9.如图,将三角尺的直角顶点放在直线$a$上，$a // b$，$∠ 1=50°$，$∠ 2=60°$，求$∠ 3$的度数.

解：
由平角的定义，直线a上三角尺的直角顶点处三个角的和为180°，
因此直角顶点处除∠1和直角外的剩余角的度数为：
$180° - 90° - ∠1 = 180° - 90° - 50° = 40°$。
$\because a// b$，
$\therefore$ 该$40°$角的同位角等于$40°$（两直线平行，同位角相等）。
由三角形内角和为$180°$，可得三角尺的第三个锐角的度数为：
$180° - 90° - ∠2 = 180° - 90° - 60° = 30°$。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得$∠3 = 40° + 30° = 70°$。
答：$∠3$的度数为$70°$。

10.一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B与∠C应分别是30°和20°,检验工人量得∠BDC=142°,就判断这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?

解：连接AD并延长AD至点E。
由三角形外角的性质可得：
∠CDE = ∠C + ∠CAD，
∠BDE = ∠B + ∠BAD，
两式相加得：∠CDE + ∠BDE = ∠C + ∠CAD + ∠B + ∠BAD，
即∠BDC = ∠C + ∠B + ∠CAB。
若零件符合规定，将∠A=90°，∠B=30°，∠C=20°代入，
可得合格状态下∠BDC的理论值为：90°+30°+20°=140°。
实际测量得∠BDC=142°，和理论值140°不相等，因此这个零件不合格。

11.在$△ ABC$中，已知$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，试判断$△ ABC$的形状.

解：
设∠A = x，
由∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C，可得：
∠B = 2x，∠C = 3x，
根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，
代入得：$x + 2x + 3x = 180°$，
$6x = 180°$，
解得$x = 30°$，
则∠C = $3x = 90°$，
所以△ABC是直角三角形。

12.已知三角形的两边长分别是4 cm和8 cm.若它的周长是一个奇数,则这样的三角形的周长有几种不同的情况?

解：设三角形第三边的长为x cm，
根据三角形三边关系，得
8 - 4 ＜ x ＜ 8 + 4，
即 4 ＜ x ＜ 12。
已知两边长的和为4 + 8 = 12 cm，12是偶数，
因为三角形周长是奇数，所以第三边x为奇数，
符合条件的x的取值为5、7、9、11，
对应的周长分别为：
4 + 8 + 5 = 17(cm)，
4 + 8 + 7 = 19(cm)，
4 + 8 + 9 = 21(cm)，
4 + 8 + 11 = 23(cm)。
答：这样的三角形的周长有4种不同的情况。