9.如图,在△ABC中,∠B=∠C=∠1,CF=3,BE=CD=2,则BC的长是。

9.5

【分析】
解题时先结合已知的角相等、边相等条件，优先推导角的等量关系尝试证明三角形全等：1. 利用三角形外角的性质，推出两个三角形中一组相等的内角；2. 结合已知的角相等、边相等条件，用ASA判定两个三角形全等；3. 根据全等三角形对应边相等得到BD的长度，最后计算BC=BD+CD即可。
【解析】
解：
∵∠EDC是△BED的外角，
∴∠EDC=∠B+∠BED，
又
∵∠EDC=∠1+∠CDF，且∠B=∠1，
∴∠BED=∠CDF。
在△BED和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\BE=CD \\∠BED=∠CDF\end{array} $
∴△BED≌△CDF（ASA）
∴BD=CF，
已知CF=3，CD=2，
∴BD=3，
∴BC=BD+CD=3+2=5。
【答案】
5
【知识点】
三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是通过三角形外角性质找到相等的内角，结合已知条件证明三角形全等，再利用全等的性质转化边的关系求解。
【难度系数】
0.7

10.[2025·镇江中考]如图,已知$△ ABC≌△ DEF$,边BC与EF,DF分别交于点O,M,AC与EF交于点N,$OB=OE$.求证:$△ MOF≌△ NOC$.

10.证明:$\because △ ABC ≌ △ DEF$,
$\therefore BC=EF,∠C=∠F$,
$\because OB=OE$,
$\therefore BC-OB=EF-OE$,即$OC=OF$.
在$△ MOF$ 和$△ NOC$ 中,$\because \begin{cases} ∠MOF=∠NOC, \\ OF=OC, \\ ∠F=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ MOF ≌ △ NOC.(ASA)$

【分析】
要证明△MOF≌△NOC，首先从已知条件△ABC≌△DEF出发，利用全等三角形的性质可得到对应边BC=EF、对应角∠C=∠F；再结合已知OB=OE，通过等式的性质就能推出OC=OF；最后观察待证的两个三角形，可发现一组对顶角∠MOF=∠NOC，此时两个三角形满足两角及其夹边对应相等，符合ASA的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明:$\because △ ABC ≌ △ DEF$,
$\therefore BC=EF,∠C=∠F$,
$\because OB=OE$,
$\therefore BC-OB=EF-OE$,即$OC=OF$.
在$△ MOF$ 和$△ NOC$ 中,$\because \begin{cases} ∠MOF=∠NOC, \\ OF=OC, \\ ∠F=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ MOF ≌ △ NOC.(ASA)$
【答案】
证明:$\because △ ABC ≌ △ DEF$,
$\therefore BC=EF,∠C=∠F$,
$\because OB=OE$,
$\therefore BC-OB=EF-OE$,即$OC=OF$.
在$△ MOF$ 和$△ NOC$ 中,$\because \begin{cases} ∠MOF=∠NOC, \\ OF=OC, \\ ∠F=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ MOF ≌ △ NOC.(ASA)$
【知识点】
全等三角形的性质，ASA判定全等，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础综合应用题，解题的关键是从已知的全等三角形中提取所需的边、角等量关系，结合已知条件推导待证三角形的全等要素，熟练掌握全等的相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

11.如图,点B在△ADE的外部,点C在DE边上,BC与AD交于点O,∠1=∠2=∠3,AB=AD.
求证:AE=AC.

11.证明:在$△ AOB$ 和$△ COD$ 中,
$\because ∠1=∠2,∠AOB=∠COD,\therefore ∠B=∠D$.
$\because ∠1=∠3$,
$\therefore ∠1+∠DAC=∠3+∠DAC$,即$∠BAC=∠DAE$.
在$△ ADE$ 和$△ ABC$ 中,$\because \begin{cases} ∠DAE=∠BAC, \\ AD=AB, \\ ∠D=∠B, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ABC.(ASA)$
$\therefore AE=AC$.

【分析】
要证明AE=AC，可通过证明两条线段所在的△ADE与△ABC全等来实现。首先利用已知的∠1=∠2，加上对顶角∠AOB=∠COD，根据三角形内角和可推出∠B=∠D；再结合∠1=∠3，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到全等所需的另一组对应角∠BAC=∠DAE，结合已知AB=AD，满足ASA全等判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边AE=AC。
【解析】
证明:在$△ AOB$ 和$△ COD$ 中,
$\because ∠1=∠2,∠AOB=∠COD,\therefore ∠B=∠D$.
$\because ∠1=∠3$,
$\therefore ∠1+∠DAC=∠3+∠DAC$,即$∠BAC=∠DAE$.
在$△ ADE$ 和$△ ABC$ 中,$\because \begin{cases} ∠DAE=∠BAC, \\ AD=AB, \\ ∠D=∠B, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ABC\quad(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE=AC$.
【答案】
$AE=AC$
【知识点】
对顶角相等；ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形证明的常规题型，解题的核心是通过已知角的关系推导得到全等判定所需的对应角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

12. 新考向 阅读理解 在解决有关线段数量关系的问题中，如果条件中有角平分线，经常采用构造全等三角形的解题思路.如：在图①中，若C是$∠ MON$的平分线$OP$上一点，点$A$在$OM$上，此时，在$ON$上截取$OB=OA$，连接$BC$，根据三角形全等的判定方法“SAS”，容易构造出一对全等三角形：$△ OBC$和$△ OAC$.

