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初中数学
七年级
上册
沪科版
6.「2025山东威海中考」2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.
二进制数的组成数字为0,1.十进制数22化为二进制数：$22 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×1 = 10110_2$.
传统三进制数的组成数字为0,1,2.十进制数22化为三进制数：$22 = 2×3^2 + 1×3^1 + 1×1 = 211_3$.
将二进制数$1011_2$化为三进制数为 （
A.$102_3$
B.$101_3$
C.$110_3$
D.$12_3$
七年级
上册
沪科版
6.「2025山东威海中考」2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.
二进制数的组成数字为0,1.十进制数22化为二进制数：$22 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×1 = 10110_2$.
传统三进制数的组成数字为0,1,2.十进制数22化为三进制数：$22 = 2×3^2 + 1×3^1 + 1×1 = 211_3$.
将二进制数$1011_2$化为三进制数为 （
A
）A.$102_3$
B.$101_3$
C.$110_3$
D.$12_3$
答案
将二进制数$1011_2$化为十进制数为$1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×1=11$,因为$11=1×3^2+0×3^1+2×1$,所以将二进制数$1011_2$化为三进制数为$102_3$.故选 A.
解析
【分析】
要解决不同进制之间的转换问题，通常先将已知进制的数转换为我们熟悉的十进制数，再将十进制数转换为目标进制的数。第一步先根据题目给出的二进制转十进制的规则，把二进制数$1011_2$转换成十进制数；第二步再根据三进制的构成规则，把得到的十进制数转换成三进制数，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：将二进制数$1011_2$转换为十进制数：
根据进制转换规则，各位上的数字乘对应数位的权重（2的幂次，从右往左幂次从0开始递增），可得：
$1011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$
第二步：将十进制数11转换为三进制数：
先找到不超过11的最大的3的幂次：$3^2=9$，$3^3=27＞11$，所以最高位是$3^2$位。
计算各数位的系数：
$11 ÷ 9 = 1$，余$11 - 1×9 = 2$；
剩余的2小于$3^1=3$，所以$3^1$位的系数为0；
剩余的2就是$3^0$位的系数2。
因此$11 = 1×3^2 + 0×3^1 + 2×3^0 = 102_3$。
综上，二进制数$1011_2$化为三进制数为$102_3$。
【答案】A
【知识点】进制转换；有理数乘方运算
【点评】本题结合科技热点创设情境，属于新定义应用类题型，解题的关键是读懂题目给出的进制转换规则，按步骤完成两次进制转换即可得到答案，侧重考查对新规则的理解应用能力和基础运算能力。
【难度系数】0.7
要解决不同进制之间的转换问题，通常先将已知进制的数转换为我们熟悉的十进制数，再将十进制数转换为目标进制的数。第一步先根据题目给出的二进制转十进制的规则，把二进制数$1011_2$转换成十进制数；第二步再根据三进制的构成规则，把得到的十进制数转换成三进制数，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：将二进制数$1011_2$转换为十进制数：
根据进制转换规则，各位上的数字乘对应数位的权重（2的幂次，从右往左幂次从0开始递增），可得：
$1011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$
第二步：将十进制数11转换为三进制数：
先找到不超过11的最大的3的幂次：$3^2=9$，$3^3=27＞11$，所以最高位是$3^2$位。
计算各数位的系数：
$11 ÷ 9 = 1$，余$11 - 1×9 = 2$；
剩余的2小于$3^1=3$，所以$3^1$位的系数为0；
剩余的2就是$3^0$位的系数2。
因此$11 = 1×3^2 + 0×3^1 + 2×3^0 = 102_3$。
综上，二进制数$1011_2$化为三进制数为$102_3$。
【答案】A
【知识点】进制转换；有理数乘方运算
【点评】本题结合科技热点创设情境，属于新定义应用类题型，解题的关键是读懂题目给出的进制转换规则，按步骤完成两次进制转换即可得到答案，侧重考查对新规则的理解应用能力和基础运算能力。
【难度系数】0.7
7.「2025安徽中考」对于正整数n,根据n除以3的余数,分以下三种情况得到另一个正整数m:
若余数为0,则$m=\frac{n}{3}$;
若余数为1,则$m=2n$;
若余数为2,则$m=n+1$.
这种得到m的过程称为对n进行一次变换.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换,依此类推.
例如,正整数$n=4$,根据4除以3的余数为1,由$4×2=8$知,对4进行一次变换得到的数为8,根据8除以3的余数为2,由$8+1=9$知,对4进行二次变换得到的数为9,根据9除以3的余数为0,由$9÷3=3$知,对4进行三次变换得到的数为3.
