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1[2025江苏南京质检]如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA:OC=OB:OD,则下列结论正确的是 (
A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和④相似
（第1题图）
（第2题图）
B
)A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和④相似
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.B 【解析】
∵ OA:OC = OB:OD, ∠AOB = ∠COD,
∴ △AOB∽△COD. 故选 B.
∵ OA:OC = OB:OD, ∠AOB = ∠COD,
∴ △AOB∽△COD. 故选 B.
2 如图,AB 是半圆 O 的直径,D,E 是半圆上任意两点,连结 AD,DE,AE 与 BD 相交于点 C,要使△ADC 与△ABD 相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是 (
A.∠ACD=∠DAB
B.AD=DE
C.$AD^2=BD· CD$
D.$AD· BD=AC· AB$
D
)A.∠ACD=∠DAB
B.AD=DE
C.$AD^2=BD· CD$
D.$AD· BD=AC· AB$
答案
2.D 【解析】
∵ ∠ADC = ∠BDA, ∠ACD = ∠BAD,
∴ △DAC∽△DBA,故 A 选项添加的条件正确
由 AD=DE 得 ∠DAC = ∠DEA.
∵ ∠DEA = ∠DBA,
∴ ∠DAC = ∠B. 又
∵ ∠ADC = ∠BDA,
∴ △DAC∽△DBA,故 B 选项添加的条件正确
由 $AD^2 = BD · CD$,得 $AD:BD = CD:DA$. 又
∵ ∠ADC = ∠BDA,
∴ △DAC∽△DBA,故 C 选项添加的条件正确
由 $AD · BD = AC · AB$,得 $\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{BD}$,不能推出△DAC 与△DBA 相似,故 D 选项添加的条件错误
∵ ∠ADC = ∠BDA, ∠ACD = ∠BAD,
∴ △DAC∽△DBA,故 A 选项添加的条件正确
由 AD=DE 得 ∠DAC = ∠DEA.
∵ ∠DEA = ∠DBA,
∴ ∠DAC = ∠B. 又
∵ ∠ADC = ∠BDA,
∴ △DAC∽△DBA,故 B 选项添加的条件正确
由 $AD^2 = BD · CD$,得 $AD:BD = CD:DA$. 又
∵ ∠ADC = ∠BDA,
∴ △DAC∽△DBA,故 C 选项添加的条件正确
由 $AD · BD = AC · AB$,得 $\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{BD}$,不能推出△DAC 与△DBA 相似,故 D 选项添加的条件错误
3[2025浙江台州质检]如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,且AB=4,AC=6.当AD=
(第3题图)
(第4题图)
9
时,△ABC∽△ACD.(第3题图)
(第4题图)
答案
3.9 【解析】
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠BAC = ∠DAC. 当$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$时,△ABC∽△ACD,此时 $AC^2 = AB · AD$.
∵ AB=4,AC=6,
∴ $6^2=4AD$,
∴ AD=9. 故答案为 9.
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠BAC = ∠DAC. 当$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$时,△ABC∽△ACD,此时 $AC^2 = AB · AD$.
∵ AB=4,AC=6,
∴ $6^2=4AD$,
∴ AD=9. 故答案为 9.
4[2025浙江温州期末]如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B,C,D,E都是小正方形的顶点,则图中所形成的三角形中,与$△ ABC$相似的三角形是
△DEB
.答案
4. $△ DEB$ 【解析】由题图可知, ∠BAC = ∠BDE = 135°, AB = 1, AC = $\sqrt{2}$, BD = $2\sqrt{2}$, DE = 2,
∴ $\frac{BD}{AC}=\frac{DE}{AB}=2$,
∴ △ABC∽△DEB. 故答案为 $△ DEB$.
∴ $\frac{BD}{AC}=\frac{DE}{AB}=2$,
∴ △ABC∽△DEB. 故答案为 $△ DEB$.
5 如图，在$△ ABC$中，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，动点$D$从点$B$开始沿$BA$边匀速运动，速度为$1\ \mathrm{cm/s}$；动点$E$从点$A$开始沿$AC$边匀速运动，速度为$2\ \mathrm{cm/s}$。如果$D$，$E$两动点同时运动，那么当它们运动
$\frac{3}{2}$或$\frac{18}{7}$
s时，以$D$，$A$，$E$三点为顶点的三角形与$△ ABC$相似。答案
5. $\frac{3}{2}$或$\frac{18}{7}$ 【解析】设点 D,E 运动的时间为 t s. 根据题意得 AE=2t,BD=t,
∴ AD=6-t.
