. 当点D在线段BA的延长线上（对应图②）时：
同理先算得$BC=AB-AC=4$，M是AB中点，故$AM=BM=\frac{1}{2}AB=6$。
已知MN=10，结合线段和差可得$MN=AN+AM$，代入数值：$AN+6=10$，解得$AN=4$。
因为N是CD的中点，所以$DN=CN=AN+AC=4+8=12$，因此$AD=DN+AN=12+4=16$。
综上，线段AD的长为24或16。
【答案】
24或16
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是注意“直线AB上一点”包含两种位置情况，避免漏解，解题过程中结合中点性质和线段的和差关系逐步推导即可求解，是线段计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
二、解答题
5. 如图，$∠ AOC$与$∠ BOC$互为补角，$OA$与$OB$位于$OC$异侧，$∠ AOC$与$∠ AOD$互为余角，$OC$与$OD$位于$OA$异侧，且$∠ BOC=9∠ AOC$.
（1）求$∠ AOC$的度数；
（2）若$OE$平分$∠ AOD$，求$∠ COE$的度数.
5. 如图，$∠ AOC$与$∠ BOC$互为补角，$OA$与$OB$位于$OC$异侧，$∠ AOC$与$∠ AOD$互为余角，$OC$与$OD$位于$OA$异侧，且$∠ BOC=9∠ AOC$.
（1）求$∠ AOC$的度数；
（2）若$OE$平分$∠ AOD$，求$∠ COE$的度数.
答案
5. （1）因为$∠ BOC = 9∠AOC$, $∠AOC$与$∠BOC$互为补角, 所以$∠BOC + ∠AOC = 10∠AOC=180°$. 所以$∠AOC=18°$
（2）因为$∠AOC$与$∠AOD$互为余角, 所以$∠AOD=90°-18°=72°$. 因为OE平分$∠AOD$, 所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=36°$. 所以$∠COE=∠AOC+∠AOE=18°+36°=54°$
（2）因为$∠AOC$与$∠AOD$互为余角, 所以$∠AOD=90°-18°=72°$. 因为OE平分$∠AOD$, 所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=36°$. 所以$∠COE=∠AOC+∠AOE=18°+36°=54°$
解析
【分析】
（1）解决第一问首先回忆补角的性质：互为补角的两个角和为180°，题目已知∠BOC=9∠AOC，且两个角互补，将两个角的和用∠AOC表示，即可列等式求解∠AOC的度数。
（2）解决第二问先回忆余角的性质：互为余角的两个角和为90°，结合第一问求出的∠AOC的度数可算出∠AOD的度数；再根据角平分线的定义，可得∠AOE是∠AOD的一半，最后结合图形中角的和差关系，∠COE=∠AOC+∠AOE，代入数值计算即可。
【解析】
（1）
∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°，
又
∵∠BOC = 9∠AOC，
∴∠AOC + 9∠AOC = 10∠AOC = 180°，
解得∠AOC = 18°。
（2）
∵∠AOC与∠AOD互为余角，
∴∠AOC + ∠AOD = 90°，
把∠AOC=18°代入得：∠AOD = 90° - 18° = 72°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×72° = 36°，
由图可知∠COE = ∠AOC + ∠AOE，
代入数值得∠COE = 18° + 36° = 54°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{18°}$；（2）$\boldsymbol{54°}$
【知识点】
补角的定义、余角的定义、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的核心是准确理解补角、余角、角平分线的概念，结合图形理清各角之间的和差关系，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先回忆补角的性质：互为补角的两个角和为180°，题目已知∠BOC=9∠AOC，且两个角互补，将两个角的和用∠AOC表示，即可列等式求解∠AOC的度数。
（2）解决第二问先回忆余角的性质：互为余角的两个角和为90°，结合第一问求出的∠AOC的度数可算出∠AOD的度数；再根据角平分线的定义，可得∠AOE是∠AOD的一半，最后结合图形中角的和差关系，∠COE=∠AOC+∠AOE，代入数值计算即可。
【解析】
（1）
∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°，
又
∵∠BOC = 9∠AOC，
∴∠AOC + 9∠AOC = 10∠AOC = 180°，
解得∠AOC = 18°。
（2）
∵∠AOC与∠AOD互为余角，
∴∠AOC + ∠AOD = 90°，
把∠AOC=18°代入得：∠AOD = 90° - 18° = 72°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×72° = 36°，
由图可知∠COE = ∠AOC + ∠AOE，
代入数值得∠COE = 18° + 36° = 54°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{18°}$；（2）$\boldsymbol{54°}$
【知识点】
补角的定义、余角的定义、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的核心是准确理解补角、余角、角平分线的概念，结合图形理清各角之间的和差关系，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
6. 如图,C为线段AB的延长线上一点,D为线段BC上一点,DC=4BD.
