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5.阅读下面的材料,并完成任务.
任务:
(1)上述材料中,横线上的内容为
(2)用上述方法计算:
①$1 \frac{1}{3}+(-2 \frac{3}{4})+3 \frac{2}{3}-4 \frac{1}{4}=$
②$(-200 \frac{5}{6})+(-199 \frac{2}{3})-400 \frac{3}{4}+1 \frac{1}{2}$.
任务:
(1)上述材料中,横线上的内容为
$17+\frac{3}{4}$
.(2)用上述方法计算:
①$1 \frac{1}{3}+(-2 \frac{3}{4})+3 \frac{2}{3}-4 \frac{1}{4}=$
$-2$
.②$(-200 \frac{5}{6})+(-199 \frac{2}{3})-400 \frac{3}{4}+1 \frac{1}{2}$.
答案
(1)$17 \frac{3}{4} = 17+\frac{3}{4}$.
(2) ① 原式$=(1+\frac{1}{3})+[(-2)+(-\frac{3}{4})]+(3+\frac{2}{3})+[(-4)+(-\frac{1}{4})]$
$=(1-2+3-4)+(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4})$
$=(-2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})-(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})$
$=-2+1-1=-2+0=-2$.
② 原式$=[(-200)+(-\frac{5}{6})]+[(-199)+(-\frac{2}{3})]+[(-400)+(-\frac{3}{4})]+(1+\frac{1}{2})$
$=[(-200)+(-199)+(-400)+1]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}]$
$=-798+(-\frac{7}{4})=-799 \frac{3}{4}$.
(2) ① 原式$=(1+\frac{1}{3})+[(-2)+(-\frac{3}{4})]+(3+\frac{2}{3})+[(-4)+(-\frac{1}{4})]$
$=(1-2+3-4)+(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4})$
$=(-2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})-(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})$
$=-2+1-1=-2+0=-2$.
② 原式$=[(-200)+(-\frac{5}{6})]+[(-199)+(-\frac{2}{3})]+[(-400)+(-\frac{3}{4})]+(1+\frac{1}{2})$
$=[(-200)+(-199)+(-400)+1]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}]$
$=-798+(-\frac{7}{4})=-799 \frac{3}{4}$.
解析
【分析】
(1)观察材料中的拆项规律，所有带分数都拆为“整数部分+分数部分”的形式，因此横线上对应写出$17\frac{3}{4}$的拆分结果即可。
(2)两个计算题均使用拆项法求解：第一步把每个带分数拆成整数与分数的和，第二步利用加法交换律、结合律，将所有整数部分合并计算、所有分数部分合并计算，最后将两部分的结果相加得到最终答案，该方法能简化通分步骤，降低运算复杂度。
【解析】
(1)根据拆项法的规律，带分数拆为整数加对应分数，因此横线上填：$\boldsymbol{17\frac{3}{4}=17+\frac{3}{4}}$。
(2)① 计算$1 \frac{1}{3}+(-2 \frac{3}{4})+3 \frac{2}{3}-4 \frac{1}{4}$：
拆分每个带分数：
原式$=(1+\frac{1}{3})+[(-2)+(-\frac{3}{4})]+(3+\frac{2}{3})+[(-4)+(-\frac{1}{4})]$
利用加法运算律分组：
$=(1-2+3-4)+(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4})$
分别计算两组结果：
整数部分：$1-2+3-4=-2$
分数部分：$(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})-(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=1-1=0$
合并结果：$-2+0=-2$。
② 计算$(-200 \frac{5}{6})+(-199 \frac{2}{3})-400 \frac{3}{4}+1 \frac{1}{2}$：
拆分每个带分数：
原式$=[(-200)+(-\frac{5}{6})]+[(-199)+(-\frac{2}{3})]+[(-400)+(-\frac{3}{4})]+(1+\frac{1}{2})$
利用加法运算律分组：
$=[(-200)+(-199)+(-400)+1]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}]$
分别计算两组结果：
整数部分：$-200-199-400+1=-798$
分数部分：通分后计算得$-\frac{10}{12}-\frac{8}{12}-\frac{9}{12}+\frac{6}{12}=-\frac{21}{12}=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}$
合并结果：$-798+(-1\frac{3}{4})=-799\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$17\frac{3}{4}=17+\frac{3}{4}$
(2)①$\boldsymbol{-2}$；②$\boldsymbol{-799\frac{3}{4}}$
【知识点】
拆项法、加法运算律、有理数加减法
【点评】