∵ ∠A = ∠A,
∴ 分两种情况: ①当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时,△AED∽△ABC,即$\frac{2t}{6}=\frac{6-t}{9}$,解得 $t=\frac{3}{2}$; ②当$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$时,△ADE∽△ABC,即$\frac{2t}{9}=\frac{6-t}{6}$,解得 $t=\frac{18}{7}$. 故答案为 $\frac{3}{2}$或$\frac{18}{7}$.
∴ AD=6-t.
∵ ∠A = ∠A,
∴ 分两种情况: ①当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时,△AED∽△ABC,即$\frac{2t}{6}=\frac{6-t}{9}$,解得 $t=\frac{3}{2}$; ②当$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$时,△ADE∽△ABC,即$\frac{2t}{9}=\frac{6-t}{6}$,解得 $t=\frac{18}{7}$. 故答案为 $\frac{3}{2}$或$\frac{18}{7}$.
6 如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点(AB＞AE),连结EC,作EF⊥EC交AB于F,连结FC.
设$\frac{AB}{BC}=k$,当k=
设$\frac{AB}{BC}=k$,当k=
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
时,$△ AEF ∽ △ BCF$.答案
6. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 【解析】
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠A = ∠B = ∠D = 90°, BC = AD, AB = CD.
∵ E 为 AD 的中点,
∴ AE = DE = $\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$.
∵ EF ⊥ EC,
∴ ∠CEF = 90°,
∴ ∠AEF + ∠CED = 90°. 又
∵ ∠DCE + ∠CED = 90°,
∴ ∠AEF = ∠DCE,
∴ △AEF∽△DCE,
∴ $\frac{AF}{DE}=\frac{AE}{DC}$. 当$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{BF}$时,△AEF∽△BCF,即$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴ $AF=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}CD$,
∴ $\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$,
∴ $\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{3}{4}$,
∴ $k=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠A = ∠B = ∠D = 90°, BC = AD, AB = CD.
∵ E 为 AD 的中点,
∴ AE = DE = $\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$.
∵ EF ⊥ EC,
∴ ∠CEF = 90°,
∴ ∠AEF + ∠CED = 90°. 又
∵ ∠DCE + ∠CED = 90°,
∴ ∠AEF = ∠DCE,
∴ △AEF∽△DCE,
∴ $\frac{AF}{DE}=\frac{AE}{DC}$. 当$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{BF}$时,△AEF∽△BCF,即$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴ $AF=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}CD$,
∴ $\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$,
∴ $\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{3}{4}$,
∴ $k=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
7[2026江苏苏州姑苏区期末]如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD = ∠CAE，∠ABC=∠ADE.
(1)若AB=3AD，BC=4，求DE的长；
(2)连结BD，CE，求证：△ABD∽△ACE.
刷易错 小心有坑~
(1)若AB=3AD，BC=4，求DE的长；
(2)连结BD，CE，求证：△ABD∽△ACE.
刷易错 小心有坑~
答案
7. (1)【解】
∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴ ∠BAC = ∠DAE.
∵ ∠ABC = ∠ADE,
∴ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$.
∵ AB=3AD,BC=4,
∴ $3=\frac{4}{DE}$,
∴ $DE=\frac{4}{3}$.
(2)【证明】由(1)得△ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$.
∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △ABD∽△ACE.
∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴ ∠BAC = ∠DAE.
∵ ∠ABC = ∠ADE,
∴ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$.
∵ AB=3AD,BC=4,
∴ $3=\frac{4}{DE}$,
∴ $DE=\frac{4}{3}$.
(2)【证明】由(1)得△ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$.
∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △ABD∽△ACE.
8 如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=10，P为CD边上的动点，当DP=
2或8或5
时，△ADP与△BCP相似。答案
8. 2 或 8 或 5 【解析】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠C = ∠D = 90°. 分两种情况: ①当$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$时,△APD∽△PBC,即$\frac{4}{10-PD}=\frac{PD}{4}$,解得 PD = 2 或 PD = 8; ②当$\frac{AD}{BC}=\frac{PD}{PC}$时,△PAD∽△PBC,即$\frac{4}{4}=\frac{PD}{10-PD}$,解得 DP = 5. 综上所述,DP 的长为 2 或 8 或 5. 故答案为 2 或 8 或 5.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠C = ∠D = 90°. 分两种情况: ①当$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$时,△APD∽△PBC,即$\frac{4}{10-PD}=\frac{PD}{4}$,解得 PD = 2 或 PD = 8; ②当$\frac{AD}{BC}=\frac{PD}{PC}$时,△PAD∽△PBC,即$\frac{4}{4}=\frac{PD}{10-PD}$,解得 DP = 5. 综上所述,DP 的长为 2 或 8 或 5. 故答案为 2 或 8 或 5.