(1)对正整数15进行三次变换,得到的数为
(2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1,则所有满足条件的n的值之和为
若余数为0,则$m=\frac{n}{3}$;
若余数为1,则$m=2n$;
若余数为2,则$m=n+1$.
这种得到m的过程称为对n进行一次变换.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换,依此类推.
例如,正整数$n=4$,根据4除以3的余数为1,由$4×2=8$知,对4进行一次变换得到的数为8,根据8除以3的余数为2,由$8+1=9$知,对4进行二次变换得到的数为9,根据9除以3的余数为0,由$9÷3=3$知,对4进行三次变换得到的数为3.
(1)对正整数15进行三次变换,得到的数为
2
.(2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1,则所有满足条件的n的值之和为
11
.答案
(1)2 (2)11
解析 (1)因为15÷3=5……0,
所以对15进行一次变换后得到的数为$\dfrac{15}{3}=5$;
因为5÷3=1……2,
所以对15进行二次变换后得到的数为5+1=6;
因为6÷3=2……0,
所以对15进行三次变换后得到的数为$\dfrac{6}{3}=2$.
(2)若对正整数n进行一次变换后得到的数为a,对n进行二次变换后得到的数为m,则m=1.
若a除以3的余数为0,则$m=\dfrac{a}{3}$,所以a=1×3=3,3除以3的余数为0,符合题意;若a除以3的余数为1,则m=2a,所以$a=1÷2=\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{1}{2}$不是整数,不符合题意,舍去;若a除以3的余数为2,则m=a+1,所以a=1-1=0,0除以3的余数不为2,不符合题意,舍去,综上,a=3.
若n除以3的余数为0,则$a=\dfrac{n}{3}$,所以n=3×3=9,符合题意;若n除以3的余数为1,则a=2n,所以$n=\dfrac{3}{2}$,$\dfrac{3}{2}$不是整数,舍去;若n除以3的余数为2,则a=n+1,所以n=3-1=2,符合题意,所以n的值是9或2,所以所有满足条件的n的值之和为2+9=11.
解析 (1)因为15÷3=5……0,
所以对15进行一次变换后得到的数为$\dfrac{15}{3}=5$;
因为5÷3=1……2,
所以对15进行二次变换后得到的数为5+1=6;
因为6÷3=2……0,
所以对15进行三次变换后得到的数为$\dfrac{6}{3}=2$.
(2)若对正整数n进行一次变换后得到的数为a,对n进行二次变换后得到的数为m,则m=1.
若a除以3的余数为0,则$m=\dfrac{a}{3}$,所以a=1×3=3,3除以3的余数为0,符合题意;若a除以3的余数为1,则m=2a,所以$a=1÷2=\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{1}{2}$不是整数,不符合题意,舍去;若a除以3的余数为2,则m=a+1,所以a=1-1=0,0除以3的余数不为2,不符合题意,舍去,综上,a=3.
若n除以3的余数为0,则$a=\dfrac{n}{3}$,所以n=3×3=9,符合题意;若n除以3的余数为1,则a=2n,所以$n=\dfrac{3}{2}$,$\dfrac{3}{2}$不是整数,舍去;若n除以3的余数为2,则a=n+1,所以n=3-1=2,符合题意,所以n的值是9或2,所以所有满足条件的n的值之和为2+9=11.