本题重点考查有理数加减的简便运算技巧，拆项法通过拆分带分数、分组合并整数和分数部分，大幅降低了运算复杂度，是有理数混合运算中十分常用的简便方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1)观察材料中的拆项规律，所有带分数都拆为“整数部分+分数部分”的形式，因此横线上对应写出$17\frac{3}{4}$的拆分结果即可。
(2)两个计算题均使用拆项法求解：第一步把每个带分数拆成整数与分数的和，第二步利用加法交换律、结合律，将所有整数部分合并计算、所有分数部分合并计算，最后将两部分的结果相加得到最终答案，该方法能简化通分步骤，降低运算复杂度。
【解析】
(1)根据拆项法的规律，带分数拆为整数加对应分数，因此横线上填：$\boldsymbol{17\frac{3}{4}=17+\frac{3}{4}}$。
(2)① 计算$1 \frac{1}{3}+(-2 \frac{3}{4})+3 \frac{2}{3}-4 \frac{1}{4}$：
拆分每个带分数：
原式$=(1+\frac{1}{3})+[(-2)+(-\frac{3}{4})]+(3+\frac{2}{3})+[(-4)+(-\frac{1}{4})]$
利用加法运算律分组：
$=(1-2+3-4)+(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4})$
分别计算两组结果：
整数部分：$1-2+3-4=-2$
分数部分：$(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})-(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})=1-1=0$
合并结果：$-2+0=-2$。
② 计算$(-200 \frac{5}{6})+(-199 \frac{2}{3})-400 \frac{3}{4}+1 \frac{1}{2}$：
拆分每个带分数：
原式$=[(-200)+(-\frac{5}{6})]+[(-199)+(-\frac{2}{3})]+[(-400)+(-\frac{3}{4})]+(1+\frac{1}{2})$
利用加法运算律分组：
$=[(-200)+(-199)+(-400)+1]+[(-\frac{5}{6})+(-\frac{2}{3})+(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}]$
分别计算两组结果：
整数部分：$-200-199-400+1=-798$
分数部分：通分后计算得$-\frac{10}{12}-\frac{8}{12}-\frac{9}{12}+\frac{6}{12}=-\frac{21}{12}=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}$
合并结果：$-798+(-1\frac{3}{4})=-799\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$17\frac{3}{4}=17+\frac{3}{4}$
(2)①$\boldsymbol{-2}$；②$\boldsymbol{-799\frac{3}{4}}$
【知识点】
拆项法、加法运算律、有理数加减法
【点评】
本题重点考查有理数加减的简便运算技巧，拆项法通过拆分带分数、分组合并整数和分数部分，大幅降低了运算复杂度，是有理数混合运算中十分常用的简便方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
6.「2026安徽池州期中」已知$\left| \frac{1}{2} -1 \right| =1 - \frac{1}{2}$，$\left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$，$\left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$，……，按照此规律试求：
(1) $\left| \frac{1}{19} - \frac{1}{18} \right| =$
(2) 计算：$\left| \frac{1}{5} - \frac{1}{4} \right| + \left| \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right| + \left| \frac{1}{7} - \frac{1}{6} \right| + \left| \frac{1}{8} - \frac{1}{7} \right|$.
(3) 计算：$\left| \frac{1}{2} -1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2025} - \frac{1}{2024} \right|$.
(1) $\left| \frac{1}{19} - \frac{1}{18} \right| =$
$\frac{1}{18}-\frac{1}{19}$
.(2) 计算：$\left| \frac{1}{5} - \frac{1}{4} \right| + \left| \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right| + \left| \frac{1}{7} - \frac{1}{6} \right| + \left| \frac{1}{8} - \frac{1}{7} \right|$.
(3) 计算：$\left| \frac{1}{2} -1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2025} - \frac{1}{2024} \right|$.
答案
(1)$\frac{1}{18}-\frac{1}{19}$.
(2) 原式$=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$.
(3) 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
$=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$.
(2) 原式$=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$.
(3) 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
$=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$.