(1)若AB=12,BC=15,求AD的长;
(2)若AB=2BD,AB+DC=36,E是AC的中点,求BE的长.
(1)若AB=12,BC=15,求AD的长;
(2)若AB=2BD,AB+DC=36,E是AC的中点,求BE的长.
答案
6. （1）因为DC=4BD,所以BC=5BD. 因为BC=15,所以BD=3. 因为AB=12,所以AD=AB+BD=15
（2）因为AB=2BD,DC=4BD,所以DC=2AB. 因为AB+DC=36,所以AB=12,DC=24. 所以$BD=\frac{1}{2}AB=6$. 所以AC=AB+BD+DC=42. 因为E是AC的中点,所以$AE=\frac{1}{2}AC=21$. 所以BE=AE-AB=9
（2）因为AB=2BD,DC=4BD,所以DC=2AB. 因为AB+DC=36,所以AB=12,DC=24. 所以$BD=\frac{1}{2}AB=6$. 所以AC=AB+BD+DC=42. 因为E是AC的中点,所以$AE=\frac{1}{2}AC=21$. 所以BE=AE-AB=9
解析
【分析】
（1）求解AD的长度，首先需要根据已知的DC和BD的倍数关系算出BD的长度：由DC=4BD可得BC=BD+DC=5BD，结合BC的长度即可求出BD，再根据AD=AB+BD，代入AB和BD的数值就能得到AD的长度。
（2）求解BE的长度，首先利用线段的倍分关系转化已知条件：已知AB=2BD、DC=4BD，可推出DC=2AB，结合AB+DC=36先算出AB、DC的长度，再求出BD的长度，进而得到AC的总长度；再根据E是AC中点算出AE的长度，最后利用BE=AE-AB即可求出BE的长。
【解析】
（1）因为DC=4BD，所以BC=BD+DC=5BD。
已知BC=15，所以BD=15÷5=3。
又因为AB=12，所以AD=AB+BD=12+3=15。
（2）因为AB=2BD，DC=4BD，所以DC=2AB。
已知AB+DC=36，将DC=2AB代入得AB+2AB=36，解得AB=12，因此DC=2×12=24。
由此可得BD=$\frac{1}{2}$AB=6，所以AC=AB+BD+DC=12+6+24=42。
因为E是AC的中点，所以AE=$\frac{1}{2}$AC=21。
所以BE=AE-AB=21-12=9。
【答案】
（1）AD的长为15；（2）BE的长为9
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，线段倍分计算
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心是梳理清楚各线段之间的和差、倍分关系，结合中点的性质逐步推导即可求解，熟练掌握线段的基本运算关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
（1）求解AD的长度，首先需要根据已知的DC和BD的倍数关系算出BD的长度：由DC=4BD可得BC=BD+DC=5BD，结合BC的长度即可求出BD，再根据AD=AB+BD，代入AB和BD的数值就能得到AD的长度。
（2）求解BE的长度，首先利用线段的倍分关系转化已知条件：已知AB=2BD、DC=4BD，可推出DC=2AB，结合AB+DC=36先算出AB、DC的长度，再求出BD的长度，进而得到AC的总长度；再根据E是AC中点算出AE的长度，最后利用BE=AE-AB即可求出BE的长。
【解析】
（1）因为DC=4BD，所以BC=BD+DC=5BD。
已知BC=15，所以BD=15÷5=3。
又因为AB=12，所以AD=AB+BD=12+3=15。
（2）因为AB=2BD，DC=4BD，所以DC=2AB。
已知AB+DC=36，将DC=2AB代入得AB+2AB=36，解得AB=12，因此DC=2×12=24。
由此可得BD=$\frac{1}{2}$AB=6，所以AC=AB+BD+DC=12+6+24=42。
因为E是AC的中点，所以AE=$\frac{1}{2}$AC=21。
所以BE=AE-AB=21-12=9。
【答案】
（1）AD的长为15；（2）BE的长为9
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，线段倍分计算
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心是梳理清楚各线段之间的和差、倍分关系，结合中点的性质逐步推导即可求解，熟练掌握线段的基本运算关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