解析
【分析】
(1) 第一小问按照题目给出的变换规则正向计算即可：每一步先求当前数除以3的余数，再根据余数对应的规则算出变换后的结果，逐次计算三次就能得到最终值。
(2) 第二小问已知二次变换的结果为1，采用倒推法求解：先根据二次变换的结果1，倒推出第一次变换后得到的数的所有可能值，排除不符合正整数、余数要求的情况，再用符合要求的第一次变换结果倒推原数n的取值，最后将符合条件的n相加即可。
【解析】
(1) 第一次变换：15除以3余数为0，根据规则得变换后数为$\dfrac{15}{3}=5$；
第二次变换：5除以3余数为2，根据规则得变换后数为$5+1=6$；
第三次变换：6除以3余数为0，根据规则得变换后数为$\dfrac{6}{3}=2$。
(2) 设一次变换后得到的数为$a$，对$a$变换后得到1，先倒推$a$的取值：
① 若$a$除以3余数为0，则$\dfrac{a}{3}=1$，解得$a=3$，符合正整数和余数要求；
② 若$a$除以3余数为1，则$2a=1$，解得$a=\dfrac{1}{2}$，不是正整数，舍去；
③ 若$a$除以3余数为2，则$a+1=1$，解得$a=0$，不是正整数，舍去；
因此一次变换的结果只能是$a=3$，再倒推原数$n$：
① 若$n$除以3余数为0，则$\dfrac{n}{3}=3$，解得$n=9$，符合要求；
② 若$n$除以3余数为1，则$2n=3$，解得$n=\dfrac{3}{2}$，不是正整数，舍去；
③ 若$n$除以3余数为2，则$n+1=3$，解得$n=2$，符合要求；
符合条件的$n$为2和9，和为$2+9=11$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{11}$
【知识点】
新定义运算，有理数运算，分类讨论
【点评】
本题结合自定义变换规则，既考察了基础运算能力，又通过逆向推导问题考察逻辑推理能力，解题时分类讨论后要注意验证结果是否符合正整数、余数的要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问按照题目给出的变换规则正向计算即可：每一步先求当前数除以3的余数，再根据余数对应的规则算出变换后的结果，逐次计算三次就能得到最终值。
(2) 第二小问已知二次变换的结果为1，采用倒推法求解：先根据二次变换的结果1，倒推出第一次变换后得到的数的所有可能值，排除不符合正整数、余数要求的情况，再用符合要求的第一次变换结果倒推原数n的取值，最后将符合条件的n相加即可。
【解析】
(1) 第一次变换：15除以3余数为0，根据规则得变换后数为$\dfrac{15}{3}=5$；
第二次变换：5除以3余数为2，根据规则得变换后数为$5+1=6$；
第三次变换：6除以3余数为0，根据规则得变换后数为$\dfrac{6}{3}=2$。
(2) 设一次变换后得到的数为$a$，对$a$变换后得到1，先倒推$a$的取值：
① 若$a$除以3余数为0，则$\dfrac{a}{3}=1$，解得$a=3$，符合正整数和余数要求；
② 若$a$除以3余数为1，则$2a=1$，解得$a=\dfrac{1}{2}$，不是正整数，舍去；
③ 若$a$除以3余数为2，则$a+1=1$，解得$a=0$，不是正整数，舍去；
因此一次变换的结果只能是$a=3$，再倒推原数$n$：
① 若$n$除以3余数为0，则$\dfrac{n}{3}=3$，解得$n=9$，符合要求；
② 若$n$除以3余数为1，则$2n=3$，解得$n=\dfrac{3}{2}$，不是正整数，舍去；
③ 若$n$除以3余数为2，则$n+1=3$，解得$n=2$，符合要求；
符合条件的$n$为2和9，和为$2+9=11$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{11}$
【知识点】
新定义运算，有理数运算，分类讨论
【点评】
本题结合自定义变换规则，既考察了基础运算能力，又通过逆向推导问题考察逻辑推理能力，解题时分类讨论后要注意验证结果是否符合正整数、余数的要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
8.「2025湖北中考」
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一
图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数
(1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a=
(2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c=
活动二
移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.
(3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e=
(4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g=
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一
图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数
(1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a=
5
，b=11
.(2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c=
n+1
，d=n+7
（用含n的代数式表示c和d） 活动二
移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.
(3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e=
11
，f=3
.(4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g=
n+8
（用含n的代数式表示g）答案
(1)5;11.
(2)n+1;n+7.
(3)11;3.
(4)g=n+8.
解析 (1)根据题意,得a=4+1=5,b=4+7=11.故答案为5;11.
(2)根据题意,得c=n+1,d=n+7.故答案为n+1;n+7.
(3)根据题意,得17+2+e=2+10+18,17+10+f=2+10+18,解得e=11,f=3.故答案为11;3.
(4)因为方框选取的数中最小的数是n,
所以方框内其余数依次为n+1,n+2,n+7,n+8,n+9,n+14,n+15,n+16,根据三阶幻方的分布规律,可得第二行3个数的和的3倍=方框内9个数的和,所以3(n+g+n+16)=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16,整理得3g=3n+24,所以g=n+8.
(2)n+1;n+7.
(3)11;3.
(4)g=n+8.
解析 (1)根据题意,得a=4+1=5,b=4+7=11.故答案为5;11.
(2)根据题意,得c=n+1,d=n+7.故答案为n+1;n+7.
(3)根据题意,得17+2+e=2+10+18,17+10+f=2+10+18,解得e=11,f=3.故答案为11;3.
(4)因为方框选取的数中最小的数是n,
所以方框内其余数依次为n+1,n+2,n+7,n+8,n+9,n+14,n+15,n+16,根据三阶幻方的分布规律,可得第二行3个数的和的3倍=方框内9个数的和,所以3(n+g+n+16)=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16,整理得3g=3n+24,所以g=n+8.
