[2026广东深圳期末,中]【综合与实践——制作收纳盒】
小亮和小丽尝试用家里的闲置纸板制作正方体和长方体形状的收纳盒(纸板厚度及接缝处忽略不计).
【初步尝试】制作有盖正方体形状的收纳盒
(1)如图(1),将长方形纸板(长为80厘米,宽为60厘米)分割成12个完全一样的小正方形,剪去多余的小正方形,剩下的6个小正方形刚好可以折叠成一个有盖的正方体形状收纳盒. 请你在图中画出三种不同的设计方案,剪去的小正方形用阴影表示.

小亮和小丽在操作中发现,制作无盖的长方体形状收纳盒可以得到更大的容积,为此,他们开展了进一步的探究.
【实践探究】制作无盖长方体形状的收纳盒
(2)如图(2),小丽和小亮在长方形纸板(长为80厘米,宽为60厘米)的四个角各剪去一个边长为$a$厘米的小正方形(图中阴影部分),再把剩余部分沿图中虚线折叠,刚好折成一个无盖的长方体形状收纳盒,这个盒子的容积为$\mathrm{cm}^3$.(用含$a$的代数式表示,无需化简)

(3)在操作中,小亮和小丽发现收纳盒的容积随着$a$的变化而变化. 为了探究容积的最大值,小亮和小丽对盒子的高度$a$按整数值从小到大取值,依次计算长方体形状收纳盒的容积,得到的数据如下表所示,则$m$和$n$的值分别是,.

| $a/\mathrm{cm}$ | … | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容积/$\mathrm{cm}^3$ | … | 22528 | 23436 | $m$ | $n$ | 24192 | 23868 | … |
【归纳猜想】长方体形收纳盒容积变化规律
(4)观察表中数据,随着高度$a$的增大,容积有怎样的变化规律? 当$a$取什么整数值时,容积最大.

(1)设计方案如图(答案不唯一)：
(2)由题意得,无盖的长方体形状的收纳盒长为(80-2a)cm,宽为(60-2a)cm,高为a cm,
所以无盖的长方体形状的收纳盒的容积为$a(80-2a)(60-2a)\ \mathrm{cm}^3$.
(3)当$a=10$时,$m=a(80-2a)(60-2a)=10×(80-2×10)(60-2×10)=24\ 000$,
当$a=11$时,$n=a(80-2a)(60-2a)=11×(80-2×11)(60-2×11)=24\ 244$.
(4)通过表中容积的变化,可知容积先变大,后变小.当$a$取整数值11时,容积最大.