解析
【分析】
首先根据给出的示例总结规律：绝对值内为两个分子为1、分母为相邻正整数的分数相减，且分母大的分数减去分母小的分数（差为负数），根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此化简后为分母小的分数减去分母大的分数。对于（2）（3）问，先按规律去掉所有绝对值，再观察式子可发现中间的分数会两两抵消，仅剩余首尾两项，计算首尾两项的差即可得到结果。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质，$\frac{1}{19}＜\frac{1}{18}$，因此$\left| \frac{1}{19} - \frac{1}{18} \right| = \frac{1}{18}-\frac{1}{19}$。
(2) 先对每个绝对值化简：
原式$=(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})$
去掉括号后中间项相互抵消：
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{8}$
(3) 同理对每个绝对值化简：
原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})$
去掉括号后中间项全部抵消：
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
$=1-\frac{1}{2025}$
$=\frac{2024}{2025}$
【答案】
(1)$\frac{1}{18}-\frac{1}{19}$；(2)$\frac{1}{8}$；(3)$\frac{2024}{2025}$
【知识点】
绝对值的化简，有理数加减运算，裂项相消
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和有理数简便运算能力，解题的核心是准确掌握绝对值的化简规则，观察出式子中相邻项抵消的特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先根据给出的示例总结规律：绝对值内为两个分子为1、分母为相邻正整数的分数相减，且分母大的分数减去分母小的分数（差为负数），根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此化简后为分母小的分数减去分母大的分数。对于（2）（3）问，先按规律去掉所有绝对值，再观察式子可发现中间的分数会两两抵消，仅剩余首尾两项，计算首尾两项的差即可得到结果。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质，$\frac{1}{19}＜\frac{1}{18}$，因此$\left| \frac{1}{19} - \frac{1}{18} \right| = \frac{1}{18}-\frac{1}{19}$。
(2) 先对每个绝对值化简：
原式$=(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})$
去掉括号后中间项相互抵消：
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{8}$
(3) 同理对每个绝对值化简：
原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})$
去掉括号后中间项全部抵消：
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
$=1-\frac{1}{2025}$
$=\frac{2024}{2025}$
【答案】
(1)$\frac{1}{18}-\frac{1}{19}$；(2)$\frac{1}{8}$；(3)$\frac{2024}{2025}$
【知识点】
绝对值的化简，有理数加减运算，裂项相消
【点评】
本题侧重考查规律归纳能力和有理数简便运算能力，解题的核心是准确掌握绝对值的化简规则，观察出式子中相邻项抵消的特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.「2026上海杨浦期中」计算：$\frac{1}{6}+\frac{7}{12}-\frac{9}{20}+\frac{11}{30}-\frac{13}{42}+\frac{15}{56}-\frac{17}{72}+\frac{19}{90}-\frac{21}{110}$
答案
原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{11}=\frac{9}{22}$.
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{11}=\frac{9}{22}$.
解析
【分析】
观察算式中每个分数的特征，可发现分母均为两个相邻正整数的乘积，分子恰好是对应相邻两个数的和或差，因此可以采用裂项相消的方法，将每个分数拆分为两个分数的和或差，拆分后中间会出现大量互为相反数的项，相互抵消后仅剩首尾两项，无需逐项通分就能快速算出结果。
【解析】
解：先对每个分数进行裂项拆分：
$\frac{1}{6}=\frac{3-2}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{7}{12}=\frac{4+3}{3×4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
$\frac{9}{20}=\frac{5+4}{4×5}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$
$\frac{11}{30}=\frac{6+5}{5×6}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$
$\frac{13}{42}=\frac{7+6}{6×7}=\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$
$\frac{15}{56}=\frac{8+7}{7×8}=\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$
$\frac{17}{72}=\frac{9+8}{8×9}=\frac{1}{8}+\frac{1}{9}$
$\frac{19}{90}=\frac{10+9}{9×10}=\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$
$\frac{21}{110}=\frac{11+10}{10×11}=\frac{1}{10}+\frac{1}{11}$
将拆分结果代入原式：
原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$
中间互为相反数的项全部抵消后可得：
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{11}$
$=\frac{11}{22}-\frac{2}{22}$
$=\frac{9}{22}$
【答案】
$\frac{9}{22}$
【知识点】
1. 裂项相消法
2. 有理数加减运算
3. 分数拆分
【点评】
本题属于有理数加减的技巧类题型，解题核心是观察分数的分子、分母特征，灵活运用裂项相消法简化运算，避免直接通分带来的繁琐计算，解题时要注意拆分后符号的准确性，防止因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
观察算式中每个分数的特征，可发现分母均为两个相邻正整数的乘积，分子恰好是对应相邻两个数的和或差，因此可以采用裂项相消的方法，将每个分数拆分为两个分数的和或差，拆分后中间会出现大量互为相反数的项，相互抵消后仅剩首尾两项，无需逐项通分就能快速算出结果。
【解析】
解：先对每个分数进行裂项拆分：
$\frac{1}{6}=\frac{3-2}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{7}{12}=\frac{4+3}{3×4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
$\frac{9}{20}=\frac{5+4}{4×5}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$
$\frac{11}{30}=\frac{6+5}{5×6}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$
$\frac{13}{42}=\frac{7+6}{6×7}=\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$
$\frac{15}{56}=\frac{8+7}{7×8}=\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$
$\frac{17}{72}=\frac{9+8}{8×9}=\frac{1}{8}+\frac{1}{9}$
$\frac{19}{90}=\frac{10+9}{9×10}=\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$
$\frac{21}{110}=\frac{11+10}{10×11}=\frac{1}{10}+\frac{1}{11}$
将拆分结果代入原式：
原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$
中间互为相反数的项全部抵消后可得：
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{11}$
$=\frac{11}{22}-\frac{2}{22}$
$=\frac{9}{22}$
【答案】
$\frac{9}{22}$
【知识点】
1. 裂项相消法
2. 有理数加减运算
3. 分数拆分
【点评】
本题属于有理数加减的技巧类题型，解题核心是观察分数的分子、分母特征，灵活运用裂项相消法简化运算，避免直接通分带来的繁琐计算，解题时要注意拆分后符号的准确性，防止因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