解析
【分析】
解决本题需先明确两个核心规律：①月历的数字排列规律：同一横行相邻两个数相差1，同一竖列相邻两个数相差7；②三阶幻方的性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，且9个数的总和等于3倍的幻和（每行三个数的和）。
(1)根据月历规律，a位于4的右侧，直接用4加1即可；b位于4的正下方，用4加7即可。
(2)c位于n的右侧，d位于n的正下方，直接套用月历相邻数的差的规律列代数式即可。
(3)先利用已知的一条对角线（2、10、18）算出幻和，再根据幻和相等的性质分别列等式求解e、f。
(4)先写出最小数为n时9个数的所有表达式，计算9个数的总和，再结合幻方的和的规律列方程求解g。
【解析】
(1) 根据月历数字规律，同一行右边的数比左边大1，同一列下方的数比上方大7，因此：
$a = 4 + 1 = 5$，$b = 4 + 7 = 11$。
(2) 同理，c在n的右侧，所以$c = n + 1$；d在n的正下方，所以$d = n + 7$。
(3) 首先计算三阶幻方的幻和：由对角线2、10、18可得，幻和$= 2 + 10 + 18 = 30$。
根据对角线17、2、e的和等于幻和，可得：$17 + 2 + e = 30$，解得$e = 11$；
根据第一列17、10、f的和等于幻和，可得：$17 + 10 + f = 30$，解得$f = 3$。
(4) 若方框中最小的数是n，则方框内的9个数分别为：$n，n+1，n+2，n+7，n+8，n+9，n+14，n+15，n+16$。
9个数的总和为：$n + (n+1) + (n+2) + (n+7) + (n+8) + (n+9) + (n+14) + (n+15) + (n+16) = 9n + 72$。
根据三阶幻方性质，9个数的总和$=3×$幻和，因此幻和$=(9n + 72)÷3 = 3n + 24$。
结合幻方的排列规律可得：$n + g + (n + 16) = 3n + 24$，
整理得：$2n + g + 16 = 3n + 24$，解得$g = n + 8$。
【答案】
(1) $5$；$11$
(2) $n+1$；$n+7$
(3) $11$；$3$
(4) $n+8$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，三阶幻方性质
【点评】
本题结合生活中的月历场景和经典的三阶幻方问题，兼顾趣味性和知识性，既考查了对数字规律的观察归纳能力，也考查了代数式运算、方程思想的灵活应用，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需先明确两个核心规律：①月历的数字排列规律：同一横行相邻两个数相差1，同一竖列相邻两个数相差7；②三阶幻方的性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，且9个数的总和等于3倍的幻和（每行三个数的和）。
(1)根据月历规律，a位于4的右侧，直接用4加1即可；b位于4的正下方，用4加7即可。
(2)c位于n的右侧，d位于n的正下方，直接套用月历相邻数的差的规律列代数式即可。
(3)先利用已知的一条对角线（2、10、18）算出幻和，再根据幻和相等的性质分别列等式求解e、f。
(4)先写出最小数为n时9个数的所有表达式，计算9个数的总和，再结合幻方的和的规律列方程求解g。
【解析】
(1) 根据月历数字规律，同一行右边的数比左边大1，同一列下方的数比上方大7，因此：
$a = 4 + 1 = 5$，$b = 4 + 7 = 11$。
(2) 同理，c在n的右侧，所以$c = n + 1$；d在n的正下方，所以$d = n + 7$。
(3) 首先计算三阶幻方的幻和：由对角线2、10、18可得，幻和$= 2 + 10 + 18 = 30$。
根据对角线17、2、e的和等于幻和，可得：$17 + 2 + e = 30$，解得$e = 11$；
根据第一列17、10、f的和等于幻和，可得：$17 + 10 + f = 30$，解得$f = 3$。
(4) 若方框中最小的数是n，则方框内的9个数分别为：$n，n+1，n+2，n+7，n+8，n+9，n+14，n+15，n+16$。
9个数的总和为：$n + (n+1) + (n+2) + (n+7) + (n+8) + (n+9) + (n+14) + (n+15) + (n+16) = 9n + 72$。
根据三阶幻方性质，9个数的总和$=3×$幻和，因此幻和$=(9n + 72)÷3 = 3n + 24$。
结合幻方的排列规律可得：$n + g + (n + 16) = 3n + 24$，
整理得：$2n + g + 16 = 3n + 24$，解得$g = n + 8$。
【答案】
(1) $5$；$11$
(2) $n+1$；$n+7$
(3) $11$；$3$
(4) $n+8$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，三阶幻方性质
【点评】
本题结合生活中的月历场景和经典的三阶幻方问题，兼顾趣味性和知识性，既考查了对数字规律的观察归纳能力，也考查了代数式运算、方程思想的灵活应用，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