参考上面的方法，解答问题：
如图②，在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$AD$，$CE$分别是$∠ BAC$，$∠ BCA$的平分线，且$AD$与$CE$相交于点$F$.求证：$AC=AE+CD$.

12.证明:如图②,在 AC 上截取 $AG=AE$,连接 FG.
$\because AD$ 是 $∠BAC$ 的平分线, CE 是 $∠BCA$ 的平分线,
$\therefore ∠1=∠2=\frac{1}{2}∠BAC,∠3=∠4=\frac{1}{2}∠BCA$.
在$△ AEF$ 和$△ AGF$ 中,$\because \begin{cases} AE=AG, \\ ∠1=∠2, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF.(SAS)$
$\therefore ∠AFE=∠AFG$.
$\because ∠B=60°,\therefore ∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°$.
$\therefore ∠2+∠3=\frac{1}{2}(∠BAC+∠BCA)=\frac{1}{2}×120°=60°$.
$\because ∠AFE=∠2+∠3=60°$,
$\therefore ∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°$.
$\therefore ∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°$.
$\therefore ∠CFD=∠CFG$.
在$△ CFG$ 和$△ CFD$ 中,$\because \begin{cases} ∠CFG=∠CFD, \\ CF=CF, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
$\therefore △ CFG ≌ △ CFD.(ASA)$
$\therefore CG=CD.\therefore AC=AG+CG=AE+CD$.

【分析】
要证明$AC=AE+CD$，属于线段和差类证明题，适合用截长补短法，结合题干给出的角平分线构造全等的思路推导：第一步，利用AD是$∠ BAC$的角平分线，在AC上截取$AG=AE$，构造$△ AEF$和$△ AGF$全等，可得对应角$∠ AFE=∠ AFG$；第二步，结合$∠ B=60°$，利用三角形内角和算出$∠ BAC+∠ BCA=120°$，再由角平分线定义推出$∠ 2+∠ 3=60°$，进而得到$∠ AFE=∠ CFD=60°$，即可推出$∠ CFG=∠ CFD$；第三步，利用CE是$∠ BCA$的角平分线，结合公共边CF，证明$△ CFG$和$△ CFD$全等，得到$CG=CD$，最后通过$AC=AG+CG$代换即可得到结论。
【解析】
证明:如图②,在 AC 上截取 $AG=AE$,连接 FG.
$\because AD$ 是 $∠BAC$ 的平分线, CE 是 $∠BCA$ 的平分线,
$\therefore ∠1=∠2=\frac{1}{2}∠BAC,∠3=∠4=\frac{1}{2}∠BCA$.
在$△ AEF$ 和$△ AGF$ 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠1=∠2, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF.(SAS)$
$\therefore ∠AFE=∠AFG$.
$\because ∠B=60°,\therefore ∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°$.
$\therefore ∠2+∠3=\frac{1}{2}(∠BAC+∠BCA)=\frac{1}{2}×120°=60°$.
$\because ∠AFE=∠2+∠3=60°$,
$\therefore ∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°$.
$\therefore ∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°$.
$\therefore ∠CFD=∠CFG$.
在$△ CFG$ 和$△ CFD$ 中,
$\begin{cases} ∠CFG=∠CFD, \\ CF=CF, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
$\therefore △ CFG ≌ △ CFD.(ASA)$
$\therefore CG=CD$.
$\therefore AC=AG+CG=AE+CD$.
【答案】
证明:如图②,在 AC 上截取 $AG=AE$,连接 FG.
$\because AD$ 是 $∠BAC$ 的平分线, CE 是 $∠BCA$ 的平分线,
$\therefore ∠1=∠2=\frac{1}{2}∠BAC,∠3=∠4=\frac{1}{2}∠BCA$.
在$△ AEF$ 和$△ AGF$ 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠1=∠2, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF.(SAS)$
$\therefore ∠AFE=∠AFG$.
$\because ∠B=60°,\therefore ∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°$.
$\therefore ∠2+∠3=\frac{1}{2}(∠BAC+∠BCA)=\frac{1}{2}×120°=60°$.
$\because ∠AFE=∠2+∠3=60°$,
$\therefore ∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°$.
$\therefore ∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°$.
$\therefore ∠CFD=∠CFG$.
在$△ CFG$ 和$△ CFD$ 中,
$\begin{cases} ∠CFG=∠CFD, \\ CF=CF, \\ ∠3=∠4, \end{cases}$
$\therefore △ CFG ≌ △ CFD.(ASA)$
$\therefore CG=CD.\therefore AC=AG+CG=AE+CD$.
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是线段和差证明的典型题，核心考查利用角平分线构造全等三角形的截长补短法，需要灵活运用全等三角形的判定定理，结合三角形内角和推导角的等量关系，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6